中学受験の算数 図形の回転移動—回転の中心から動いた跡の面積を組み立てる｜武蔵野個別指導塾

長方形を1つの頂点のまわりに90度回してできる通過部分は、対角線を半径とするおうぎ形と2つの三角形に分けて数える図形の回転移動です

机の上で長方形の厚紙の一角を画びょうで留め、直角に回す練習をしています。回し終えた紙を、回す前にあった位置に重ねてみると、2枚の紙が重なる場所と、どちらの紙にも入らない場所ができます。お子さまは重なった場所まで足してしまい、「紙を2回分足したのに、跡の面積が合わない」と首をかしげます。重なりを一か所ずつ確かめることが、この単元の出発点です。

回転移動で問われる三つの形

回転移動の問題は、答えの形によって三つに分けて考えると見通しが立ちます。一つ目は、頂点や辺が動いた跡の長さや面積を求める形です。中心から一定の距離にある点は円を描き、その一部が弧になります。二つ目は、図形全体が通過した部分の面積を求める形です。図形の内部の点まで動くので、弧だけでなく、辺が掃いた部分も足し合わせます。三つ目は、通過部分のうち、重なっていない部分や、新しく増えた部分の面積を求める形です。全体から何を引くかを決める力が試されます。

どの形でも、最初に確かめる条件は同じです。回転の中心がどの点か、何度回すのか、どちら向きに回すのかの三つを、問題文から抜き出します。向きを逆にすると図の位置は変わりますが、通過部分の面積は変わりません。図を描くときは向きを決めないと位置が定まらないので、時計回りか時計と反対向きかを必ず書き添えます。

条件の読み取りで差がつくのは、回転の中心と図形の位置関係です。中心が図形の頂点にあるとき、中心から一番遠い点は、その頂点の対角にある頂点です。中心が辺の上や図形の外にあるときは、一番遠い点までの距離が変わり、跡の形も変わります。まずは中心から各頂点までの距離を比べ、一番遠い点に印を付けるところから始めます。

回転の中心と、動いた跡の決まり

回転移動とは、一つの点を中心にして、図形を決まった角度だけ回す移動です。中心にした点は動きません。図形の形と大きさは変わらないので、回す前と後では、辺の長さも角の大きさもそのままです。位置と向きだけが変わる移動だと捉えると、図形の面積を求める問題と混ざりません。

対応する点は、中心から同じ距離にあります。回転は中心からの距離を変えない動きだからです。たとえば頂点Cが頂点C’に移ったなら、中心をAとして、ACとAC’の長さは等しくなります。この性質があるので、頂点の跡は中心を中心とする円の一部になります。頂点が動いた跡の長さは、中心からの距離を半径とする弧の長さとして求められます。

対応する点と中心を結んでできる角は、すべて回転角に等しくなります。頂点BがB’へ、頂点DがD’へ移ったとき、角BAB’と角DAD’はどちらも同じ角度です。回転の角度が90度なら、どの対応する点でも、中心のまわりの角は90度になります。この角が、おうぎ形の中心角とそのまま対応します。

通過部分の外側を決めるのは、中心から一番遠い点です。長方形の一つの頂点を中心にしたとき、一番遠い点は中心の反対側の頂点で、その距離は対角線の長さになります。長方形は、対角線を半径とするおうぎ形の中にすっぽり入ります。そのため、通過部分の外側は、長方形の辺の一部か、対角線を半径とする弧のどちらかになります。

図1のように、回転前の長方形と回転後の長方形を重ねて描くと、中心Aから頂点Cまでの長さと、AからC’までの長さが等しいことが見て取れます。中心Aのまわりの角BAB’、CAC’、DAD’は、どれも90度です。対応する点を結ぶ弧は、中心からの距離が同じ点の集まりなので、同じ半径のおうぎ形の一部になります。

通過部分を数えるときは、一番遠い点が描く弧を境にすると分かりやすくなります。回転前の対角線ACと、回転後の対角線AC’を引くと、通過部分は三つの部分に分かれます。手前の三角形、真ん中のおうぎ形、奥の三角形です。この三つは辺で接するだけで、面積の重なりはありません。重なりがないことを確かめてから足せば、二重に数える心配がありません。

基本例題　頂点の弧と辺の跡を分けて求める

長方形ABCDがあり、ABは8cm、ADは6cm、対角線ACは10cmです。この長方形を、頂点Aを中心にして時計と反対向きに90度回転させます。円周率は3.14とします。

