数検4級 式の値｜先に式を整理して負の数や分数の代入ミスを直す｜武蔵野個別指導塾

負の数を括弧に入れて代入し、分数を通分する流れを追います。整理前と整理後を計算して値を照合します。

よくあるのは、負の値を括弧なしで代入した夕方、ノートの途中式が急に読みにくくなる場面です。文字を数字に置き換えるところまでは進んでも、引き算の記号と負の符号が並ぶと、どちらをどう扱うか迷います。先に文字の項を整理し、負の数を括弧で包んでから計算すると、迷った位置を見つけやすくなります。

式の値は、与えられた文字の値を式に代入して得られる数です。文字の値を探す問題とは違い、値は問題文ですでに決まっています。まず与えられた値を見落とさずに書き留め、式の形を整えてから、各文字を置き換えましょう。

代入の前に見る3つの型

1つ目は、同じ文字の項をまとめてから代入する型です。例えば 5x − 2x + 4 は、5x と -2x を合わせて 3x + 4 にできます。x に負の数が入るときも、同じ文字の項をまとめる規則は変わりません。整理すると代入する箇所が減り、符号を確認する場所も少なくなります。

2つ目は、複数の文字にそれぞれ異なる値を入れる型です。x と y がある場合は、x の項をまとめ、y の項も別にまとめます。x の値を y の場所へ入れないよう、問題文の値と文字を対応させてから進めます。文字が異なる項は、係数を足して1つの項にはできません。

3つ目は、分数の値を入れた後に通分する型です。分母が異なる数を足すとき、分子と分母をそれぞれ足すのではなく、同じ大きさの単位にそろえます。負の分数なら、分数全体を括弧に入れ、掛け算で符号を決めてから通分します。これらの型は重なることもありますが、整理、代入、数の計算という順を保つと区別できます。

文字の場所を数に置き換える

項とは、足し算や引き算で区切って見た式のまとまりです。例えば 4x − 3y + 2 の項は、符号も含めて 4x、-3y、2 です。係数は文字に掛かっている数で、-3y の係数は -3 です。文字の部分が同じ項は係数を合わせられますが、x と y は別の文字なので、そのままでは合わせられません。

図1のように、同じ文字の項を先に集め、文字が残った場所に値を入れます。ここでは 4x − x + 2 を 3x + 2 に整理し、x = -2 を代入します。-2 は1つの数として扱うので、3 × (-2) + 2 と書きます。括弧は文字の値がどこからどこまでかを示す目印です。

文字と数字の間の掛け算の記号は、文字式では省かれることがあります。3x は 3 と x の積ですから、x を -2 に置き換えた後は 3 × (-2) と書けます。3 − 2 としてはいけません。また、-x は -1 × x の意味です。x = -2 なら -x は -1 × (-2) で 2 になります。

括弧の前に引き算がある式では、括弧内の各項に注意します。たとえば 6x − (2x − 3) は 6x − 2x + 3 です。括弧の前のマイナスは中の全体を引くことを表すため、2x と -3 の両方の符号が変わります。整理が正しいか不安なら、文字に値を入れた元の式と整理後の式を別々に計算し、同じ値になるか比べる方法があります。

基本例題：負の値を入れる位置

問題：x = -2、y = 3 のとき、4x − (x − 2y) + y の値を整数で求めてください。

まず括弧の前の引き算を処理します。括弧の中は x − 2y なので、その全体を引くと -x + 2y になります。最後の + y は括弧の外にあるため、そのまま残します。

4x − (x − 2y) + y = 4x − x + 2y + y = 3x + 3y

2行目から3行目では、4x − x を 3x に、2y + y を 3y にしました。x の項と y の項は混ぜません。整理した式に、x = -2、y = 3 をそれぞれ入れます。

3x + 3y = 3 × (-2) + 3 × 3 = -6 + 9 = 3

答えは 3 です。図2のように、x の値は最初の 3x に、y の値は次の 3y に対応します。負の数に括弧を付けてから掛けると、-6 の符号を追えます。数の掛け算を先に終え、その後で足し算をする順序です。

元の式に直接戻しても確かめます。4 × (-2) − {(-2) − 2 × 3} + 3 となり、括弧の中は -2 − 6 = -8 です。したがって -8 − (-8) + 3 = 3 となります。整理後の計算と一致するので、括弧を外す操作と代入の両方を見直せました。

