高校物理 原子 原子の励起と電離—入射エネルギーから可能な状態と残りの運動を選ぶ｜武蔵野個別指導塾

離散準位と電離の境界を比べ、衝突電子と吸収光子のエネルギー収支から判定する励起と電離。

よくあるのは、高校生が準位差より大きいエネルギーの光子なら、どの励起にも使えると考える場面です。余った分を何かに渡せばよいように見えますが、光子を丸ごと吸収する過程では、光子そのものが残りません。原子がとれるエネルギーと、衝突後に残れる粒子を区別すると、判定の道筋が見えてきます。

問いの形を先に分ける

準位図と入射エネルギーを渡されたら、まず入射するものが電子か光子かを読みます。次に原子の初期状態を確認し、そこから各準位までの差と電離に必要な差を書き出します。負の準位を見て、数値の符号だけで大小を判断しないことも大切です。

問題の形は主に3つあります。電子衝突では、どの励起が可能か、衝突後の電子の運動エネルギーはいくらかを問います。光吸収では、光子のエネルギーが準位差に一致するか、または電離の境界に届くかを判定します。さらに測定表から、現れたしきい値と予想される準位差を照合する問いもあります。

可能という判定は、衝突や吸収が必ず起こるという意味ではありません。エネルギー保存から禁じられていない候補を選ぶことと、実際にどのくらいの頻度で起こるかを予測することは別です。後者には、この説明で与えていない相互作用の情報が必要です。

準位、電離の境界、残る粒子

原子の束縛状態のエネルギーは離散的で、決まった値をとります。最も低い状態を基底状態、それより高い束縛状態を励起状態と呼びます。原子が基底状態から励起状態へ移るには、両状態のエネルギー差を受け取ります。すでに励起されている原子なら、その状態を出発点にして差を取ります。

ここでは、原子から電子が十分遠く離れ、相対的な運動エネルギーもゼロとなる境界を0 eVにとります。負の準位から0 eVまでの差が、その状態からの電離エネルギーです。電離後は自由になった電子などの運動エネルギーを連続的に分配できるため、境界より上に連続状態があります。図1のように、束縛状態の間は飛び飛びですが、電離後の余剰は運動に回せます。

図1の矢印は準位差を示し、縦の上向きがエネルギーの増加です。基底状態の値を負とするのは基準の選び方によります。差が正なら、その分を外から与える必要があります。0 eVを超えるエネルギーは、束縛された原子の新しい離散準位を意味するのではなく、電離後の運動に対応します。

入射電子が原子に衝突する場合、初めの運動エネルギーをK、励起に必要な差をΔE、衝突後の入射電子の運動エネルギーをK′とします。原子全体の反跳を無視する近似では、励起が起こった場合の保存式は次のとおりです。

K = ΔE + K′
K′ = K - ΔE

K′は負になれないため、KがΔE以上のときに候補になります。等号は反跳を無視した理想的な境界です。Kが足りなければ、その1回の衝突で指定の励起はできません。一方、差より大きい場合には、余ったエネルギーを衝突後の電子が持てます。衝突しても励起しない場合もあり、その場合の残りを同じ式で励起した場合と混同しないでください。

電子衝突で電離する場合、入射電子と原子から離れた電子の2個が最終的に運動できます。反跳を無視すれば、それらの運動エネルギーの和はKから電離エネルギーを引いた値です。和は決まりますが、各電子への配分はこの条件だけでは決まりません。電離エネルギーに等しい入射エネルギーは、同じ近似の境界です。

光子の場合は事情が異なります。1個の光子が吸収されると、その光子は消え、エネルギーが原子側へ移ります。束縛状態への直接の励起では、反跳や線幅を無視した理想モデルで光子エネルギーと準位差が一致することが必要です。大きいだけでは足りず、差額を入射光子の残りとして持ち去れません。実際の吸収には、エネルギーの一致に加えて遷移の条件も関わります。