（1）頂点Cが描く弧の長さを求めなさい。 （2）辺ADが通過した部分の面積を求めなさい。

（1）から考えます。回転の中心はAなので、Aは動きません。頂点CはAから10cmの距離を保ったまま動くので、Cの跡はAを中心とする円の一部になります。回転の角度は90度なので、円全体の4分の1だけ動きます。円周は直径×3.14で、直径は半径の2倍ですから、20×3.14で62.8cmです。その4分の1が弧の長さになります。62.8を4で割ると15.7です。答えは15.7cmです。

計算を確かめます。弧の長さは半径×2×3.14×90÷360と書けます。10×2×3.14×90÷360を順に計算すると、20×3.14で62.8、90÷360は0.25、62.8×0.25で15.7になります。回転角が90度だから4分の1という部分と、半径が10cmだという部分を、式の中で分けて確かめると間違いにくくなります。

（2）に移ります。辺ADは、端点Aが中心にあって動かず、端点Dだけが動きます。DはAから6cmの距離を保つので、辺ADが掃く部分は、半径6cm、中心角90度のおうぎ形になります。半径10cmの弧と取り違えないように、辺ADの長さは6cmであることを式の前に確かめます。面積は6×6×3.14÷4です。6×6は36、36×3.14は113.04、これを4で割ると28.26です。答えは28.26cm²です。

図2のように、頂点Cの跡は半径10cmの弧になり、辺ADの跡は半径6cmのおうぎ形になります。同じ回転でも、中心からの距離が違うので、跡の大きさが変わります。頂点Cの弧は長さを問われ、辺ADの跡は面積を問われることが多いので、単位を取り違えないよう、式を書く前に何を求めるのかを声に出して確かめます。

標準例題　長方形全体が通過した部分の面積

長方形ABCDがあり、ABは8cm、ADは6cm、対角線ACは10cmです。この長方形を、頂点Aを中心にして時計と反対向きに90度回転させます。長方形が通過した部分の面積を求めなさい。円周率は3.14とします。

まず、回転前と回転後の長方形を、同じ図に描きます。回転前はAを左下にして右へ8cm、上へ6cmの長方形です。回転後は、Aを右下にして左へ6cm、上へ8cmの長方形になります。回転の向きが時計と反対向きなので、長方形は左へ倒れるように移ります。二つの長方形は、辺ADのところで線として接するだけで、面積としては重なりません。

次に、通過部分の外側を決めます。中心Aから一番遠い点は、回転前の頂点Cで、距離は対角線の10cmです。回転後の一番遠い点はC’で、こちらも10cmです。Cが描く弧とC’が描く弧は、同じ円の上にあります。通過部分は、この弧より外へは広がりません。弧の内側で、長方形の辺が作る直線が外側の境目になります。

そこで、回転前の対角線ACと、回転後の対角線AC’を引きます。この2本の線で、通過部分は三つに分かれます。一つ目は、回転前の長方形のうち、対角線より手前にある三角形ABCです。二つ目は、二本の対角線に挟まれたおうぎ形ACC’です。三つ目は、回転後の長方形のうち、対角線より奥にある三角形AC’D’です。三つは辺ACと辺AC’を境に並んでいて、面積の重なりはありません。

三角形ABCの面積を求めます。ABは8cm、ADは6cmで、三角形ABCは長方形の半分です。8×6÷2を計算すると、48÷2で24cm²になります。三角形AC’D’も同じように考えます。回転後の長方形は回転前と合同で、縦8cm、横6cmです。その半分だから、面積は24cm²です。二つの三角形は、どちらも長方形の半分どうしなので、面積が等しくなります。

おうぎ形ACC’の面積を求めます。半径はACの10cm、中心角は回転角と同じ90度です。10×10×3.14÷4を計算します。10×10は100、100×3.14は314、314÷4は78.5です。したがって、おうぎ形の面積は78.5cm²になります。

三つの部分を足します。24と24で48、48に78.5を足して126.5です。答えは126.5cm²です。式を一つにまとめると、8×6÷2+10×10×3.14÷4+8×6÷2となり、前の二つの項が三角形、後ろの項がおうぎ形です。どの項が図のどこを表すかを指で確かめながら式を読み返すと、項の抜けや重複を見つけやすくなります。

別の求め方でも確かめます。二つの三角形は、それぞれ長方形の半分です。合計は24+24で48になり、これは元の長方形1つ分の面積と同じ数です。ですから、48+78.5で126.5と求めることもできます。ただし、二つの三角形が合わせて元の長方形の形になるわけではありません。面積の合計が同じになる、という計算上の近道だと説明できるようにしておきます。

この問題で気を付けるのは、元の長方形と回転後の長方形とおうぎ形を、そのまま三つとも足さないことです。おうぎ形ACC’の中には、回転前の長方形の半分である三角形ACDと、回転後の長方形の半分である三角形AB’C’が入っています。その二つの三角形の面積は、24+24で48です。全部を単純に足すと、この48を二重に数えてしまいます。

