中学受験の算数 角錐と円錐の体積—同じ底面と高さの柱体と比べて量を求める｜武蔵野個別指導塾

角錐や円錐の体積は、同じ底面と高さの柱体の3分の1です。水を3回注ぐ操作で理由をつかみ、斜辺と高さを図で見分ける練習を重ねれば、3で割る一手を迷わず選べます。柱体と量を比べる相手が錐体です。

よくあるのは、四角錐の見取図を前にして、頂点から底面の角へ斜めに引かれた線をそのまま高さと読んでしまう場面です。手元の子は、底面の一辺と斜めの線の長さを式に入れ、割り切れない答えをそのまま書き添えます。ところが問題文には「高さ」とあり、図の内側にも底面に垂直な線が引かれています。斜めの線は頂点と底面の角を結ぶ辺であって、底面に垂直ではありません。式の形は合っているのに、入れる長さを一つ取り違えるだけで答えが変わります。ここでは、柱体と錐体を並べて見比べながら、どの長さを式に入れるのかを決める手順を整えます。

問われ方の3つの型と、条件の読み取り

最初の型は、柱体と錐体を並べた比較です。同じ底面と高さの角柱と角錐、または円柱と円錐が図に並び、「錐体の体積は柱体の何倍か」「柱体の体積から錐体の体積を求めなさい」と問われます。この型では、二つの立体の底面と高さが本当に同じかどうかを、図の寸法で確かめることが出発点になります。

二つ目の型は、底面積を先に求める二段構えです。底面が三角形や正方形、円などで、その寸法が底面の図に書き込まれています。立体の高さは別の場所に示され、底面積を出してから高さをかけ、最後に3で割る順になります。底面の形が変わるだけで、手順そのものは変わりません。

三つ目の型は、高さと斜辺の見分けです。側面の斜めの辺の長さが書かれ、高さは別の位置に直角の印とともに書かれています。どちらの長さを式に入れるかを判断させる型で、数字を拾う順番を間違えると、式の形が合っていても答えがずれます。

条件の読み取りでは、まず「底面に垂直な高さ」がどこに書かれているかを見ます。直角の印、点線の垂線、文章の「高さ」という語の三つを手がかりにします。次に底面の形と寸法を確かめ、単位をそろえます。体積の単位は cm³ で答えるのか、m³ で答えるのかも、問題文の指定に従います。円錐では円周率が 3.14 などと指定されるので、その数を使います。

図が二つ並ぶ問題では、どちらの立体の寸法がどちらに属するかを線で結んで確かめます。底面の辺の長さは両方に共通で、高さも同じ値が使われていることが多いのですが、片方にだけ斜めの長さが書き込まれている場合は、その数が高さではないことを疑います。文章と図の数が食い違って見えたら、図の直角の印を優先し、文章の「高さ」と結びつけます。

頂点から底面へ下ろした垂線の足が、底面の内側にあるとは限りません。足が底面の辺の上に来ることも、底面の外側に来ることもあります。それでも、垂線の長さが高さです。図で足の位置が中心からずれて見えても、直角の印がついた線を選べば体積は同じ式で求められます。足の位置と高さを混同すると、底面積の計算に余計な数をかけたり、斜辺を高さにしたりする誤りにつながります。

底面と高さ、斜辺はどこが違うか

角錐は底面が多角形の錐体、円錐は底面が円の錐体です。どちらも、底面の外側に一つの頂点があり、頂点と底面の頂点や円周を結んだ面が側面になります。体積を求めるときに使う高さは、頂点から底面に垂直に下ろした長さです。底面のどこに下ろしてもよく、垂線の足が底面の中心にあるとは限りません。

斜辺は、頂点と底面の頂点を結ぶ辺です。円錐では頂点と円周を結ぶ線を母線と呼びます。斜辺も母線も、底面に垂直ではありません。頂点から底面までまっすぐ下りる高さに対して、斜辺は斜めに渡る分だけ長くなります。同じ頂点から出ていても、行き先が違うのです。

図1のように、同じ底面と高さの柱体と錐体を並べると、錐体のほうが細って見えます。柱体の体積は、底面積に高さをかけた量です。錐体の体積は、同じ底面と高さの柱体の3分の1になります。式にすると、底面積×高さ÷3 です。底面が三角形でも四角形でも円でも、この関係は変わりません。

