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中学受験の算数水そうと水位—沈めた物の体積と水が占める底面積を区別する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.15更新 2026.11.15武蔵野個別指導塾の特徴中学受験の算数図形を掘り下げる

底に固定したおもりを水が越えると、水の広がる面積が変わるため、同じ割り算のままでは水位を取り違えます。28Lが25cmになる計算と、あふれない内寸の確かめが分かれ目です。おもりの上端で区切る水位です。

よくあるのは、水そうの底におもりを固定して水を入れた場面です。おもりの上端より水面が低いうちは、水はおもりのまわりのすき間だけを埋めます。ところが水が上端を越えたとたん、水面より上のおもりの側面は水に接しなくなり、水は水そうの内側の幅いっぱいに広がります。ここで割る数をすき間の面積のままにしておくと、水位は実際より高く出ます。水の量も底面積も問題文の数を使っているのに、答えだけがずれるので、本人には理由が見えません。どこで水の広がり方が変わるのかを、図の上で確かめることが出発点になります。

問われ方が三つに分かれる

水そうと水位の問題は、聞かれ方によって式の組み立てが変わります。大きく分けると三つです。

第一は、入れた水の量から水位を求める型です。水の体積を、水が占める底面積で割ります。この割る数が、水面の位置によって変わるかどうかが分かれ目になります。水の量だけを見て式を立てると、上端を越えた後も狭い面積で割ってしまいます。

第二は、水位からおもりの高さや体積を求める型です。水位と水の量が分かっているときに、おもりが水を押しのけている体積を、全体の体積との差として取り出します。水面が上端より上か下かで、使う式が変わります。どちらの場合かを決める条件が問題文にないときは、自分で場合を仮定し、その仮定が数で成り立つかを確かめます。

第三は、あふれるかどうか、あと何L入るかを問う型です。水そうの内側の深さと、おもりの上端までの容積を先に計算し、そこへ水の量を当てはめます。水面が縁に達した後に入れた水は外へ出るので、水位は縁の高さで止まります。あふれた量を問われるときは、縁までの容積と入れた水の差を取ります。

どの型でも、問題文から次の四つを拾ってから式を立てます。水そうの内側のたてと横と深さ、おもりの底面積と高さ、おもりが底に固定されているかどうか、水があふれてよいかどうかです。おもりが水に浮く設定や、途中で取り出す設定は、ここで扱う範囲の外にあります。底に固定された柱状のおもりだけを考えます。おもりの形がいびつだと水が占める面積を一言で表せないので、底面が長方形の柱に限ります。

水が占める底面積を二つの段に分ける

水位を求めるときに使う面積は、水そうの底面積そのものではありません。水が実際に広がっている部分の面積です。おもりの上端より水面が低いとき、水はおもりの側面にさえぎられるので、水が占める底面積は「水そうの底面積 − おもりの底面積」になります。おもりの上端より水面が高いときは、上端より上に水をさえぎる物がないので、水が占める底面積は水そうの底面積そのものになります。

図1のように、左は水面がおもりの上端より下にあるときです。水はおもりの左右のすき間を埋め、上端の上には出ていません。右は、水面が上端を越えたときです。上端より上では水が水そうの内側の幅いっぱいに広がり、おもりの側面はもう水と接していません。同じ水そう、同じおもりでも、水面の位置だけで水の広がり方が変わることを、この二つの絵で見比べます。

二つの段を分ける高さは、おもりの高さです。だから、水位を出す前に、まず「水面はおもりの上端より上か下か」を決めます。決めずに計算すると、二つの段のどちらか一方の面積を、もう一方の場面に使ってしまいます。面積を選ぶ順序は、水の量を計算する前でも後でもかまいません。後で選ぶ場合は、出した水位とおもりの高さを比べて、仮定と合っているかを確かめます。

水の体積は、水位が上がっても増えません。増えるのは、水そうの中で水が動ける場所の形だけです。だから、どの段でも次の関係が成り立ちます。

水の体積 = 水が占める底面積 × 水位

この式が使えるのは、水面が平らで、水そうが傾かず、水が外へ出ていないときです。水面が傾いたり、水が縁を越えて流れ出たりすると、水の体積と水位の関係は崩れます。問題文に「あふれない」とあるときは、最後に水位が縁の高さを超えていないかも確かめます。逆に「あふれる」とあるときは、縁までの容積を先に出し、入れた水の量と比べます。

