中学受験の算数 葉っぱ形の面積—おうぎ形と三角形の重なりを足し引きで求める｜武蔵野個別指導塾

正方形の一辺を半径にした四分円を向かい合う頂点から二つ描き、重なりを足して正方形を一度だけ引くと、中央に残る葉っぱ形です

よくあるのは、正方形の一辺を半径にした二つのおうぎ形を前にして、子どもがそれぞれの面積を出し、そこから正方形を二回引いてしまう場面です。一つのおうぎ形の面積は正しく出せているのに、最後の引き算の回数だけがずれて、答えが合いません。図を指でなぞりながら、どの部分を何回数えたのかを一緒に確かめると、手が止まっていた理由が見えてきます。この場面では、計算の力より、重なりをどう扱うかという見方のほうが問われています。

葉っぱ形はどんな形で問われるか

正方形の中に、向かい合う二つの頂点を中心とした四分円を置いた図が基本になります。半径は正方形の一辺と同じ長さです。この図の中央に、二つの四分円が重なった部分が残ります。この部分が葉っぱ形です。

問われ方は大きく三つに分かれます。一つ目は、葉っぱ形そのものの面積を求める問題です。二つの四分円の面積を出し、重なりをどのように扱うかで式が変わります。二つ目は、葉っぱ形の外側、つまり二つの四分円のうち片方だけが覆っている部分の面積を求める問題です。三つ目は、一辺の長さが2倍や3倍になったときに、葉っぱ形の面積が何倍になるかを考える問題です。

どの聞かれ方でも、最初に確かめるのは半径の長さです。問題文に「一辺を半径とする」とあれば、四分円の半径は一辺と同じです。「一辺の半分を半径とする」とあれば別の図になり、葉っぱ形の式はそのまま使えません。図と問題文の両方で半径を確認してから計算に入ります。

図がそのまま与えられることも、文章だけで「向かい合う頂点を中心に、一辺を半径とする四分円を描く」と示されることもあります。文章の場合は、自分で図を描いて、二つのおうぎ形が中央で重なることを確かめます。図を描く手間を省くと、重なりの位置を見失います。

二つの四分円と正方形の関係（図1）

四分円とは、円を中心から90度の角で切り取ったおうぎ形のことです。葉っぱ形は、向かい合う二つの頂点を中心とする四分円が重なった部分を指します。細長い二枚の花びらが合わさった形になるため、この名で呼ばれます。二つの四分円の面積の和から正方形を一度引くと葉っぱ形の面積になる理由を、図1で確かめます。

図1のように、二つの四分円を別々に数えると、正方形の全体が一度ずつ覆われます。そのうえで、中央の葉っぱ形だけが二度覆われます。つまり、二つの四分円の面積の和は、正方形の面積に葉っぱ形の面積を一度だけ足した量です。ここから正方形を一度引くと、二度数えた葉っぱ形の分だけが残ります。

この関係は、式の形だけで覚えるより、図の上で「どこを二度数えたか」を指でなぞって確かめるほうが定着します。二つの四分円の面積の和、正方形の面積、葉っぱ形の面積の三つは、たし算一回とひき算一回で結ばれています。

成り立つ条件も三つあります。二つの四分円の半径が正方形の一辺と等しいこと、中心が向かい合う頂点にあること、円周率を問題文の指定どおりに使うことです。半径が一辺の半分になると、重なりの形は葉っぱ形ではなくなります。円周率が3.14と指定されたら、途中で概数に丸めず、最後まで3.14で計算します。

四分円の中心角は90度です。正方形の一つの角は90度で、その角を中心にして辺に沿って円を描くと、円の四分の一が正方形の中に入ります。残りの四分の三は正方形の外に出るため、面積では四分の一だけを数えます。

面積の単位は、長さの単位から決まります。一辺がcmで与えられたら面積はcm²です。式の途中で単位を書き足すと、どの数を何の面積として扱っているかが見えやすくなります。