柱体を同じ厚さの板で下から積み上げたものと見ると、どの高さでも断面の大きさは変わりません。錐体では、下のほうの断面は大きく、頂点に近づくほど小さくなります。同じ高さで並べたとき、錐体の断面の合計は柱体の3分の1に収まる、という見方ができます。水を注ぐ操作も、この板の積み上げも、÷3という同じ結末を指しています。

なぜ3分の1になるのかは、水を移す操作で確かめられます。同じ底面と高さの柱体を空にして、錐体に水を満たして注ぎます。1回目で底のほうが満ち、2回目で半分を越え、3回目でちょうどいっぱいになります。立方体を、一つの頂点から向かい合う三つの面を底面とする三つの四角錐に分けても、同じ3分の1が見えます。一辺6cmの立方体なら、一つの四角錐は 6×6×6÷3 で72cm³、三つ合わせて216cm³です。

この分け方は、角柱を三角形の柱に切り分け、それぞれを三つの三角錐に分ける手順へ広げられます。底面がどんな多角形でも、円を細かく分けて考えても、同じ3分の1に落ち着きます。公式を覚える前に、一回分の水が柱体のどこまで満たすかを思い浮かべると、÷3の意味が残ります。

柱体と錐体の比は、いつも3対1です。この比を逆向きに使うと、錐体の体積から柱体の体積を戻せます。錐体の体積を3倍すれば、同じ底面と高さの柱体の体積になり、それを底面積で割れば高さが出ます。底面積で割って高さを求める場面では、3倍するのを忘れると、高さが3分の1の値になってしまいます。式を逆向きにたどるときほど、3倍と÷3の向きを声に出して確かめます。

この関係が成り立つ条件は、高さが底面に垂直であることです。底面の形は問いません。頂点が底面の真上になくても、底面に垂直な長さを正しく選べば同じ式が使えます。逆に、斜辺や母線を高さの欄に入れると、3分の1の関係は崩れます。図の中で直角の印がついている長さを探すのは、この条件を守るためです。

基本例題1　四角錐の体積を3で割る

底面が一辺6cmの正方形で、高さが9cmの四角錐の体積を求めます。図2のように、高さは頂点から底面の中心へ垂直に下ろした長さです。

手順を一行ずつ進めます。

1. 底面の形を確かめます。正方形で、一辺は6cmです。
2. 底面積を求めます。6×6 で36cm²です。
3. 同じ底面と高さの柱体の体積を求めます。36×9 で324cm³です。
4. 錐体は柱体の3分の1なので、324÷3 を計算します。答えは108cm³です。

答えは108cm³です。確かめに、108×3 を計算すると324になり、底面積36に高さ9をかけた量と一致します。式の順番を入れ替えても、36×9÷3 で同じ108になります。底面積を先に出す理由は、底面が三角形や円に変わったときも、同じ位置で計算を止められるからです。

基本例題2　三角形の底面でも同じ手順

底面が底辺8cm、高さ5cmの三角形で、立体の高さが6cmの三角錐の体積を求めます。三角形の高さ5cmは底面の中の長さで、立体の高さ6cmとは別の量です。二つの高さが問題文に並ぶので、どちらが底面の高さかを先に決めます。

1. 底面の三角形の面積を求めます。8×5÷2 で20cm²です。
2. 底面積に立体の高さをかけます。20×6 で120cm³です。
3. 3で割ります。120÷3 で40cm³です。

答えは40cm³です。確かめに、40×3 は120、20×6 も120で一致します。三角形の面積で2で割ったあと、立体では3で割るので、割る数が二つ並びます。どちらが底面の形のための割り算か、声に出して確かめると混ざりません。

標準例題　円錐では円周率を問題の指定どおりに使う

底面の半径が4cm、高さが6cmの円錐の体積を、円周率3.14として求めます。直径が示されているときは、半分にして半径に直してから式に入れます。

1. 底面積を求めます。4×4×3.14 で50.24cm²です。
2. 同じ底面と高さの円柱の体積を求めます。50.24×6 で301.44cm³です。
3. 3で割ります。301.44÷3 で100.48cm³です。

答えは100.48cm³です。確かめに、100.48×3 は301.44になり、円柱の体積と一致します。円周率を途中で3.14に丸めたまま計算を進めるのではなく、問題で指定された3.14をそのまま使います。母線の長さが図に書かれていても、この式では使いません。