光子による電離では、光子エネルギーが電離エネルギー以上なら、反跳を無視したモデルで余剰を放出電子の運動エネルギーにできます。等号は放出電子の運動エネルギーがゼロとなる理想的なしきい値です。原子や残ったイオンの反跳を考えるとエネルギーと運動量の両方を扱う必要があり、厳密な境界や分配はこの近似からずれます。以下は問題ごとに反跳を無視し、単一の入射粒子と単一の原子の収支を扱います。

基本例題：衝突後に電子が運ぶ分

ある原子の基底状態を-10 eV、2つの励起状態を-6 eV、-3 eV、電離の境界を0 eVとします。基底状態の原子へ運動エネルギー7 eVの電子を1個入射します。原子の反跳を無視し、1回の衝突で可能な励起と、その励起が起きた直後の入射電子の運動エネルギーをeVで求めてください。与えた値はこの問題のモデルの条件です。

図2のように、出発点を-10 eVにそろえて、それぞれの差を求めます。図の上向き矢印は原子の励起を表し、電子の飛行方向ではありません。

-6 - (-10) = 4 eV
-3 - (-10) = 7 eV
0 - (-10) = 10 eV

入射電子は7 eVを持つので、4 eVと7 eVの励起が候補です。10 eVを要する電離はできません。各励起が起きた場合の残りは、それぞれ次のようになります。

7 - 4 = 3 eV
7 - 7 = 0 eV

したがって-6 eVへの励起後は3 eV、-3 eVへの励起後は0 eVです。後者は理想的なしきい値に当たり、実際の反跳を含む厳密な衝突を表す値とは区別します。確認として、原子が得た分と残りを足すと4 + 3 = 7 eV、7 + 0 = 7 eVで、入射時の値に戻ります。

同じ原子に7 eVの光子を1個入射する場合を考えます。束縛状態への直接吸収の候補は、差が一致する-3 eVへの励起です。-6 eVへの差は4 eVなので、余りの3 eVを光子の残りにすることはできません。電離には10 eV必要なので、7 eVでは電離もしません。光子が吸収されずに通過する場合もあります。

標準例題：初期状態を変えて境界を読む

別のモデル原子に-12 eV、-8 eV、-5 eVの束縛準位と0 eVの電離境界があります。初めに-8 eVの状態にある原子へ、エネルギー9 eVの光子を1個入射します。反跳を無視し、直接吸収による電離が起きた場合、放出電子の運動エネルギーをeVで求めてください。また、-5 eVへの直接励起にこの光子を使えるか判定してください。

出発点が基底状態ではないため、電離に必要な差は12 eVではありません。まず現在の状態から境界までの差を取ります。

電離エネルギー = 0 - (-8)
電離エネルギー = 8 eV
放出電子の運動エネルギー = 9 - 8
放出電子の運動エネルギー = 1 eV

9 eVは境界を1 eV超えるので、電離した場合の放出電子は1 eVを持ちます。逆に8 + 1 = 9 eVと足し戻せば、入射光子のエネルギーに一致します。電離後のイオンの反跳を無視したことも、答案に添えます。

励起への差は次のとおりです。

-5 - (-8) = 3 eV
9 eV ≠ 3 eV

したがって、9 eVの光子を丸ごと吸収して-5 eVへ直接励起することはできません。光子のエネルギーが3 eV以上であることと、3 eVに一致することは別の条件です。光子が原子と別の仕方で相互作用する過程まで、この単純な直接吸収の判定に含めないでください。

入射光子エネルギーを横軸、電離後の電子の運動エネルギーを縦軸に取ると、反跳を無視した電離領域では傾き1の直線です。横軸の8 eVから始まり、横に1 eV増えると縦も1 eV増えます。横軸の8 eV未満へその直線を延ばすと縦の値が負になりますが、負の運動エネルギーは実測可能な電子を表しません。境界より下の延長は計算上の線であり、電離電子の観測値ではありません。