葉っぱ形の面積を出す前に、見当をつけておくと計算の誤りに気づきやすくなります。葉っぱ形は正方形の中央にあり、正方形の半分より少し広い程度です。一辺10cmなら、答えは50cm²より少し大きいあたりになると予想できます。実際に57cm²ですから、見当と計算が近いことを確かめられます。

中心を別の対角線上の二頂点に変えても、図は90度回転しただけなので、葉っぱ形の面積は変わりません。問題文に「向かい合う頂点」とあれば、どの組み合わせでも同じ式で求められます。ただし、隣り合う頂点を中心にすると重なりの形が変わるため、そのときは別の考え方が必要です。

基本例題　一辺10cmの正方形（図2）

一辺10cmの正方形があります。向かい合う二つの頂点を中心にして、半径10cmの四分円を二つ描きました。二つの四分円が重なった葉っぱ形の面積を求めます。円周率は3.14とします。

図2で、二つの四分円と葉っぱ形の位置を確かめます。葉っぱ形が中央にあることを目で押さえてから式を立てます。

図2のように、葉っぱ形は中央にあり、その外側に二つの四分円の残りが広がっています。まず四分円一つの面積を出します。10×10×3.14÷4を計算すると78.5cm²です。四分円は円全体の四分の一なので、円の面積を4で割ります。

次に、二つの四分円の面積の和を出します。78.5×2を計算すると157cm²です。ここではまだ重なりを引いていません。この時点で葉っぱ形は二度数えられています。

正方形の面積を出します。10×10を計算すると100cm²です。二つの四分円の面積の和から、この正方形を一度だけ引きます。157-100を計算すると57cm²です。これが葉っぱ形の面積です。

答えを元の図に戻して確かめます。正方形の面積100cm²から葉っぱ形の57cm²を引くと43cm²です。これが葉っぱ形の外側の面積です。葉っぱ形と外側を足すと100cm²になり、正方形に戻ります。葉っぱ形は正方形より小さく、0より大きいことも確かめられます。

ここまでの数を表にまとめます。どの数が図のどの部分を指すかを、表の行と図を交互に見て確かめます。

別の見方も紹介します。葉っぱ形を対角線で二つに分けると、合同な二つの部分になります。その一つは、中心角90度のおうぎ形から、直角二等辺三角形を引いた形です。おうぎ形の面積は78.5cm²、三角形の面積は10×10÷2で50cm²です。差は28.5cm²で、これを二倍すると57cm²になります。どちらの見方でも同じ答えに届きます。

標準例題　一辺20cmで外側を考える

一辺20cmの正方形に、半径20cmの四分円を二つ描きます。葉っぱ形の面積と、二つの四分円のうち片方だけが覆っている部分の面積を、それぞれ求めます。円周率は3.14とします。

四分円一つの面積は、20×20×3.14÷4で314cm²です。二つ分は314×2で628cm²になります。正方形の面積は20×20で400cm²です。葉っぱ形は、628-400で228cm²です。

外側の面積は、正方形から葉っぱ形を引いて求めます。400-228で172cm²です。葉っぱ形と外側を足すと400cm²になり、正方形に戻ります。外側は左右二つの部分に分かれ、形は同じなので、片側は172÷2で86cm²です。

葉っぱ形と外側では、どちらがどれだけ大きいかを比べます。228-172で56cm²、葉っぱ形のほうが広いことがわかります。二つの面積を比べるときは、差まで出すと大小がはっきりします。

外側の面積は、別の式でも確かめられます。四分円一つから葉っぱ形を引くと、片側の外側が残ります。314-228で86cm²です。これが二つあるので86×2で172cm²になり、正方形から引いた答えと一致します。式が二通りで同じ値になると、計算の道筋が正しいことの支えになります。

条件が変わったときの考え方も整理します。半径が一辺と同じでなくなったら、この式は使えません。問題文の「半径」と「一辺」を線で結び、同じ長さであることを確かめてから計算します。