直径が8cmと書かれている問題では、半径はその半分の4cmです。半径の欄に8を入れると、底面積が4倍になり、答えも4倍にずれます。高さの単位がmで、底面の半径がcmで書かれているときは、どちらかにそろえてから計算します。1mは100cmなので、mをcmに直すと数が100倍になり、体積はその3乗の割合で変わります。単位の違う数を同じ式に並べないことが先決です。

発展例題　立方体を3つの四角錐に分けて見る

一辺6cmの立方体を、一つの頂点から、その頂点を含まない三つの面へ向かって切ると、同じ大きさの四角錐が三つできます。一つの四角錐の体積を求めます。

1. 底面は立方体の一つの面なので、一辺6cmの正方形です。底面積は 6×6 で36cm²です。
2. 高さは、頂点からその面までの垂直な長さで、立方体の一辺と同じ6cmです。
3. 36×6÷3 を計算して、72cm³です。

三つ合わせると 72×3 で216cm³になり、立方体の体積 6×6×6 と一致します。別の求め方として、立方体の体積を先に出す方法もあります。6×6×6 で216cm³、これを3で割って72cm³です。底面の一辺と高さが同じ6cmなので、底面積×高さ÷3 の式と結果がそろいます。

この分け方は直方体でも同じです。縦と横と高さが違う直方体でも、一つの頂点から向かい合う三つの面を底面とする三つの四角錐に分けられます。三つの体積を足すと直方体の体積に戻るので、一つの四角錐は直方体の3分の1です。立方体は直方体の特別な場合にあたります。頂点をどこに取っても、底面に垂直な長さを高さに選ぶ、という同じ手順が使えます。この見方を使うと、立方体の体積を3で割れば一つの四角錐の体積になる、と説明できます。頂点の位置が立方体の角にあっても、高さは面に垂直な一辺で測る、という点が大切です。

よくある誤答と直し方

よくある誤答の一つは、斜辺を高さとして使うものです。底面が一辺8cmの正方形で、頂点が底面の一つの頂点の真上にあり、高さが6cm、隣の頂点までの斜辺が10cmの四角錐を考えます。図3は、底面の一辺と高さと斜辺の関係を正面から見た図です。

誤答では 8×8×10÷3 と計算し、213と3分の1と書きます。10cmは頂点から隣の頂点へ斜めに渡る長さで、底面に垂直ではありません。正しくは、垂直な高さ6cmを使って 8×8×6÷3 とし、答えは128cm³です。確かめに、128×3 は384、8×8×6 も384で一致します。

二つ目の誤答は、3で割るのを忘れる型です。底面積64に高さ6をかけて384と答え、柱体の体積のまま止まります。式の最後に÷3があるかを指で押さえて確かめ、柱体か錐体かを問題文の言葉で言い直すと防げます。

三つ目の誤答は、底面の面積を求めずに、辺の長さをそのまま三つかける型です。8×8×6 の8が三つ並ぶ式になり、底面が正方形なのか立方体なのかが混ざります。まず底面の形を名指しし、底面積を一行で出してから、高さをかける順に戻します。

底面のまわりの長さを底面積と取り違える型もあります。正方形の周は4×6で24cmですが、これは長さであって面積ではありません。24に高さをかけて÷3と進むと、体積の単位が cm⁴ のような意味のない数になります。底面積は必ず「平方」の単位で答える、と決めておくと、周の長さとの混同を式の段階で止められます。

答えが柱体の体積と同じ数になったときも、立ち止まる合図です。錐体を求める問題で÷3を通っていないと、柱体の量がそのまま残ります。逆に、÷3を二回してしまう子もいます。三角形の底面で2で割ったあと、立体の3でも割るので、割り算が続いて見え、もう一度3で割りたくなるのです。式の中の÷2は底面の形のため、÷3は錐体のため、と役割を分けて書きます。

見た目で判断してしまうこともあります。細長く描かれた錐体では、斜めの辺のほうが長く見えるため、長い数を高さに選びたくなります。しかし式に入れるのは、直角の印がついた垂直な長さです。図の見た目ではなく、印と文章で決めます。