発展例題　どちらの長方形にも入らない部分

長方形ABCDがあり、ABは8cm、ADは6cm、対角線ACは10cmです。この長方形を、頂点Aを中心にして時計と反対向きに90度回転させます。通過した部分のうち、回転前の長方形にも、回転後の長方形にも入っていない部分の面積を求めなさい。円周率は3.14とします。

求める部分は、通過部分全体から、回転前の長方形と回転後の長方形を取り除いた残りです。通過部分全体の面積は、標準例題で求めた126.5cm²です。回転前の長方形の面積は8×6で48cm²、回転後の長方形も合同なので48cm²です。二つの長方形が面積として重なっているかどうかを、先に確かめます。

回転前の長方形は、辺ABが右向き、辺ADが上向きの位置にあります。回転後の長方形は、辺AB’が上向き、辺AD’が左向きの位置にあります。二つの長方形が共有するのは、辺ADの線分だけです。線分には面積がないので、二つの長方形は面積としては重なっていません。したがって、二つの面積をそのまま引くことができます。

式は126.5から48と48を引く形になります。126.5から48を引くと78.5、さらに48を引くと30.5です。答えは30.5cm²です。この30.5cm²は、二つの長方形のどちらにも属さない、弧のふくらみの部分だけを集めた面積です。

確かめとして、別の見方でも同じ数になるか調べます。通過部分全体は、三角形ABCとおうぎ形ACC’と三角形AC’D’に分かれました。回転前の長方形は、三角形ABCと三角形ACDに分かれます。三角形ABCは共通なので、通過部分から回転前の長方形を引くと、おうぎ形ACC’と三角形AC’D’から三角形ACDを引いた分が残ります。三角形ACDの面積は24cm²で、これはおうぎ形の中に入っています。78.5+24から24を引くと78.5です。そこから回転後の長方形48cm²を引くと、30.5cm²になります。

この問題では、二つの長方形が重なっていないことを、図で確かめることが大切です。重なっていると決めつけて重なり分を引くと、答えが小さくなります。線分で接しているだけなら面積の重なりは0cm²です。面積を引く前に、重なりが線なのか面なのかを、図の上で指して確かめます。

よくある誤答と、どこでつまずいたか

一つ目の誤答は、おうぎ形の面積だけを答えてしまう形です。標準例題で78.5cm²と答えると、通過部分の両側にある二つの三角形が抜けています。弧の跡だけを見て、長方形の内部が動いたことを忘れているのが原因です。直し方は、通過部分の外側を指でなぞり、弧の外側にある三角形を先に塗ってから、おうぎ形を足す順に変えることです。

二つ目の誤答は、元の長方形48cm²と回転後の長方形48cm²とおうぎ形78.5cm²を、そのまま足して174.5cm²とする形です。この足し方では、おうぎ形の中に入っている二つの三角形の48cm²を二重に数えています。重なっている場所を確かめずに、見えた部品を全部足したことが原因です。直し方は、おうぎ形の中にどの三角形が入っているかを図に書き込み、二重になっている48cm²を引くことです。

図3のように、通過部分を三角形ABC、おうぎ形ACC’、三角形AC’D’の三つに分けると、どの部分も一度ずつ数えられます。三つの部分は辺ACと辺AC’で接しているだけで、面として重なっていません。色を分けて塗り、同じ色が2か所に出てこないことを確かめると、二重に数える誤りを防げます。

三つ目の誤答は、おうぎ形の半径に辺ABの8cmを使ってしまう形です。8×8×3.14÷4を計算すると50.24cm²になります。回転の中心から一番遠い点は頂点Cで、その距離は対角線の10cmです。辺ABの長さ8cmは、中心から頂点Bまでの距離にすぎません。直し方は、中心から各頂点までの長さを比べ、一番長い線分を半径に選ぶことです。

四つ目の誤答は、回転の角度を90度ではなく180度と読み違え、半径10cmの半円の面積157cm²を答えに使う形です。問題文の「時計と反対向きに90度」を、図の角度と結び付けずに計算したことが原因です。直し方は、回転の角度を図の中心角に書き込み、おうぎ形が円全体のどれだけになるかを、90÷360のように分数で確かめることです。

練習問題

次の5問を解きます。円周率はすべて3.14とします。

1. 長方形ABCDがあり、ABは24cm、ADは18cm、対角線ACは30cmです。頂点Aを中心にして時計と反対向きに90度回転させるとき、長方形が通過した部分の面積を求めなさい。

2. 長方形EFGHがあり、EFは12cm、FGは9cm、対角線EGは15cmです。頂点Eを中心にして時計と反対向きに90度回転させるとき、頂点Gが描く弧の長さを求めなさい。