発展例題　一辺を3倍にすると面積は何倍か

一辺10cmの正方形の葉っぱ形は57cm²でした。同じ作り方で、一辺30cmの正方形の葉っぱ形の面積を求め、何倍になるかを考えます。円周率は3.14とします。

一辺30cmでは、四分円一つの面積は30×30×3.14÷4で706.5cm²です。二つ分は706.5×2で1413cm²です。正方形の面積は30×30で900cm²です。葉っぱ形は、1413-900で513cm²になります。

10cmのときの57cm²と比べます。一辺は3倍、面積は513÷57で9倍です。3×3の9と一致します。面積は縦と横の二方向の長さで決まるため、一辺を3倍にすると面積は9倍になります。葉っぱ形も同じで、形が同じで大きさだけが違うとき、面積比は一辺の比を二乗した値になります。

一辺を2倍にしたときも同じ確かめ方が使えます。一辺10cmの葉っぱ形は57cm²、一辺20cmは228cm²で、228÷57は4です。一辺の比が2倍なら面積比は4倍、3倍なら9倍になります。数字を暗記するのではなく、縦と横がそれぞれ何倍になったかを図で数えると、二乗になる理由が見えます。

逆に、一辺を半分にすると面積は四分の一になります。一辺10cmの57cm²を4で割ると14.25cm²です。一辺5cmで計算しても、四分円一つは5×5×3.14÷4で19.625cm²、二つ分は39.25cm²、正方形は25cm²なので、39.25-25で14.25cm²になり、一致します。

外側の面積でも同じ関係を確かめます。一辺30cmの外側は900-513で387cm²です。一辺10cmの外側は43cm²でした。387÷43を計算すると9になり、こちらも9倍です。

確かめとして、一辺30cmの葉っぱ形と外側を足します。513+387で900cm²になり、正方形の面積に戻ります。面積の比を考えるときも、最後に全体へ戻して確かめる手順を省きません。

よくある誤答と直し方（図3）

よくある誤答は、二つの四分円の和157cm²から、正方形を二回引いてしまうものです。157-100-100と計算すると、答えは負の数になります。負の面積はありえないので、その時点で計算のどこかが違うと気づけます。

図3で、二回引く考え方と一度だけ引く考え方を並べて比べます。同じ図でも、引く回数が違うと答えがどう変わるかを見ます。

図3の左のように正方形を二回引くと、葉っぱ形より多く引きすぎてしまいます。二度数えられているのは葉っぱ形だけです。正方形は二つの四分円の和の中に一度しか入っていません。だから引くのは一度だけです。

もう一つの誤答は、157cm²と答えてしまうものです。二つの四分円の和を出したところで計算を止めると、葉っぱ形を二度数えたままの値になります。重なりが多い図ほど、この止まり方が起こりやすくなります。

半径を取り違える誤答もあります。一辺10cmなのに半径を5cmとして計算すると、四分円一つは19.625cm²、二つで39.25cm²になり、正方形の100cm²より小さくなります。葉っぱ形が正方形より大きくなるはずがないので、答えの見当で気づけます。

円周率を3で計算してしまう誤りもあります。一辺10cmで3を使うと、四分円一つは10×10×3÷4で75cm²、二つで150cm²、葉っぱ形は50cm²です。3.14で計算した57cm²とは7cm²も違います。問題文に指定された円周率を、式の最初に書いてから計算を始めると防げます。

答えの単位をcmで書いてしまう誤りもあります。面積を聞かれているのでcm²です。式の途中で長さを二回掛け合わせていることを確かめれば、単位の違いに気づけます。

直し方は五つの手順にします。半径が一辺と同じか確かめる、四分円一つの面積を出す、二つ分を出す、正方形を一度だけ引く、葉っぱ形と外側の和が正方形になるか確かめる、の五つです。この順番を声に出してなぞると、引く回数の誤りは減ります。

