【中学受験算数】比例と反比例の利用を図解で総まとめ—歯車 てこ 水そうのグラフ｜武蔵野個別指導塾

歯車の歯の数と回転数、てこの重さと距離、水そうの水位を、表と図で結びます。比例と反比例を見分ける条件から、グラフの折れ目の読み方まで家庭で順に確かめられます。

よくあるのは、美術室の床のタイルを数えながら「横に並べる枚数が2倍なら、使う枚数も2倍」と考えたお子さまが、「同じ枚数のタイルを長方形に並べ直すとき、横を2倍にしたら縦は何倍か」という問いで止まる場面です。どちらもタイルの問題なのに、同じ「2倍」の操作が、同じ向きの変化になるとは限りません。最初は縦の枚数が決まっていて、後では全部の枚数が決まっているからです。

比例と反比例の利用では、何が増えたかだけでなく、何を変えずに考えているかを読み取ります。歯車、てこ、水そうという別々の道具も、変わらない量を見つけると、かけ算とわり算で順に解けます。見たことのある図を覚えるだけでは、条件が少し変わったときに迷います。2つの量を表にそろえ、同じ倍になるのか、積がそろうのかを確かめるところから始めましょう。

この単元で身につけること

• 比例では、片方が2倍、3倍になると、もう片方も2倍、3倍になります。対応する値をわって求めた商が一定になることを、表でも確認します。
• 反比例では、片方が2倍、3倍になると、もう片方は1/2倍、1/3倍になります。対応する値をかけた積が一定になることが判断の手がかりです。
• 歯車では、かみ合って通過した歯の数をそろえます。歯の数が多い歯車ほど、同じ間に回る回数は少なくなります。
• てこでは、支点からの距離とおもりの重さを組にします。つり合っているとき、左右の「重さ × 距離」が等しいことを使います。
• 水そうでは、水量と水位を区別します。グラフの縦軸と横軸の意味を確かめ、1分あたりに増えた水位から、水の広がる面積を考えます。

これまで学んだ倍、分数、比、長方形の面積、直方体の体積が、この単元の土台になります。計算そのものが難しいときは、文章題を急いで解く前に、「2倍の反対は2を引くことではなく、2でわること」と、倍の戻し方を確かめます。

基本の考え方

比例は「同じ倍」と「一定の商」で確かめます

1枚の重さが12 gの同じカードを重ねます。カードの枚数が1枚、2枚、3枚なら、重さは12 g、24 g、36 gです。枚数が2倍になれば、重さも2倍になります。こうした関係を、重さは枚数に比例するといいます。ただし、箱に入れたときの箱ごとの重さではなく、カードだけの重さを考えています。

表を横に見ると、枚数を何倍にしたかと、重さを何倍にしたかが対応します。表を縦に見ると、12 ÷ 1、24 ÷ 2、36 ÷ 3、60 ÷ 5はすべて12です。この12は、1枚あたりの重さを表しています。比例の問題は、同じ倍にする方法でも、1あたりの量に戻す方法でも解けます。

図1のように、一定の割合で水を入れる場合も、時間と水量の比例を考えられます。空の容器に毎分2 Lずつ水を入れ、途中で流量を変えず、水がもれたりあふれたりしないものとします。1分で2 L、2分で4 L、3分で6 Lになり、横軸の時間が同じだけ進むと、縦軸の水量も同じだけ増えます。

図1の直線は、時間も水量も0である点を通っています。これは水を入れ始めたときに空だったことと対応します。はじめから3 L入っていれば、1分後は5 L、2分後は7 Lです。一定の量ずつ増えていても、時間が2倍になったとき水量は2倍になりません。「増え方が一定」と「全体の量が比例する」は、条件を確認して使い分けます。

また、表に2組の値が載っていて商が同じでも、その間や先でも同じ決まりが続くかは、問題の条件から確かめる必要があります。「同じカード」「毎分同じ量」という言葉が、計算を支えています。見えている数字だけで比例と決めず、その数字が生まれる仕組みまで読むことが大切です。

反比例は「逆向きの倍」と「一定の積」で確かめます

面積が24 cm²の長方形を考えます。縦が2 cmなら横は12 cm、縦が4 cmなら横は6 cm、縦が8 cmなら横は3 cmです。縦を2倍にすると、横は1/2倍になります。このように、片方を何倍かにすると、もう片方がその逆の倍になる関係を反比例といいます。

