【中学受験算数】流水算を図解で総まとめ—上り 下り 静水時 流速の関係・線分図｜武蔵野個別指導塾

船の力と川の流れを線分図で整理し、上り下りの時間から速さを求める例題、流速の変化、エンジン停止中の移動を順にたどります。往復の平均の速さを取り違える理由も、家庭で説明できるように確かめましょう。

よくあるのは、塾の自習室の白板の前で、下りに 2 時間、上りに 3 時間かかる船の問題を見て、「帰りも同じ道なのに、どうして時間が違うの」と手が止まる場面です。行きと帰りの道のりが同じことには気づいています。それでも、船そのものの進む力と、川の水が船を運ぶ働きを分けられないと、どの速さで割ればよいのかが決まりません。

流水算では、船と川の流れをいったん分けて考えます。そのうえで、岸から見た船が 1 時間にどれだけ進むかを求めます。下りなら流れが進む向きを助け、上りなら流れが進む向きと反対に働きます。この違いを図にすると、足す場面と引く場面を説明できるようになります。

ここでは、基本となる 4 つの速さから始め、往復の時間、途中で流れが変わる場合、エンジンが止まる場合へと進みます。お子さまが計算の途中で迷ったときは、数字を当てはめ直す前に、「今求めたのは、どこから見た何の速さかな」と確かめてみましょう。

この単元で身につけること

• 静水時の速さと流速を区別します。船が水に対して進む速さと、水が岸に対して動く速さを、別々の量として読めるようにします。
• 下りと上りの速さを求めます。下りは静水時の速さに流速を足し、上りは静水時の速さから流速を引く理由を、向きと線分図で説明します。
• 道のりと時間から必要な速さを逆に求めます。下りと上りの速さがわかれば、その和と差から静水時の速さと流速を取り出せます。
• 条件が変わる時点で移動を分けます。流速の変化やエンジン停止があるときは、区間ごとの速さ、時間、道のりを整理してから合計します。
• 求めた答えをもとの移動に戻して確かめます。下りのほうが短時間になるか、往復の道のりが一致するかまで確認します。

土台になるのは、速さ・道のり・時間の関係と、和差算の線分図です。新しい決まりを一度にたくさん覚えるのではなく、すでに知っている「道のり ÷ 時間」と「和と差から 2 つの量を求める」考え方を組み合わせます。

基本の考え方

静水時の速さと流速は何を表すか

静水とは、流れていない水のことです。静水時の速さは、流れのない水の上で、その船が一定の力で進むときの速さです。たとえば静水時の速さが時速 8 km なら、流れのない水の上では 1 時間に 8 km 進みます。流水算では、同じエンジンの働きなら、流れる川でも水に対してはこの速さで進むと考えます。

流速は川の水が流れる速さです。時速 2 km の流れなら、水と一緒に運ばれるものは、岸から見ると 1 時間に下流へ 2 km 移動します。船が自分の力で進まなくても、水が運ぶ分の移動はあります。「船が進もうとする分」と「水に運ばれる分」を分けることが、流水算の出発点です。

下りとは上流から下流へ進むこと、上りとは下流から上流へ進むことです。紙の右や左、上や下で決めるものではありません。問題の図に川の流れる矢印があれば、その矢印と同じ向きが下りです。矢印がなければ、まず自分で流れの向きを書き入れると、港の名前が変わっても混乱しにくくなります。

ここで扱う基本問題では、各区間の流速は一定で、船の静水時の速さも指定されたとおりに一定とします。風や波による影響は考えません。また、船が上流へ進める問題では、静水時の速さが流速より大きくなっています。この条件を確かめると、引き算の順番にも意味が見えてきます。

4 つの速さを線分図でつなぐ

静水時の速さが時速 8 km、流速が時速 2 km の船を考えます。下りでは、船が水に対して進む 8 km に、水に運ばれる 2 km が加わります。岸から見た 1 時間の移動は 8 + 2 = 10 km なので、下りの速さは時速 10 km です。

上りでは、船は水に対して上流へ 8 km 進もうとしますが、水は下流へ 2 km 運びます。岸から見て上流へ進めた道のりは 8 − 2 = 6 km です。したがって、上りの速さは時速 6 km になります。引くのは、上りのときだけ船の力が弱くなるからではなく、水に運ばれる向きが反対だからです。

