中学受験の算数 組み合わせの重複—選ぶ順を入れ替えても同じ組になる理由を説明する｜武蔵野個別指導塾

5枚の札から2枚を選ぶとき、順番を区別すると20通り、組にすると10通りになります。同じ組を二度数えないために、表の上側だけを読み、重なった2回を1回に戻して考えるのが組み合わせの重複です。

出方の型と見通し

よくあるのは、5枚の札から2枚を選ぶ問題で、1と2の組と2と1の組を別のものとして数えてしまう場面です。答えが2倍になり、見直しても「どれも違う選び方に見える」ので、本人には間違いの場所がわかりません。組の数を数える問題は、この重なりをどう処理するかで決まります。

出方の型は大きく3つあります。1つ目は、数枚の札やカードから2枚を選ぶ型で、組の数をそのまま聞かれます。2つ目は、何人かの集まりから3人を選ぶ型で、選ぶ人数が増えると重なりの回数も増えます。3つ目は、特定の人を含む組や、2人を同時に選ばない組のように、条件を1つ足す型です。

どの型も手順は同じです。まず選ぶ順を区別して数え、次に同じ組が何回ずつ出てくるかを調べ、最後にその回数で割ります。この3歩を表で確かめると、重なりの回数が目で見えるので、わり算の数を暗記しなくても自分で決められます。次の節で、まず2枚の組を表に書き出し、重なりがどこに現れるかを見ます。

用語と考え方

組は、選んだものの集まりだけを見て、選ぶ順番を区別しない数え方です。順列は、選んだものの並べ方まで区別する数え方です。たとえば1と2の2枚を選ぶとき、組としては「1と2」の1つですが、順列としては「1の次に2」と「2の次に1」の2つがあります。この違いが、この単元のすべての分かれ目になります。

5枚の札1、2、3、4、5から2枚を選ぶ場面で考えます。順番を区別すると、1枚目の選び方が5通り、そのそれぞれについて2枚目の選び方が4通りあるので、5×4=20通りの並びになります。ところが、この20通りの中には「1の次に2」と「2の次に1」が別々に入っています。組として見れば、この2つは同じ「1と2」です。

図1のように、縦と横に同じ5枚を並べた表を書くと、重なりの正体がはっきりします。表の上側だけを読むと、1と2、1と3、1と4、1と5、2と3、2と4、2と5、3と4、3と5、4と5の10個です。下側は同じ組を順番を逆にして書いたものなので、上側の10個と一対一で対応します。だから順番を区別した20通りは、どの組もきっかり2回ずつ数えていることになります。

2枚のときの重なりが2回なのは、選んだ2枚の並べ替えが2通りしかないからです。3枚に増えると、並べ替えは3×2×1=6通りになります。この回数は選んだ枚数だけで決まるので、3枚なら6で割る、4枚なら24で割るという形で使えます。ただし、この回数を丸暗記すると、2枚のときに3で割る、3枚のときに3で割るといった取り違えが起こります。まず表で重なりの回数を確かめ、そのあとで計算の数を決める順序にしてください。

順列との対応を、3枚の札1、2、3で具体的に見ます。順番を区別した並びは、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,3)、(3,1)、(3,2)の6つです。この6つを組ごとにまとめると、(1,2)と(2,1)が「1と2」、(1,3)と(3,1)が「1と3」、(2,3)と(3,2)が「2と3」になり、3つの組に2つずつ対応します。6÷2=3で、組の数が3通りと出ます。この対応表を自分で書くと、わり算が「同じ組を1つにたたむ操作」であることが、式の意味として残ります。

なぜ重なりの回数が、選ぶ枚数の並べ替えの数になるのかを考えます。順番を区別して数えたとき、ある1つの組は、1番目に置く札の選び方、2番目に置く札の選び方、というふうに何度も登場します。3枚の組なら、1番目が3通り、2番目が2通り、3番目が1通りで、同じ組が3×2×1=6回です。4枚の組なら4×3×2×1=24回になります。つまり割る数は、選んだ組の中で札を並べ替える方法の数です。選んだ枚数そのものではない点を、式を立てる前に確かめてください。

図1の表では、上側の10個だけに印が付いています。下側の灰色の部分は、同じ組を逆順に書いた重なりです。表を1行ずつ指でたどりながら「この組はもう上に出たか」と確かめると、重なりを数える感覚が身につきます。

基本例題

例題1です。1、2、3、4、5の5枚の札から2枚を選ぶとき、組は何通りあるかを求めます。選ぶ順番は区別せず、同じ2枚の組は1通りと数えます。

順番を区別して数えると、1枚目が5通り、2枚目が4通りで、5×4=20通りです。この20通りを、同じ組ごとに2つずつに分けます。1と2の組には「1の次に2」と「2の次に1」の2通りが入り、ほかの組も同じです。したがって、20÷2=10通りが組の数になります。