練習問題

次の五問を解きます。円周率はすべて3.14とします。

1. 一辺8cmの正方形に、半径8cmの四分円を二つ描きました。葉っぱ形の面積を求めなさい。
2. 一辺16cmの正方形に、半径16cmの四分円を二つ描きました。二つの四分円のうち片方だけが覆っている部分の面積を求めなさい。
3. 一辺6cmの正方形に、半径6cmの四分円を二つ描きました。葉っぱ形の面積を求めなさい。
4. 一辺50cmの正方形に、半径50cmの四分円を二つ描きました。葉っぱ形の面積を求めなさい。
5. 一辺4cmと一辺12cmの正方形で、それぞれ葉っぱ形の面積を求め、比を最も簡単な整数の比で答えなさい。

解答と解き方

1. 四分円一つは8×8×3.14÷4で50.24cm²です。二つ分は100.48cm²、正方形は64cm²です。100.48-64で36.48cm²になります。
2. 四分円一つは16×16×3.14÷4で200.96cm²です。二つ分は401.92cm²、正方形は256cm²です。葉っぱ形は145.92cm²なので、外側は256-145.92で110.08cm²になります。
3. 四分円一つは6×6×3.14÷4で28.26cm²です。二つ分は56.52cm²、正方形は36cm²です。56.52-36で20.52cm²になります。
4. 四分円一つは50×50×3.14÷4で1962.5cm²です。二つ分は3925cm²、正方形は2500cm²です。3925-2500で1425cm²になります。
5. 一辺4cmは、四分円一つが4×4×3.14÷4で12.56cm²、二つ分が25.12cm²、正方形が16cm²なので、葉っぱ形は9.12cm²です。一辺12cmは、四分円一つが12×12×3.14÷4で113.04cm²、二つ分が226.08cm²、正方形が144cm²なので、葉っぱ形は82.08cm²です。9.12と82.08を9.12で割ると、1対9の比になります。

どの問題も、葉っぱ形と外側を足すと正方形の面積に戻ります。1は36.48と27.52で64、2は145.92と110.08で256、3は20.52と15.48で36、4は1425と1075で2500、5は4cmが9.12と6.88で16、12cmが82.08と61.92で144です。答えを出したら、この足し算で一度確かめます。

練習では、どの問題も「四分円一つ、二つ分、正方形、ひき算」の順に進みます。式を一気に書かず、一行ずつ区切って書くと、どこで数を取り違えたかが後から見つけやすくなります。答えに単位を付けるところまでを、一つの式のまとまりと考えます。

覚えておくこと

• 葉っぱ形は、二つの四分円の面積の和から正方形を一度引いた面積です。
• 引くのは一度だけです。二度引くと引きすぎになります。
• 四分円の半径は、正方形の一辺と同じ長さかどうかを最初に確かめます。
• 円周率は指定された値を使い、計算の途中で丸めません。
• 葉っぱ形と外側の面積の和は、正方形の面積になります。検算に使えます。

つまずきの見分け方と確かめる箇所

式は立てられるのに図と結びつかないときは、図に三つの部分を色分けして書かせます。二つの四分円、正方形、葉っぱ形のどこが重なっているかを指で示せれば、式の意味が戻ってきます。

引く回数を間違えるときは、「二度数えたのはどの部分か」を言葉で説明させます。説明が「全部」になっていれば、正方形まで二度数えていると考えていることがわかります。

半径を取り違えるときは、問題文の半径と一辺にそれぞれ線を引かせます。数字を丸写しする前に、同じ長さかどうかを自分の目で確かめる習慣をつけます。

式の意味を言葉にできないときは、式の一行目を日本語に直させます。「10×10×3.14÷4は、一辺10cmの四分円一つの面積」と言えれば、式と図がつながっています。言えないときは、図のどの部分を指しているかを先に決めます。

個別指導では、式の一行目、引き算の回数、答えの単位の三つを順に見ます。式の一行目が正しければ、あとは計算の確認だけで済みます。答えの見当として、葉っぱ形が正方形より小さいこと、0より大きいことも一緒に確かめます。

答えが合ったかどうかだけで終わらせず、式のどの数が図のどの部分かを指させる時間を取ります。指が止まる箇所が、その子がまだ説明できていない箇所です。

重なりを二度数えたことに気づき、一度だけ引く。この手順を図の上で説明できれば、葉っぱ形はもう特別な形ではありません。