図1のように、同じ目盛りで速さの大きさを並べると、下りの線分は静水時より流速 1 つ分長く、上りの線分は流速 1 つ分短くなります。上りの右側にある破線部分は、静水時との差を表しています。川の地図ではなく、速さの大きさを長さで比べる図です。

この関係を言葉の式にすると、次のようになります。単位はすべて時速、またはすべて分速など、同じものにそろえます。

• 下りの速さ = 静水時の速さ + 流速
• 上りの速さ = 静水時の速さ − 流速
• 静水時の速さ =（下りの速さ + 上りの速さ）÷ 2
• 流速 =（下りの速さ − 上りの速さ）÷ 2

後ろの 2 つは、別の決まりとして丸暗記する必要はありません。長い線分と短い線分を合わせると、増えた流速と減った流速が埋め合わさり、静水時の線分 2 本分になります。また、下りと上りの差は、増えた分と減った分の両方を含むため、流速 2 つ分です。図1では、10 − 6 = 4 の半分が流速 2 にあたります。

家庭で説明するときは、「下りは真ん中から 2 長く、上りは真ん中から 2 短いね。両端の差には 2 が何個あるかな」と声をかけられます。「差を 2 で割る」という操作より先に、何を半分にするのかを図で指せることを確かめます。

時間を求めるときは岸から見た速さを使う

2 つの港の間の距離は、岸に固定された場所どうしの距離です。その距離を船が進む時間を求めるなら、使うのは岸から見た下りまたは上りの速さです。静水時の速さをそのまま使うと、水に運ばれた分を計算に入れられません。

道のりは「速さ × 時間」、時間は「道のり ÷ 速さ」、速さは「道のり ÷ 時間」で求めます。計算前に、時速を使うなら時間を「時間」に直し、分速を使うなら「分」にそろえます。30 分は 1/2 時間、1 時間 30 分は 1 と 1/2 時間です。1 時間 30 分を 1.3 時間とすることはできません。1.3 時間の 0.3 時間は、60 × 0.3 = 18 分だからです。

同じ区間を往復するとき、下りと上りで等しいのは道のりです。速さが大きい下りの時間は短く、速さが小さい上りの時間は長くなります。この大小関係は、答えを出したあとの確かめにも使えます。計算結果が逆なら、上り下りの取り違えや、割る数の選び方を見直しましょう。

例題で解き方を確かめる

例題1　上り下りにかかる時間を求める

静水時の速さが時速 8 km の船が、流速が時速 2 km の川を進みます。上流の A 港と下流の B 港の間は 30 km です。A 港から B 港へ下り、すぐに A 港へ上って戻るとき、下りと上りの時間、往復の時間を求めましょう。

1. 下りと上りの速さを別々に求めます。港の間の時間を出すには、岸から見た速さが必要だからです。下りは 8 + 2 = 10 で時速 10 km、上りは 8 − 2 = 6 で時速 6 km です。
2. 同じ 30 km を、それぞれの速さで割ります。道のりが等しくても、割る速さが違うので時間は変わります。下りは 30 ÷ 10 = 3 時間、上りは 30 ÷ 6 = 5 時間です。
3. 往復の時間を合計します。途中の休憩はないので、3 + 5 = 8 時間となります。

答え：下りは 3 時間、上りは 5 時間、往復は 8 時間です。

確かめは、10 × 3 = 30、6 × 5 = 30 と、速さに時間をかけて行います。どちらも港の間の 30 km に戻り、下りの時間が上りより短いことも確かめられます。往復だからといって、片道の時間を単純に 2 倍することはできません。

例題2　かかった時間から静水時の速さと流速を求める

同じ船が、24 km 離れた 2 つの港の間を、下りは 2 時間、上りは 3 時間で進みました。静水時の速さと流速は一定です。この船の静水時の速さと川の流速を求めましょう。

1. まず下りと上りの速さに直します。時間の差をそのまま速さの差として使うことはできないからです。下りは 24 ÷ 2 = 12 で時速 12 km、上りは 24 ÷ 3 = 8 で時速 8 km となります。
2. 2 つの速さの差を求め、半分にします。下りは流速の分だけ増え、上りは流速の分だけ減っているので、差は流速 2 つ分だからです。（12 − 8）÷ 2 = 2 より、流速は時速 2 km です。
3. 上りの速さに流速を戻します。上りで引かれた分を足すと、船が水に対して進む速さになります。8 + 2 = 10 より、静水時の速さは時速 10 km です。