二つの段をまとめて言うと、おもりの上端まではすき間の面積で数え、上端より上は水そうの底面積で数えます。順序を入れ替えても、二つの部分の水の量を足せば同じ水の量になります。覚えるべきは文字の式ではなく、図のどこがどの面積かを指で追えることです。

おもりが水を押しのける、という言い方をすることがあります。正確には、おもりが占めている場所には水が入れない、ということです。おもりの上端より下では、おもりの底面積の分だけ水の入る場所が減っています。上端より上では、減っている場所がありません。水の体積が同じなら、入る場所が狭いほど水位は高くなります。狭い場所と広い場所を同じ面積で割ると水位の上がり方が変わるのは、このためです。

基本例題　水面がおもりの上端より下にあるとき

内側のたて40cm、横30cm、深さ40cmの水そうがあります。底の中央に、底面が10cm×10cm、高さ20cmの柱状のおもりを固定しました。水を16.5L入れたとき、水面の高さは何cmになりますか。

図2のように、水そうの断面で、底面積とおもりの位置、水面の高さを確かめながら進めます。

まず、水そうの内側の底面積を出します。40×30 = 1200で、1200cm²です。

次に、水が占める底面積を出します。おもりの底面は10×10 = 100cm²です。おもりの上端は20cmなので、水面が20cmより低ければ、水はおもりのまわりのすき間だけに入ります。水が占める底面積は1200 − 100 = 1100cm²です。

水の量をcm³に直します。1Lは1000cm³なので、16.5L = 16500cm³です。

水の体積を水が占める底面積で割ります。16500÷1100 = 15で、水位は15cmです。

最後に、水面がおもりの上端より下にあるという前提を確かめます。15cmは20cmより低いので、水は上端を越えていません。深さ40cmよりも低いので、あふれてもいません。答えは15cmです。

確かめに、水位から水の量へ戻します。1100×15 = 16500cm³で、16.5Lになります。問題文の水の量と一致しました。面積と水位のどちらから計算しても同じ水の量になることを、一度は自分で確かめておくと、次の例題で面積を選び間違えたときに気づけます。

ここで大事なのは、1100で割ったことより、なぜ1100でよいかを言えることです。水面がおもりの上端より下だから、水はおもりの底面積の分だけ入る場所が減っている、と言えれば、上端を越える問題でも同じ判断を使えます。逆に、なぜ1100なのかを言えないまま計算していると、水が上端を越えた場面で同じ数を使い続けてしまいます。

標準例題　水面がおもりの上端を越えるとき

同じ水そうとおもりを使います。水を28L入れたときの水面の高さを求めます。また、その状態からあと何L入れると水そうがいっぱいになるかも求めます。

まず、おもりの上端までの容積を出します。水面がちょうど20cmのとき、水が占める底面積は1100cm²です。1100×20 = 22000cm³で、22Lです。この22Lは、水面がおもりの上端に届くまでに入る水の量です。

入れた水は28Lで、22Lより多いので、水面はおもりの上端を越えています。ここで初めて、上端より上では水が水そうの内側いっぱいに広がると決まります。計算の途中で面積が切り替わるので、切り替わる高さと、そこまでの水の量を先に押さえます。

上端より上の水の量を出します。28 − 22 = 6L、6000cm³です。

上端より上では、水が占める底面積は1200cm²です。6000÷1200 = 5で、上端から5cm上がります。

水位は20 + 5 = 25cmです。深さ40cmより低いので、あふれていません。

満水までの残りを求めます。水面が25cmのとき、深さ40cmまでの残りは40 − 25 = 15cmです。上端より上では底面積が1200cm²なので、1200×15 = 18000cm³、18Lです。答えは水位25cm、あと18Lです。

別の順でも確かめられます。先に水そう全体の容積を出し、そこからおもりが水そうの中で占める体積を引いて、水そうに入る水の最大量を求めます。40×30×40 = 48000cm³、おもりの体積は10×10×20 = 2000cm³です。48000 − 2000 = 46000cm³、46Lが満水までに入る水の量です。いま28L入っているので、46 − 28 = 18L。同じ答えになりました。