この確認では、元の括弧の中を先に計算する点が大切です。-8 を引くことは 8 を足すことなので、最初の -8 と打ち消し合います。答えが一致しない場合は、元の式と整理した式のどちらかで符号を取り違えています。答えだけを消してやり直すより、括弧を外した行と値を入れた行を順番に比べると、原因を絞れます。

分数が混ざるときの分かれ目

問題：a = -1/2、b = 2/3 のとき、2a − (a − 3b) − b の値を既約分数で求めてください。

この式は先に整理できます。括弧全体を引くので、括弧内の a は -a に、-3b は +3b に変わります。最後の -b と合わせると、次のようになります。

2a − (a − 3b) − b = 2a − a + 3b − b = a + 2b

ここで a と b の値を入れます。分数は約分できるところを確かめ、異なる分母の足し算は通分して計算します。

a + 2b = (-1/2) + 2 × (2/3) = -1/2 + 4/3 = -3/6 + 8/6 = 5/6

答えは 5/6 です。分母を6にそろえた後は、6分の1を単位として -3 個と 8 個を合わせています。分母まで足して 5/12 にするわけではありません。分子と分母に共通の約数がないので、この答えは既約分数です。

元の式でも確かめます。括弧内は (-1/2) − 3 × (2/3) = -1/2 − 2 = -5/2 です。よって 2 × (-1/2) − (-5/2) − 2/3 = -1 + 5/2 − 2/3 = -6/6 + 15/6 − 4/6 = 5/6 です。元の各項の値から計算しても一致します。

分かれ目は、同じ文字の項があるかどうかです。あるなら係数をまとめてから入れると、分数を扱う回数が減ります。別の文字の項は無理にまとめず、それぞれの値を入れてから通分します。整理前に代入しても正しく計算すれば同じ値ですが、負号と分数が増えるため、途中式を省かずに残すと確認しやすくなります。

誤答から戻る場所を探す

図3は、x = -3 のときの -2x + 1 で起こりやすい間違いです。誤答の -5 は、負の符号を持つ係数 -2 と、代入する値 -3 の積を負と判断した場合に出ます。負の数と負の数の積は正ですから、正しくは (-2) × (-3) + 1 = 6 + 1 = 7 です。

原因は、2つのマイナスをまとめて眺め、どちらが係数でどちらが代入する数の符号かを区別していないことです。修正するときは -2x の係数を (-2) と書き、x の場所に (-3) を置きます。掛け算の結果を 6 と確定してから、最後に 1 を足します。

別の誤りとして、x = -3 のとき x − 4 を -3 − 4 = 1 とする場合もあります。この式は -3 からさらに 4 小さい数へ進むので、正しくは -7 です。掛け算の符号の規則と、負の数から正の数を引く操作は別々に確認します。数直線を思い浮かべ、出発点と移動する向きを言葉にすると、どちらの操作で迷ったかを見分けられます。

また、括弧を外す行で 5a − (2a + 4) を 5a − 2a + 4 とする誤りもあります。引く対象は 2a + 4 全体なので、正しくは 5a − 2a − 4 です。代入後の答えが合わないとき、計算の最後だけでなく、元の括弧の各項がどう変わったかまで戻ってください。

計算を点検するときの順番

一度計算した答えを見直すときは、数だけを追い直す前に、式の形が元と同じ意味を保っているか確かめます。例えば 8x − (3x + 2) は 5x − 2 です。x = 1 を入れると、元の式は 8 − (3 + 2) = 3、整理後は 5 − 2 = 3 です。一方、誤って 5x + 2 と整理すると 7 になり、元の式との差が見えます。ただし、ある1つの値で一致したことだけで、整理がいつでも正しいとは断定できません。最後は各項の符号を規則に照らして確認します。

代入する値が 0 の場合も、文字が消える位置を調べる練習になります。例えば 2a − 3b + 5 で a = 0、b = -1 なら、2 × 0 − 3 × (-1) + 5 = 0 + 3 + 5 = 8 です。a の項は 0 になりますが、定数の 5 は消えません。文字の項が 0 だからといって、式全体が 0 になるとは限らないことに注意します。