ここで変わらないのは面積です。「縦 × 横」が24になるためには、縦を2倍にした分、横を2でわる必要があります。反比例を見つけるときは、「増えると減る」だけでは足りません。24 cmのひもを2本に切り、一方を長くすると他方は短くなりますが、一定なのは長さの和です。この場合は反比例ではありません。

表を作るときは、対応する2つの値を同じ列にそろえます。縦が2 cmのときの横12 cmと、縦が4 cmのときの横6 cmを混ぜてかけると、意味のない積になります。まず「このとき、こちらはいくつ」と1組を指さし、次に別の組と比べると、値の取り違えを防げます。

道具が変わっても、一定にする量を先に決めます

歯車では、かみ合う部分を通った歯の数に注目します。20枚の歯がある歯車が3回転すると、20 × 3 = 60枚分の歯がかみ合う場所を通ります。その間、相手の歯車も60枚分の歯が通るので、歯が30枚なら60 ÷ 30 = 2回転です。歯が多い分、少ない回転で同じ枚数の歯を送れるわけです。

てこでは、棒の重さを考えず、おもりをつるして水平につり合う場合を扱います。同じ重さなら、支点から遠い位置につるした方が棒を回そうとする働きが大きくなります。左側の重さと距離が決まっているとき、右側のおもりを重くすれば、右側の距離を短くしてつり合いを保ちます。

水そうでは、「時間と水量」「水量と水位」「底面積と水位」のどの組を見るかを区別します。空の直方体の水そうに毎分同じ量を入れるなら、水量も水位も時間に比例します。一方、同じ水量を底面積の異なる直方体の容器に移すなら、底面積と水位は反比例します。同じ水そうという題材でも、一定にする量によって関係が変わります。

家庭では「増えるのはどれ。変えないのはどれ」と声をかけてみてください。式を先に教えるよりも、2つの量の名前と、固定する条件を短く言えるかを確かめると、どこから考え直すかが見えます。

例題で解き方を確かめる

例題1　同じカードの枚数と重さ

同じカード8枚の重さは96 gです。カード15枚の重さは何gですか。箱や袋の重さは含めません。

1. 1枚の重さを求めます。96 ÷ 8 = 12で、1枚12 gです。同じカードなので、枚数に関係なく1枚あたりの重さは変わりません。
2. 15枚分を求めます。12 × 15 = 180です。求めたい枚数がわかっているので、1枚分をその枚数だけ集めます。
3. もとの8枚に戻して確かめます。12 × 8 = 96となり、問題の重さに合います。15枚は8枚より多いので、答えが96 gより重いことも確認します。

答え：180 gです。

8枚から15枚への変化を「7枚増えた」と見ても、重さに7 gを足すわけではありません。増えた7枚の重さは12 × 7 = 84 gです。96 + 84 = 180という別の道筋でも同じ答えになります。枚数の差と重さの差は、1枚あたりの重さを通して結びます。

例題2　かみ合う歯車の回転数

歯が24枚の歯車Aと、歯が40枚の歯車Bが直接かみ合っています。Aが10回転する間に、Bは何回転しますか。歯の大きさは同じで、すべらずにかみ合うものとします。

1. Aで通過する歯の数を求めます。24 × 10 = 240です。相手も同じ枚数の歯を送るので、まず共通に使える量を出します。
2. Bの1回転分でわります。240 ÷ 40 = 6です。Bは1回転で40枚分進むため、240枚分には何回転必要かを考えます。
3. Bから確かめます。40 × 6 = 240で、Aと積がそろいます。Bの方が歯が多いので、回転数が10より少ないことも条件に合います。

答え：Bは6回転します。

比で見ると、歯の数は24：40 = 3：5です。回転数の比は逆に5：3になります。Aの10回転を比の5とすれば、比の1は10 ÷ 5 = 2回転、Bは2 × 3 = 6回転です。逆比だけを暗記するのではなく、歯の数と回転数の積が同じになることから説明できるようにします。

なお、直接かみ合う2つの歯車の回る向きは反対です。回転数を求める計算と、向きを答える問いは分けて読みます。間に別の歯車をはさむ問題でも、隣り合う歯車ごとに歯の通過枚数を考えれば、落ち着いて順に追えます。

例題3　てこの重さと支点からの距離

重さを考えない棒を1か所で支えています。支点の左20 cmの位置に300 gのおもりをつるしました。右側に500 gのおもりをつるして水平につり合わせるには、支点から何cmの位置につるせばよいですか。