この二つの求め方の違いは、水位を先に出すか、容積を先に出すかです。水位を問われているときは、上端までと上端より上に分ける方が、途中の数が水位に結びつきます。あと何Lかを問われているときは、全体の容積からおもりの体積を引く方が短く済みます。どちらも同じ水の量の数え方なので、問題の聞き方に合わせて選びます。

この例題で覚える手順は三つです。上端までの水の量を出す、入れた水がそれを超えるかを見る、超えた分を水そう全体の面積で割る。この三つを順に声に出して確かめれば、面積の切り替えを忘れにくくなります。

発展例題　水位からおもりの高さを読む

内側が30cm×30cm、深さ35cmの水そうがあります。底に、底面が10cm×10cmの柱状のおもりを固定しました。おもりの高さは書かれていません。水を13.2L入れると、水面は16cmになりました。おもりの高さは何cmですか。

まず、水面が16cmのとき、水そう全体で占める体積を出します。30×30 = 900cm²、900×16 = 14400cm³です。これは、おもりがなく、水そう全体が水で満たされたとしたときの体積です。

実際の水は13.2L、13200cm³です。全体の体積との差は、14400 − 13200 = 1200cm³です。

この差は何かを考えます。水面が16cmのとき、水面より下にあるおもりの部分には水が入りません。だから、全体の体積から水の体積を引いた残りは、水面より下にあるおもりの体積です。1200cm³です。

おもりの底面積は10×10 = 100cm²です。水面より下のおもりの高さは1200÷100 = 12cmです。

ここで、水面より下のおもりの高さが12cmで、水位の16cmより低いことを確かめます。もしおもりの高さが16cm以上なら、水面より下のおもりの体積は100×16 = 1600cm³で、水の量は14400 − 1600 = 12800cm³になるはずです。実際の水は13200cm³で、これより多いので、おもりの高さは16cmより低いと決まります。よって、おもりの高さは12cmです。

確かめに、おもりの高さ12cmで水の量を戻します。上端まで水が占める底面積は900 − 100 = 800cm²です。800×12 = 9600cm³。上端より上は900cm²で、水位16cmまで4cm分なので、900×4 = 3600cm³。9600 + 3600 = 13200cm³、13.2Lです。問題文と一致しました。

別の見方をすると、この問題は「水面より下のおもりの体積を、全体の体積と水の体積の差で測っている」問題です。おもりの高さが水位より低いと決まれば、差はそのままおもりの体積になります。水位より高い場合は、差はおもりの体積ではなく、おもりの上端までの体積になるので、同じ引き算では高さを出せません。

この問題で、水位が16cmという条件だけを見て、いきなり「900 − 100 = 800で割る」と進むと、おもりの高さが16cm以上なのか下なのかを決めないまま計算することになります。差の1200cm³が、水面より下のおもりの体積だと決まるのは、おもりの高さが水位より低いと確かめられたからです。条件が足りないように見える問題では、まず場合を決め、決めた場合が成り立つかを数で確かめます。

ありがちな誤答と直し方

上端を越えた後も同じ数で割る

標準例題で、28Lをそのまま1100で割る誤答があります。28000÷1100 = 25.45…となり、25.5cmと答えてしまいます。水が上端を越えた後は、上端より上で水が広がる面積が1200cm²に変わるので、この割り算は使えません。

直し方は、上端までに使った水の量を先に引くことです。上端までが22L、残りが6L、残りは1200cm²で割って5cm、合わせて25cmです。図3のように、水そうを上端で二つに区切り、下の部分と上の部分で割る数が違うことを図に書きこむと、同じ間違いを繰り返しにくくなります。

この誤答が消えにくいのは、25.5cmという数が問題文の数と矛盾しないからです。水位が25.5cmでも、水そうの深さ40cmより低く、あふれません。見た目では気づけません。確かめるべきは、水位がおもりの上端より上か下かという一点です。

おもりの体積を水の体積に足す

おもりを入れると水が増えたように感じて、水の量に2000cm³を足す誤答もあります。水の量は、入れた16.5Lや28Lのままで変わりません。おもりを入れると水位が上がるのは、水が増えたからではなく、水の入る場所が狭くなったからです。足すのは体積ではなく、割る面積の方を変えます。この取り違えは、式の形が「水の量 + おもりの体積」になっていたら見つかります。