書き出して確かめると、1と2、1と3、1と4、1と5、2と3、2と4、2と5、3と4、3と5、4と5の10個です。1を含む組が4個、2を含む組でまだ書いていないものが3個、3を含む組でまだ書いていないものが2個、4を含む組でまだ書いていないものが1個、5はすべて書き終わっているので0個です。4+3+2+1=10となり、わり算の答えと一致します。

図2のように、左で順番を区別して20通りを作り、中央で1組に2通りずつ重なっていることを確かめ、右で20÷2=10として組の数に戻します。わり算は20を小さくする操作ではなく、重なった分を1回分に戻す操作だと見てください。この見方ができると、3枚のときも同じ流れで考えられます。

図2の左の箱の20通りは、あくまで途中の数です。問題が組の数を聞いているなら、右の箱の10通りまで進んでから答えを書きます。途中の数を答えの欄に書かないための合図として、式の最後に「÷2」があるかどうかを見る習慣が役に立ちます。

標準例題

例題2です。A、B、C、D、E、Fの6人から3人を選ぶとき、組は何通りあるかを求めます。3人の並び順は区別せず、同じ3人の集まりは1通りと数えます。

順番を区別すると、1人目が6通り、2人目が5通り、3人目が4通りで、6×5×4=120通りです。次に、選んだ3人1組あたり、並びが何通りあるかを調べます。A、B、Cの3人を並べると、ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBAの6通りです。どの3人の組でも同じように6通りの並びができるので、120÷6=20通りが組の数になります。

別の数え方で照合します。Aを含む組は、残り5人から2人を選ぶ組なので、5×4÷2=10通りです。Aを含まない組は、BからFまでの5人から3人を選ぶ組なので、5×4×3÷6=10通りです。10+10=20となり、さきほどの20と一致します。この分け方は、3人を選ぶ問題で特定の1人を含むか含まないかで場合分けするときの土台になります。

3枚の重なりが6回になる理由を、もう一度確かめます。1組の3人を固定すると、1人目の選び方が3通り、2人目が2通り、3人目が1通りで、3×2×1=6です。2枚のときの2通りと混同しないように、選んだ枚数を書き出して並べ替えを実際に作ってみるのが確実です。6で割らずに3で割って40通りと答える誤りは、この並べ替えの数を3と数えたところから生まれます。

枚数が変わると組の数がどう変わるかを、2枚を選ぶ場合で並べておきます。札が2枚なら1通り、3枚なら3通り、4枚なら6通り、5枚なら10通り、6枚なら15通り、7枚なら21通りです。前の数との差が2、3、4、5、6と1ずつ増えていく点も、書き出しの表と対応させると納得できます。3人を選ぶ場合は、4人なら4通り、5人なら10通り、6人なら20通り、7人なら35通り、8人なら56通りと増えていきます。数を覚えるのではなく、表の1行が増えたときに組が何個増えるかを、書き出しで確かめてください。

発展例題

例題3です。A、B、C、D、E、F、Gの7人から3人を選ぶとき、AとBを同時に選ばない組は何通りあるかを求めます。3人とも違う人であることは前提です。

まず条件を付けずに、7人から3人を選ぶ組の数を求めます。順番を区別すると7×6×5=210通りで、1組あたり6通りの並びがあるので、210÷6=35通りです。次に、AとBを同時に選ぶ組を数えます。AとBの2人を先に決めると、3人目はCからGまでの5人から選ぶので5通りです。35通りの中には、この5通りが条件に反する組として入っています。したがって35-5=30通りが答えです。

場合分けでも照合します。AもBも選ばない組は、CからGまでの5人から3人を選ぶので、5×4×3÷6=10通りです。Aだけを選びBを選ばない組は、B以外の5人から2人を選ぶので、5×4÷2=10通りです。Bだけを選びAを選ばない組も同じく10通りです。10+10+10=30となり、引き算の答えと一致します。

この問題の分かれ目は、同時に選ばないという条件の読み方です。AもBも選ばない組だけを答えてしまうと10通りになります。同時に選ばない、という条件は、Aだけの組、Bだけの組、どちらも選ばない組の3種類をすべて含みます。問題文の条件を表の行に分けて書き直してから数えると、この読み違いを防げます。条件が「AもBも選ばない」に変わったら、答えは10通りです。同じ7人から3人を選ぶ問題でも、条件の言葉が変われば数え方が変わることを、並べて確かめてください。

別の条件でも確かめます。7人から3人を選ぶとき、AとBをどちらも選ぶ組は5通りでした。AまたはBを含む組は、Aだけの10通り、Bだけの10通り、両方の5通りを足して25通りです。AもBも選ばない組の10通りと足すと35通りになり、全体と一致します。3つの区分が重ならず、すべての組を尽くしていることを、足し算の1本で確かめられるわけです。

誤答を直す

よくある誤答は、5枚の札から2枚を選ぶ問題で20通りと答えるものです。式は5×4で、計算そのものは正しいのに、答えが組の数になっていません。原因は、1と2の組と2と1の組を、別の選び方として数えていることです。本人は「1を先に取る場合と2を先に取る場合がある」と説明するので、順番を区別している自覚がありません。