図2のように、距離は棒の端からではなく、三角形で示した支点から測ります。図の左20 cmに対して右12 cmは、長さの比が5：3になるように表しています。

1. 左側の「重さ × 距離」を計算します。300 × 20 = 6000です。つり合うとき右側も同じ積になるので、左側の条件をひとまとまりにします。
2. 右側の距離を求めます。6000 ÷ 500 = 12です。500に何をかければ6000になるかを、わり算で考えます。
3. 両側の積を比べます。300 × 20 = 500 × 12となり、つり合いの条件を満たします。重い500 gのおもりが、軽い300 gのおもりより支点に近いことも図で確かめます。

答え：支点の右12 cmの位置です。

重さの比は300：500 = 3：5で、距離の比は20：12 = 5：3です。おもりを重くすると距離を短くする関係が、逆比にも表れています。ただし、左右それぞれに何個もおもりがある場合は、同じ側の「重さ × 距離」を足してから左右を比べます。今回の1個ずつの場合の式を、条件を読まずにそのまま使わないようにしましょう。

例題4　途中で水位の上がり方が変わる水そう

空の水そうに、毎分600 cm³ずつ水を入れます。水そうの内側は高さ10 cmまでは一定の広さで、その上では横に広がり、別の一定の広さになっています。水位は入れ始めて4分後に10 cm、10分後に16 cmでした。下の部分と上の部分で、水が水平に広がる面積は、それぞれ何cm²ですか。水もれやあふれはありません。

1. はじめの4分間の水量を求めます。600 × 4 = 2400 cm³です。水位が10 cm上がる間に、下の部分へ入った水の体積を出します。
2. 下の部分の面積を求めます。2400 ÷ 10 = 240 cm²です。同じ広さが続く部分では、体積を高さでわると水平な面の面積になります。
3. 次の区間の時間と高さの増加を求めます。10 – 4 = 6分間、16 – 10 = 6 cmです。上の部分だけを調べるため、開始時点からの合計ではなく、折れ目からの増加分を使います。
4. 上の部分の面積を求めます。600 × 6 ÷ 6 = 600 cm²です。上の部分へ入った3600 cm³が、高さ6 cmの間に広がっています。

答え：下の部分は240 cm²、上の部分は600 cm²です。

下の部分では水位が10 ÷ 4 = 2.5 cmずつ毎分上がり、上の部分では6 ÷ 6 = 1 cmずつ毎分上がります。入る水量が同じでも、水が広いところに広がるほど上がり方は小さくなります。毎分の水量を一定にしたとき、水平な面積と1分あたりの水位の増加は反比例します。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　歯が多い歯車ほど多く回ると考える

誤った書き方：例題2で「10 × 40 ÷ 24」として、Bの回転数を求めます。歯の数が40/24倍なので回転数も同じ倍にした形ですが、これではBの通過する歯の数がAより多くなってしまいます。

どこが違うか：一定なのは、回転数を歯の数でわった商ではなく、歯の数と回転数の積です。歯が多い歯車は、1回転でたくさんの歯を送れるため、同じ枚数を送るのに必要な回転数が少なくなります。

正しい書き方：「24 × 10 ÷ 40 = 6」とします。計算前に「Bは10回転より少ないはず」と見通しを書いておくと、かけ算とわり算を逆にしたときにも気づけます。「大きいから大きい答え」と考えず、何をそろえるのかに戻ります。

誤り2　てこの距離をおもり同士の間で測る

誤った書き方：例題3で左右のおもりの間の32 cmを使い、「300 × 32」とします。図全体の長さに目が向いて、支点からの距離を見失った形です。

どこが違うか：てこの働きを比べる距離は、おもりから支点までです。左のおもりについては20 cm、右については12 cmを使います。左右の間隔32 cmは、この2つの距離を足した値であって、どちらか1つのおもりの距離ではありません。

正しい書き方：「300 × 20 = 500 × 12」とします。図2でまず支点を丸で囲み、そこから左右のおもりまでを別々になぞると、式の数字と図の場所が結びつきます。棒の端が描かれていても、おもりが端につるされているとは限らないので、つるした位置までを読み取ります。

誤り3　グラフの後半でも最初からの高さを使う

誤った書き方：例題4の上の部分について「600 × 10 ÷ 16」とします。これは10分間の全水量を水位16 cmでわっていて、下の部分と上の部分をひとまとめにしています。

どこが違うか：途中で広さが変わるので、全体を同じ底面積の直方体として扱えません。図3のように、グラフが折れる4分後を境に、2つの区間を分けます。横の目盛りは1区間2分、縦の目盛りは1区間4 cmであり、横と縦で1区間の意味が違うことにも注意します。