条件が足りない図にも注意します。斜辺の長さだけが書かれ、底面に垂直な高さがどこにも示されていない錐体は、そのままでは体積を決められません。斜辺は高さではないので、斜辺の数を式に入れても正しい量になりません。問題文をもう一度読み、高さを表す数や直角の印が別にないかを探します。見つからないときは、自分の計算ではなく条件の読み落としを疑うのが順序です。

練習問題（5問）

1. 底面が一辺5cmの正方形で、高さが12cmの四角錐の体積を求めなさい。
2. 底面が底辺10cm、高さ6cmの三角形で、立体の高さが9cmの三角錐の体積を求めなさい。
3. 底面の半径が3cm、高さが10cmの円錐の体積を、円周率3.14として求めなさい。
4. ある円錐と同じ底面と高さの円柱の体積が180cm³です。この円錐の体積を求めなさい。
5. 底面が一辺6cmの正方形で、体積が96cm³の四角錐の高さを求めなさい。

解答と解き方

答えには単位を付けます。長さがcmで与えられた問題はcm³、mで与えられた問題はm³です。途中の式では単位を書き込みすぎず、最後の答えで単位をそろえると読みやすくなります。

1. 底面積は 5×5 で25cm²です。25×12 は300、300÷3 で100cm³です。確かめに、100×3 は300で、25×12 と一致します。

2. 底面の三角形の面積は 10×6÷2 で30cm²です。30×9 は270、270÷3 で90cm³です。確かめに、90×3 は270で、30×9 と一致します。

3. 底面積は 3×3×3.14 で28.26cm²です。28.26×10 は282.6、282.6÷3 で94.2cm³です。確かめに、94.2×3 は282.6で、円柱の体積と一致します。

4. 同じ底面と高さの円錐は、円柱の3分の1です。180÷3 で60cm³です。確かめに、60×3 は180で、円柱の体積に戻ります。

5. 体積の式を逆向きにたどります。96×3 で288cm³が、同じ底面と高さの柱体の体積です。底面積は 6×6 で36cm²なので、288÷36 で高さは8cmです。確かめに、36×8÷3 を計算すると96cm³に戻ります。

覚えておくこと

• 錐体の体積は、底面積×高さ÷3 で求めます。
• 高さは、頂点から底面に垂直に下ろした長さです。
• 斜辺や母線は高さではありません。直角の印を探します。
• 底面が三角形でも四角形でも円でも、3分の1は変わりません。
• 答えを出したら、3倍して柱体の体積に戻るかを確かめます。

つまずきの見分け方と、確かめる場所

式の形は書けているのに答えが合わないときは、どの長さを高さに入れたかを指でたどります。図の斜めの線を指しているなら、直角の印のついた線へ指を移させます。÷3を忘れる子は、式を書き終えた時点で「これは柱体か錐体か」を言わせると、自分で気づきます。底面の面積を飛ばして辺をかけている子には、底面の形を名指しさせ、底面積を一行で書かせてから先へ進みます。

説明させる順番も決めておくと便利です。底面の形、底面積、柱体の体積、3で割る、の四つを順に言わせます。途中で言葉が止まった場所が、その子が飛ばしている操作です。数字だけを追わせず、図のどの線を見ているかを指で示させると、見違いと計算違いを分けて見つけられます。

確かめる場所は三つです。一つ目は、図の中で高さを表す線に直角の印があるか。二つ目は、底面積の計算が底面の形に合っているか。三つ目は、最後に3で割ったか。この三つを順に指さしながら説明させると、どこで止まったかがはっきりします。円錐では、直径と半径の取り違えも同じ場所で見つかります。

図を書き直させるのも有効です。見取図の斜めの線を消し、高さの線だけを残して、底面と直角に交わることを確かめます。自分の手で描き直すと、斜辺と高さが別の線であることが、言葉より先に体に入ります。答えが合わなかった問題は、式の直しだけで終わらせず、図のどの線が高さかを指で示せるところまで戻ります。そこまで確かめると、似た形の問題でも同じ迷いが起きにくくなります。

家で見るときは、答えの数字より先に、式の最初の一行を見ます。そこに底面積を出す式があるか、高さとして斜辺の数を書いていないか、最後に÷3があるか。この三つがそろっていれば、計算の途中でつまずいても、戻る場所がはっきりします。逆に式の形が崩れているときは、計算をやり直す前に、図のどの長さを選ぶかに戻ります。