答え：静水時の速さは時速 10 km、流速は時速 2 km です。

図2のように、時速 8 km の上りから時速 10 km の静水時までと、そこから時速 12 km の下りまでには、同じ長さの区切りが入ります。その 2 区切りを合わせた差が時速 4 km です。図の区切りを指しながら説明すると、流速を時速 4 km としてしまう誤りを見つけられます。

静水時の速さは、（12 + 8）÷ 2 = 10 としても求められます。最後は、24 ÷（10 + 2）= 2、24 ÷（10 − 2）= 3 と、問題に書かれた時間へ戻して確かめます。途中で求めた時速 12 km と時速 8 km は、船そのものの力を表す速さではないことも押さえましょう。

例題3　途中で川の流速が変わる

静水時の速さが時速 10 km の船が、上流の A 港から下流の B 港まで 36 km 下ります。出発から 1 時間は流速が時速 2 km で、その後は到着まで時速 5 km になりました。A 港から B 港まで何時間何分かかりますか。

1. 最初の 1 時間に進んだ道のりを求めます。途中で速さが変わるため、まず一定の速さで進んだ部分を取り出します。最初の下りは 10 + 2 = 12 で時速 12 km なので、12 × 1 = 12 km 進みます。
2. 残りの道のりを求めます。変化したあとの速さを使うのは、この残りの部分だからです。36 − 12 = 24 km が残っています。
3. 流速が変わったあとの下りの速さで、残りの時間を求めます。船の静水時の速さは変わらないので、10 + 5 = 15 で時速 15 km です。24 ÷ 15 = 8/5 時間、つまり 1 と 3/5 時間です。3/5 時間は 60 × 3/5 = 36 分なので、残りは 1 時間 36 分です。
4. 最初の時間を加えます。求めた 1 時間 36 分は出発からの全時間ではないため、1 時間を足して 2 時間 36 分とします。

答え：2 時間 36 分です。

この問題は「流速が変わる」という言葉だけを見ると難しく感じられますが、それぞれの時間帯では例題1と同じ計算です。変化した時点を境に、速さが時速 12 km の部分と時速 15 km の部分へ分けます。流速の 2 と 5 を先に平均して 3.5 にすると、実際には同じ長さの時間ではない 2 つの移動を、同じ重みで扱ってしまいます。

また、流速が増した場合の影響は、進む向きによって違います。この例の下りは速くなりますが、同じ船が上るなら、上りの速さは 10 − 2 = 8 から 10 − 5 = 5 へ小さくなります。流れが速くなったら船も必ず速くなる、と決めつけないことが大切です。

例題4　上る途中でエンジンが止まる

静水時の速さが時速 10 km の船が、流速が時速 2 km の川を上ります。下流の A 港から、16 km 上流にある B 港へ向かい、1 時間上ったところでエンジンが止まりました。船は岸につながれず、水と一緒に 30 分間流されます。その後、エンジンが元どおりに動き、B 港まで上りました。出発から到着までの時間を求めましょう。停止後すぐに水と同じ速さで流され、再始動後すぐに元の速さで進むものとします。

1. エンジンが止まるまでの位置を求めます。上りの速さは 10 − 2 = 8 で時速 8 km なので、8 × 1 = 8 km 上流まで進みます。
2. 流された道のりを求めます。エンジン停止中は水に対して進む力がないので、岸から見た速さは流速と同じです。30 分は 1/2 時間だから、2 × 1/2 = 1 km 下流へ流されます。
3. 再び動き出す位置から B 港までの道のりを求めます。上流へ 8 km 進んだあとに 1 km 戻されているので、A 港から上流へ 8 − 1 = 7 km の位置です。B 港までは 16 − 7 = 9 km 残っています。
4. 残りの上りの時間と、すでに過ぎた時間を合計します。残りは 9 ÷ 8 = 9/8 時間で、1 と 1/8 時間です。1/8 時間は 7 と 1/2 分、つまり 7 分 30 秒なので、残りは 1 時間 7 分 30 秒です。最初の 1 時間、停止中の 30 分も足すと、2 時間 37 分 30 秒になります。