正しい書き方：「600 × (10 – 4) ÷ (16 – 10) = 600」とします。図3の赤い部分だけを読むときは、6分間で6 cm上がったと考えます。赤い直線をそのまま延ばしても時間0、水位0の点は通らないので、水位全体が時間に比例するとして計算することはできません。

グラフが緩やかになったとき、「水の勢いが弱くなった」と即断するのも避けます。今回は毎分600 cm³という条件があるため、水が広がる面積の変化を考えられます。もし水そうの形だけが一定で注水量が変わる問題なら、同じような折れ目でも理由は別です。グラフの形と文章の条件を一緒に読みましょう。

練習問題

練習1

同じ針金9 mの重さは216 gです。この針金14 mの重さは何gですか。太さや材質はどこでも同じで、巻き取る芯の重さは含めません。1 mあたりの重さを書いてから求めましょう。

練習2

歯が18枚の歯車Aと、歯が30枚の歯車Bが直接かみ合っています。Aが15回転する間に、Bは何回転しますか。すべらずにかみ合うものとします。答えを出したら、AとBの通過した歯の数がそろうかも確認しましょう。

練習3

棒の重さを考えないてこが水平につり合っています。支点の左15 cmに240 gのおもりがあり、右9 cmにもおもりが1個あります。右のおもりの重さは何gですか。右の方が支点に近いことから、重さの見通しも立てましょう。

練習4

空の水そうに毎分800 cm³ずつ水を入れると、水位は5分後に10 cm、11分後に16 cmになりました。水そうは高さ10 cmまでは一定の広さ、その上は横に広がって別の一定の広さになっています。上下それぞれで水が水平に広がる面積を求めましょう。水もれやあふれはありません。

答えと解説

練習1の答え：336 gです。1 mの重さは216 ÷ 9 = 24 gなので、24 × 14 = 336 gです。長さと重さは比例します。14 mを9 mと5 mに分け、216 + 24 × 5 = 336として確かめることもできます。

練習2の答え：9回転です。Aの通過した歯の数は18 × 15 = 270枚分なので、Bは270 ÷ 30 = 9回転です。30 × 9も270でそろいます。歯の数が多いBの回転数は、Aの15回転より少なくなっています。

練習3の答え：400 gです。左側の積は240 × 15 = 3600なので、右の重さは3600 ÷ 9 = 400 gです。400 × 9 = 3600となります。支点に近い右側を重くするという見通しにも合っています。

練習4の答え：下の部分は400 cm²、上の部分は800 cm²です。下は800 × 5 ÷ 10 = 400です。上は11 – 5 = 6分間で、16 – 10 = 6 cm上がるので、800 × 6 ÷ 6 = 800です。上の面積は下の2倍で、毎分の水位の増加は2 cmから1 cmへ半分になります。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

比例と反比例の見方は、速さや仕事算にもつながります。同じ速さで進むときの時間と道のりは比例し、同じ道のりを進むときの速さと時間は反比例します。どの場面でも「同じ」という条件が、式の選び方を決めます。道具の名前を見て解法を選ぶ習慣から、固定する量を見つける習慣へ移していきましょう。

家庭で5分ほど確かめるなら、まず同じ大きさの紙片を24枚用意し、縦2枚・横12枚、縦4枚・横6枚、縦6枚・横4枚と並べます。「縦を2倍にすると横はどうなるか」を実物で確かめ、どの並べ方でも24枚だと説明してもらいます。紙片の枚数が足りなければ、方眼紙に長方形をかいても構いません。

もう1つは、毎分2 Lずつ入れるとして、0分から4分までの水量の表を作る方法です。空から始める表と、はじめに3 Lある表を並べ、「毎分の増え方は同じでも、時間を2倍にしたとき水量はどうなるか」を比べます。計算が合ったかだけでなく、どちらが比例するかを言葉で確かめる時間にします。

個別指導で確かめる際は、逆比の式を覚えているかより前に、対応する量を表の同じ列に置けるか、1あたりの量に戻せるかまで見ます。水そうで止まる場合は、直方体の体積を「水平な面の面積 × 高さ」として説明できるところに戻ると、グラフの読み取りにつなげやすくなります。

まとめ

歯車では通過した歯の数、てこでは左右の重さと距離の積、水そうでは区間ごとに入った水の体積が、計算の根拠になります。答えを求めた後に、その根拠へ数を戻せれば、自分の計算を自分で点検できます。グラフの見た目や「増える・減る」という印象に頼らず、表の1組、支点からの1本、折れ目からの1区間を丁寧に読み取ってください。比例と反比例を分ける決め手は、変わらない量をひと言で示せることです。