3. 長方形PQRSがあり、PQは16cm、QRは12cm、対角線PRは20cmです。頂点Pを中心にして時計と反対向きに90度回転させるとき、通過した部分のうち、回転前の長方形にも回転後の長方形にも入っていない部分の面積を求めなさい。

4. 長方形KLMNがあり、KLは32cm、LMは24cm、対角線KMは40cmです。頂点Kを中心にして時計と反対向きに90度回転させるとき、通過した部分のうち、回転前の長方形に入っていない部分の面積を求めなさい。

5. 長方形TUVWがあり、TUは40cm、UVは30cm、対角線TVは50cmです。頂点Tを中心にして時計と反対向きに90度回転させるとき、辺TWが通過した部分の面積を求めなさい。

練習問題の答えと解き方

1の答えは1138.5cm²です。長方形の面積は24×18で432cm²です。通過部分は、長方形の半分の三角形が二つと、対角線を半径とするおうぎ形に分かれます。三角形は24×18÷2で216cm²、二つで432cm²です。おうぎ形は30×30×3.14÷4で、900×3.14が2826、2826÷4が706.5cm²です。432と706.5を足して1138.5cm²になります。二つの三角形の合計が、元の長方形1つ分の432cm²と同じ数になっていることも確かめます。

2の答えは23.55cmです。頂点Gは中心Eから一番遠い点で、距離は対角線の15cmです。90度の回転なので、弧は半径15cmの円周の4分の1です。15×2×3.14÷4を計算すると、30×3.14が94.2、94.2÷4が23.55cmになります。辺EFの12cmを半径にしないよう、中心からGまでの線分が対角線であることを図で確かめます。

3の答えは122cm²です。通過部分全体は、三角形が二つとおうぎ形に分かれます。長方形の面積は16×12で192cm²、三角形はその半分の96cm²が二つで192cm²です。おうぎ形は20×20×3.14÷4で、400×3.14が1256、1256÷4が314cm²です。通過部分全体は192+314で506cm²です。回転前の長方形と回転後の長方形は線分で接するだけなので、506から192を二回引きます。506から192を引くと314、さらに192を引くと122cm²です。

4の答えは1256cm²です。長方形の面積は32×24で768cm²です。通過部分全体は、三角形が二つで768cm²と、おうぎ形が40×40×3.14÷4で1256cm²を合わせた2024cm²です。回転前の長方形に入っていない部分は、通過部分全体から元の長方形の768cm²を引いた残りです。2024から768を引くと1256cm²になります。この数が、対角線を半径とするおうぎ形の面積と等しくなることも、検算に使えます。

5の答えは706.5cm²です。辺TWは中心Tを通る辺で、長さは30cmです。中心Tは動かないので、辺TWが掃く部分は、半径30cm、中心角90度のおうぎ形になります。30×30×3.14÷4を計算すると、900×3.14が2826、2826÷4が706.5cm²です。辺UVのように中心から離れた辺は、おうぎ形にならないので、どの辺が中心を通るかを先に確かめます。

覚えておくこと

• 回転の中心にした点は動かない。
• 対応する点は、中心から同じ距離にある。
• 一番遠い点までの距離が、おうぎ形の半径になる。
• 通過部分は、重ならない三つの部分に分けてから足す。
• 回転角と、おうぎ形の中心角をそろえて確かめる。

つまずきの見分け方

おうぎ形の半径に、辺の長さをそのまま入れてしまうときは、中心から一番遠い点を指で示させます。頂点を順に指し、中心からの長さを比べるだけで、対角線が一番長いことに気づけます。図に半径の線を引かせると、間違いが目で見えるようになります。

重なりを確かめずに足してしまうときは、紙を2枚重ねて、重なった部分に鉛筆で色を塗らせます。同じ場所を二度塗ったら、そこは二重に数えている合図です。色の付いた場所と付いていない場所を分けてから、式を立て直します。

回転後の図形を描かずに式だけを立てるときは、対応する頂点を先に打たせます。頂点Bがどこへ移るか、頂点Dがどこへ移るかを一つずつ決めると、通過部分の外側が見えてきます。回転の角度を図の中心角に書き込むことも、一緒に確かめます。

式の項が図のどこを表すか言えないときは、項ごとに色を対応させます。三角形の項は緑、おうぎ形の項は青のように分けると、抜けた項や余分な項に気づけます。最後に、答えの単位がcm²かcmかを問題文と照らし合わせます。

迷ったときは、紙の上で一番遠い頂点を指でなぞってから式を立てます。中心から一番遠い点を決めた瞬間に、通過部分の外側は決まります。