分数を使う場合は、符号を分子に付けるか分数全体の前に付けるかをそろえると見やすくなります。例えば (-2/3) × 3 は -6/3 で -2 です。分母の 3 と掛ける数の 3 を先に約分しても -2 になります。約分は積の中で行う操作です。足し算の両側をまたいで数字を消すことはできません。

答えの形も最後に読み直します。整数で答える問題では、途中に分数が現れても計算の結果が整数なら整数で書きます。既約分数の指示があれば、分子と分母を同じ正の整数で割れるかを確認します。符号が負なら分数全体の前に置くと、読み手が値の正負をすぐ判別できます。

まとめて挑戦する4問

次の4問は、先に問題を読んでから取り組みます。答えの形はそれぞれの指示に合わせ、整理した式と代入した式の両方を書いてみましょう。

1. p = -4 のとき、7p − 5p + 6 の値を整数で求めてください。
2. m = 2、n = -3 のとき、3m + 2n − (m − n) の値を整数で求めてください。
3. u = 1/3、v = -1/4 のとき、4u − u + 2v の値を既約分数で求めてください。
4. s = -2/3、t = 1/2 のとき、3s − (s + 2t) + t の値を既約分数で求めてください。

答えとたどり方

1. 答えは -2 です。7p − 5p + 6 = 2p + 6 と整理します。p = -4 を入れると 2 × (-4) + 6 = -8 + 6 = -2 です。元の式でも 7 × (-4) − 5 × (-4) + 6 = -28 + 20 + 6 = -2 となります。負の数を引くところが正になる点を確かめます。

2. 答えは -5 です。括弧を外すと 3m + 2n − m + n ですから、2m + 3n に整理できます。値を入れると 2 × 2 + 3 × (-3) = 4 − 9 = -5 です。元の括弧内は 2 − (-3) = 5 なので、元の式は 6 − 6 − 5 = -5 です。n が負でも、括弧を外した +n は記号上プラスのままで、代入後に負の数を足すことになります。

3. 答えは 1/2 です。4u − u + 2v = 3u + 2v に整理し、3 × (1/3) + 2 × (-1/4) = 1 − 1/2 = 1/2 とします。元の式では 4/3 − 1/3 − 1/2 = 3/3 − 1/2 = 1/2 です。2v の値を -2/4 と書いた後、-1/2 に約分しても同じです。

4. 答えは -11/6 です。3s − (s + 2t) + t = 3s − s − 2t + t = 2s − t です。代入すると 2 × (-2/3) − 1/2 = -4/3 − 1/2 = -8/6 − 3/6 = -11/6 です。元の括弧の値は -2/3 + 2 × (1/2) = 1/3 ですから、元の式は -2 − 1/3 + 1/2 = -12/6 − 2/6 + 3/6 = -11/6 となります。

どの問題でも、整理した式と元の式を同じ値で計算し、答えを照合しました。元の式に戻すときは、整理後の式をもう一度計算するのではなく、最初の項と括弧の形から計算します。両方で同じ誤りを繰り返さないよう、括弧の中を先に出してから外側を計算するのが有効です。

計算欄には、整理した式と数を入れた式を別の行に残します。どの段階で結果が変わったか、後から比べられるためです。

覚えておくこと

• 同じ文字の項は係数をまとめ、異なる文字の項は分けます。
• 負の値は括弧に入れ、掛け算と引き算を区別します。
• 分数の和や差は分母をそろえ、最後に約分を確かめます。
• 元の式に値を戻し、整理後の計算と照合します。

どこでつまずいたかを見分ける

お子さまが答えを間違えたときは、最初に整理した行を見ます。ここですでに項の符号が変わっていれば、括弧全体を引く操作に戻ります。整理が合っていて代入の行が違うなら、文字と値の対応や、負の値を括弧に入れたかを確認します。代入まで合っている場合は、掛け算の符号と通分のそれぞれを切り分けます。

個別指導で確かめるなら、答えを言い直すだけでなく、「この括弧の前のマイナスは何を引いているか」「この分母にそろえるために何倍したか」と途中の判断を説明してもらうと、次に戻る場所が見えます。元の式と整理後の式を別々に計算して一致するところまで確かめれば、式の値は符号と手順を追って判断できます。