条件が足りないまま式を選ぶ

水位と水の量だけが与えられ、おもりの高さが分からない問題では、水面がおもりの上端より上か下かで式が変わります。どちらの場合かを決めずに一方の式へ進むと、答えが合わないだけでなく、合わない理由も見えません。発展例題のように、全体の体積と水の体積の差からおもりの高さを出し、その高さが水位より低いことを確かめる順に進みます。

見た目で「水が少なそうだから上端より下」と決めるのも危険です。水そうが広くて浅く、おもりが細くて高いと、水の量が多く見えても水面は上端より下にあります。逆に、水そうが狭くておもりが太いと、少しの水で上端を越えます。見た目ではなく、上端までの容積と水の量を比べます。

練習問題

次の5問を、図を書きながら解きます。おもりはすべて底に固定され、水そうは傾きません。あふれの有無は各問で確かめます。答えは単位を付けて書きます。

内側がたて50cm、横20cm、深さ30cmの水そうに、底面10cm×10cm、高さ15cmの柱状のおもりを固定しました。水を9L入れると、水面は何cmになりますか。
内側がたて60cm、横40cm、深さ30cmの水そうに、底面20cm×20cm、高さ10cmの柱状のおもりを固定しました。水を32L入れると、水面は何cmになりますか。
内側が40cm×40cm、深さ30cmの水そうに、底面20cm×20cmの柱状のおもりを固定しました。水を24L入れると、水面は18cmになりました。おもりの高さは何cmですか。
内側がたて40cm、横30cm、深さ22cmの水そうに、底面10cm×10cm、高さ20cmの柱状のおもりを固定しました。水を26L入れると、水はあふれますか。あふれる場合は、水面の高さとあふれる水の量を求めなさい。
内側がたて50cm、横30cm、深さ30cmの水そうに、底面10cm×20cm、高さ15cmの柱状のおもりを固定しました。水を入れて水面が12cmになったところで、さらに6.9Lを加えました。水面は何cmになりますか。

解答と解き方

底面積は50×20 = 1000cm²、水が占める底面積は1000 − 100 = 900cm²です。9L = 9000cm³、9000÷900 = 10cm。10cmはおもりの高さ15cmより低いので、この面積でよい。答え10cm。
底面積は60×40 = 2400cm²、おもりの底面積は20×20 = 400cm²です。上端までの容積は（2400 − 400）×10 = 20000cm³、20Lです。32Lはこれより多いので、水面は上端を越えています。残りは32 − 20 = 12L、12000cm³。上端より上では底面積2400cm²なので、12000÷2400 = 5cm。水位は10 + 5 = 15cmです。15cmは深さ30cmより低いので、あふれません。答え15cm。
水面が18cmのとき、水そう全体の体積は40×40×18 = 28800cm³です。水は24L = 24000cm³なので、差は28800 − 24000 = 4800cm³です。この差が、水面より下にあるおもりの体積です。おもりの底面積は20×20 = 400cm²なので、4800÷400 = 12cmです。12cmは水位18cmより低いので、この考え方でよい。答え12cm。
上端までの容積は（40×30 − 10×10）×20 = 1100×20 = 22000cm³、22Lです。深さ22cmのうち、上端より上は2cmで、底面積1200cm²なので、1200×2 = 2400cm³、2.4Lです。縁までの容積は22 + 2.4 = 24.4Lです。入れた水は26Lでこれを超えるので、あふれます。水面は縁の高さ22cmで止まり、あふれる水は26 − 24.4 = 1.6Lです。答え、水面22cm、あふれる水1.6L。
底面積は50×30 = 1500cm²、おもりの底面積は10×20 = 200cm²です。水面が12cmのとき、水が占める底面積は1500 − 200 = 1300cm²で、水の量は1300×12 = 15600cm³、15.6Lです。加えた6.9L = 6900cm³のうち、上端の15cmまではあと3cmなので、1300×3 = 3900cm³を使います。残りは6900 − 3900 = 3000cm³です。上端より上は底面積1500cm²なので、3000÷1500 = 2cm。水位は15 + 2 = 17cmです。深さ30cmより低いので、あふれません。答え17cm。