修正の第一歩は、表を上側だけ書くことです。1を含む組を横に書き、次に2を含む組でまだ書いていないものを下の段に書き、という順に進めると、同じ組が二度出ません。書き出した組の数を数えると10個です。もう一歩進んで、順番を区別した20通りから、同じ組の2回ずつを1回に戻す計算を書きます。20÷2=10です。図3の上の段が、この修正の流れです。

同じ誤りは3枚でも起こります。6人から3人を選ぶ問題で、6×5×4=120と答えれば、これも順番を区別した数です。1組あたり6通りの並びが重なっているので、120÷6=20と直します。図3の下の段のように、2枚は÷2、3枚は÷6と、割る数が変わる点を並べて覚えます。÷3としてしまう誤りは、3人だから3で割る、と考えた結果です。割る数は選んだ人数ではなく、その人数の並べ替えの数です。

図3のように、上の段は2枚の重なり、下の段は3枚の重なりをそろえて直しています。別の誤りも紹介します。表の上側と下側の両方に印を付けて、5枚から2枚の組を20通りと数える誤りです。これは順列と同じ数え方を表で繰り返しただけで、重なりは直っていません。表を使うときは、上側だけ、または下側だけに印を付けると決めてから書き始めてください。4枚から2枚なら4×3÷2=6通り、6枚から2枚なら6×5÷2=15通りです。同じ2枚を選ぶ問題でも、枚数が変わると途中の数は変わりますが、最後に2で割る理由は変わりません。

練習問題

次の5問を解いてください。答えは整数で求め、組の数は選ぶ順を区別しないで数えます。

1. 1から7までの7枚のカードから2枚を選ぶとき、組は何通りありますか。
2. 8人の生徒から3人を選ぶとき、組は何通りありますか。
3. 6種類の花から2種類を選ぶとき、組は何通りありますか。
4. 男子5人と女子4人の中から2人を選びます。男子と女子を1人ずつ選ぶ組は何通りありますか。
5. 9人の中から3人を選ぶとき、Aを含む組は何通りありますか。また、Aを含まない組は何通りありますか。

答えと解き方

問1の答えは21通りです。順番を区別すると7×6=42通りで、1組あたり2通りの並びが重なるので、42÷2=21です。書き出して確かめるなら、6+5+4+3+2+1=21と数えても同じになります。

問2の答えは56通りです。順番を区別すると8×7×6=336通りで、選んだ3人の並べ替えは3×2×1=6通りなので、336÷6=56です。

問3の答えは15通りです。順番を区別すると6×5=30通りで、同じ2種類の組が2回ずつ出るので、30÷2=15です。

問4の答えは20通りです。男子を先に選び、女子をそのあとに選ぶと決めると、男子の選び方が5通り、そのそれぞれについて女子の選び方が4通りで、5×4=20です。1つの組には男子1人と女子1人が1回ずつしか入らないので、同じ組が2回出てくることはなく、2で割る必要がありません。男女を1人ずつという条件が、組の作り方を決めているからです。

問5の答えは、Aを含む組が28通り、Aを含まない組が56通りです。Aを含む組は、残り8人から2人を選ぶので、8×7÷2=28です。Aを含まない組は、A以外の8人から3人を選ぶので、8×7×6÷6=56です。28+56=84で、9人から3人を選ぶ組の総数9×8×7÷6=84と一致します。2つの答えを足して全体になることを確かめると、場合分けに漏れがないとわかります。

覚えておくこと

• 組の数は、選ぶ順を区別せずに数えます。
• 順番を区別して数えたら、同じ組が何回ずつ出るかを調べます。
• 2枚なら2回、3枚なら6回、4枚なら24回と、並べ替えの数で割ります。
• 表は上側だけ、または下側だけに印を付けると、重なりを防げます。
• 条件のある問題は、全体から条件に合う組を引くか、条件ごとに場合分けして足します。

つまずきの見分け方

5枚から2枚の問題で答えが20通りになったら、順番を区別しています。表の1行を指して「この2つは同じ組ですか」と聞くと、本人が自分で重なりに気づきます。6人から3人の問題で答えが40通りになったら、÷3と÷6を取り違えています。ABCの並べ替えを実際に6つ書かせると、割る数が確かになります。

表の両側に印を付けて数えている場合は、同じ組が2回出ていることを、指でたどって確かめます。条件のある問題では、同時に選ばないを、どちらも選ばないと読み違えていないかを、条件の言葉を表の行に書き直して確かめます。練習問題の問5のように、場合分けした2つの数を足して全体になるかを見ると、漏れと重なりの両方を点検できます。

個別指導では、式の前に表を1つ書かせ、組の数を数えさせてから式を立てます。式が先に浮かんでしまうお子さまには、なぜその数で割るのかを並べ替えの実物で説明させます。説明が止まる箇所が、そのまま復習する場所になります。