答え：2 時間 37 分 30 秒です。

エンジンが止まっていた 30 分を足すだけでは足りません。下流へ戻された 1 km を、もう一度上る時間も必要です。止まらなければ 16 ÷ 8 = 2 時間ですが、今回は 30 分に加えて 1 ÷ 8 時間、つまり 7 分 30 秒余計にかかっています。別の見方で同じ答えになることを確かめられます。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　下りと上りの差をそのまま流速にする

誤った書き方は、例題2で「流速は 12 − 8 = 4 だから時速 4 km」とするものです。どこが違うかというと、下りから上りまでの差には、静水時から増えた分と減った分の両方が入っています。流速 1 つ分だけを数えているつもりで、実際には 2 つ分を数えています。

正しい書き方は「流速は（12 − 8）÷ 2 = 2 だから時速 2 km」です。図2の 2 つの区切りを指し、それぞれが流速にあたることを言葉で確かめます。「差だから引く」までで終わらず、「何の何個分の差か」を続けて説明すると、和差算ともつながります。

誤り2　下りと上りを足して 2 で割れば往復の平均になる

誤った書き方は、例題1で「往復の平均の速さは（10 + 6）÷ 2 = 8 だから時速 8 km」とするものです。どこが違うかというと、時速 10 km で進む時間は 3 時間、時速 6 km で進む時間は 5 時間で、同じ時間ではありません。遅い速さで進んでいる時間のほうが長いため、速さを同じ重みで平均することはできません。

正しい書き方は「道のりの合計は 30 + 30 = 60 km、時間の合計は 3 + 5 = 8 時間なので、60 ÷ 8 = 7.5、平均の速さは時速 7.5 km」です。同じ川を往復するとき、下りと上りの速さの和を 2 で割った値は静水時の速さですが、往復全体の平均の速さとは区別します。

この違いを確かめるには、「平均の速さで 8 時間進んだら、本当に 60 km になるかな」と問い直します。時速 8 km なら 8 × 8 = 64 km となり、実際の往復より長くなってしまいます。求めた速さを合計時間にかける確かめ方は、流水算以外の速さの問題にも使えます。

誤り3　エンジン停止中は船の位置も変わらないとする

誤った書き方は、例題4で「止まった地点から残りは 16 − 8 = 8 km のまま」とするものです。どこが違うかというと、止まったのはエンジンであり、川の水は流れ続けています。この問題では船は岸につながれていないので、停止中に下流へ運ばれます。

正しい書き方は「流される道のりは 2 × 1/2 = 1 km、残りは 16 −（8 − 1）= 9 km」です。図3のように、停止直前の位置と再始動の位置を別々に書くと、残りの道のりが増えたことを見落としにくくなります。

図3では、A 港を 0 km とし、上流へ向かうほど右に進む配置にしています。停止直前は 8 km、再始動は 7 km の位置です。短い赤い矢印は下流への移動を、下の緑の線は再始動後に上る 9 km を示しています。紙の右向きがいつも下りとは限らないことも、この図で確かめられます。

一方、問題に「岸につないで待った」「港に停泊した」と書かれていれば、待っている間の位置は変わりません。エンジン停止という言葉だけで判断せず、水と一緒に流される条件なのか、岸にとどまる条件なのかを読み分けます。図を書く前にこの一文へ印をつけると、条件の読み落としを防げます。

ここで手が止まるなら、止まった単元まで一緒に戻ります。学年別個別指導コース／お問い合わせ

練習問題

まずは答えを見ずに、求めるものの名前と単位を書いてから計算しましょう。各問で、川の流れの向きと船の進む向きを小さな矢印で示すと、足し算と引き算の選び方を確かめられます。エンジンが動いている間の静水時の速さは一定とします。

練習1

静水時の速さが時速 12 km の船が、流速が時速 3 km の川を進みます。45 km 離れた 2 つの港の間を下り、すぐに上って戻ります。下りの時間、上りの時間、往復の時間をそれぞれ求めましょう。

練習2

同じ船で 36 km の区間を進むと、下りは 2 時間、上りは 3 時間かかりました。川の流速は一定です。船の静水時の速さと流速を求めましょう。求めた 2 つの速さを使って、上りの時間が 3 時間になることも確かめましょう。

練習3

静水時の速さが時速 12 km の船が、27 km 上流にある港へ向かいます。出発から 2 時間は流速が時速 3 km でしたが、その後は到着まで時速 6 km になりました。出発から到着までの時間を求めましょう。流速が変わっても、船は上り続けます。

練習4

静水時の速さが時速 9 km の船が、流速が時速 3 km の川を 30 km 下ります。出発から 1 時間でエンジンが止まり、岸につながれず、水と一緒に 20 分間流されました。その後、エンジンが元どおりに動き、目的の港まで下ります。出発から到着まで何時間何分かかりますか。停止後と再始動後には、それぞれすぐに一定の速さになるものとします。

答えと解説

練習1の答えは、下りが 3 時間、上りが 5 時間、往復が 8 時間です。下りの速さは 12 + 3 = 15 で時速 15 km、上りは 12 − 3 = 9 で時速 9 km なので、45 ÷ 15 = 3、45 ÷ 9 = 5 と求めます。下りと上りの時間を合わせると、3 + 5 = 8 時間です。

練習2の答えは、静水時の速さが時速 15 km、流速が時速 3 km です。下りは 36 ÷ 2 = 18 で時速 18 km、上りは 36 ÷ 3 = 12 で時速 12 km です。静水時は（18 + 12）÷ 2 = 15、流速は（18 − 12）÷ 2 = 3 と求めます。確かめは 36 ÷（15 − 3）= 3 時間となります。

練習3の答えは、3 時間 30 分です。最初の上りの速さは 12 − 3 = 9 で時速 9 km なので、2 時間で 9 × 2 = 18 km 進みます。残りは 27 − 18 = 9 km です。流速が変わったあとの上りは 12 − 6 = 6 で時速 6 km なので、残りは 9 ÷ 6 = 1 と 1/2 時間かかります。最初の 2 時間と合わせて 3 と 1/2 時間、つまり 3 時間 30 分です。

練習4の答えは、2 時間 45 分です。最初の下りは 9 + 3 = 12 で時速 12 km なので、1 時間で 12 km 進みます。停止中の 20 分は 1/3 時間で、流された道のりは 3 × 1/3 = 1 km です。下っているので、流されることでも目的の港へ近づきます。残りは 30 − 12 − 1 = 17 km、再始動後の時間は 17 ÷ 12 = 1 と 5/12 時間、つまり 1 時間 25 分です。1 時間 + 20 分 + 1 時間 25 分 = 2 時間 45 分となります。

例題4では停止中に目的地から遠ざかり、練習4では目的地へ近づきました。どちらも水と一緒に下流へ動いている点は同じです。停止したら残りを必ず増やす、必ず減らすと覚えず、目的地がどちら側にあるかを位置の図で確かめましょう。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

流水算で使う「岸から見る」「水に対する動きを考える」という見方は、旅人算で 2 人の間の距離の増え方や減り方を考えるときにも役立ちます。また、流速が変わる時点で移動を区切った経験は、速さと時間を表すグラフを読む土台になります。計算の種類を増やすより、どの区間の動きを計算しているかを示すことが共通の課題です。

家庭では、5 分ほどで次の 2 つを試せます。1 つ目は、紙に時速 8 km と時速 2 km を書き、下りと上りの速さをお子さまに図で説明してもらうことです。答えを言ったあとに「流速が時速 3 km に変わったら、上りはどうなるかな」と尋ね、8 − 3 = 5 と向きから判断できるかを確かめます。

2 つ目は、紙の左右に 2 つの港を書き、消しゴムを船として動かすことです。流れの矢印を決め、「ここでエンジンが止まる」としたら、消しゴムをどちらへ動かすかを説明してもらいます。目的地を反対側に変えれば、同じ下流への移動でも、残りの道のりが増える場合と減る場合があると確かめられます。

個別指導で確かめるときは、下りと上りの式だけでなく、1 時間あたりの道のりという速さの意味や、分を時間へ直すところまで戻ります。図では説明できるのに計算だけ止まるなら、分数を使った時間の換算を切り分けて練習します。

まとめ

流水算の答案には、計算の結果だけでなく、その数がどの動きを表しているかも残しましょう。「時速 8 km」とだけ書く場合と、「上りの速さは時速 8 km」と書く場合では、あとから読み直したときの確かめやすさが違います。途中で条件が変わる問題でも、速さの名前と船の位置が書いてあれば、どこから計算を直せばよいかを見つけられます。

船の力が止まることと、岸から見た船が止まることは別です。流水算の式を決めるのは、船が進もうとする向きと、水が運ぶ向きの関係です。