発展例題：しきい値の表を調べる

あるモデル原子は初め基底状態にあり、励起に必要なエネルギーが3 eVと6 eV、電離エネルギーが9 eVです。反跳を無視し、単一電子の衝突を考えます。入射電子の運動エネルギーを2、4、7、11 eVとしたとき、エネルギー保存から可能な励起と電離をそれぞれ選び、電離した場合の2個の電子の運動エネルギーの和をeVで求めてください。衝突の起こりやすさは考えません。

それぞれの入射エネルギーを3つの境界と比べます。等号は今回の一覧にはありませんが、反跳を無視するモデルでは境界も候補に含めます。

11 eVで電離した場合の和は次のとおりです。

電子2個の運動エネルギーの和 = 11 - 9
電子2個の運動エネルギーの和 = 2 eV

9 + 2 = 11 eVと戻して確認します。例えば2個が1 eVずつ持つ配分も、0.5 eVと1.5 eVに分かれる配分も、エネルギーの和だけを見れば排除されません。どちらになるかを与えられた数値だけで断定しないでください。実際の配分には運動量保存などの条件も必要です。

別の見方では、入射エネルギーの数直線に3、6、9 eVの境界を先に置きます。各点を左から右へ越えるたびに候補が増えるので、4つの入射値をその区間に置けば表を作れます。例えば7 eVは6と9の間にあり、2種類の励起が可能で電離は不可です。この方法でも各境界の意味を取り違えないように、最初にエネルギー差を明記します。

測定で境界を調べるなら、学校の指導の下で、原子の種類と初期状態をそろえ、入射電子のエネルギーを変えながら衝突後のエネルギー損失を比較します。装置は原理を示す模式的なものとして考え、操作手順には立ち入りません。損失が3 eV付近に現れ始める位置を調べれば、低い励起のしきい値を推定できます。測定前に予想する量、変える量、一定に保つ量を分けると、結果が何を支持するかを整理できます。

ただし検出器の分解能や入射エネルギーの広がりがあれば、境界が1点に鋭く現れるとは限りません。衝突の頻度が低い場合も、可能な状態が表に現れないことがあります。観測されなかったことだけで不可能と決めず、背景や検出の条件も調べます。逆に予想より低い位置に信号が見えた場合は、初期状態の混在や測定値のずれを検討します。表の各しきい値はモデルの仮定であり、実測値ではありません。

誤答を収支に戻して直す

「7 eVの光子は4 eVより大きいから、4 eVの励起に使い、余り3 eVを光子が持ち去る」という答えを考えます。原因は、電子衝突の式を、光子を丸ごと吸収する場合にもそのまま使うことです。図3のように、電子は衝突後も残れますが、吸収された光子は残りません。

修正するときは、まず過程の前後に存在する粒子を書きます。電子衝突なら「入射電子と原子」から「衝突後の電子と励起原子」へ、光吸収なら「光子と原子」から「励起原子」へ移るという区別です。反跳を無視する束縛状態への直接吸収では、光子7 eVと励起差4 eVは一致せず、この過程は起こせません。

もう1つの誤りは、電子衝突で電離した後のエネルギーを片方の電子にすべて与えることです。電離に必要な分を引いた残りは、2個の電子の運動エネルギーの和です。個別の値を指定する条件がなければ、和までを答えます。0 eVの境界も、余剰の運動がゼロの理想化として扱います。

練習：まず問題だけを読む

いずれも原子の反跳を無視したモデルとし、準位とエネルギーは各問の条件です。励起は束縛状態への直接遷移とし、エネルギー保存からの可能性を答えてください。数値はeVで表し、計算結果もeVで答えます。

1. 基底状態-15 eV、励起状態-11 eVと-9 eV、電離境界0 eVの原子に、5 eVの電子を入射します。可能な励起と、その直後の入射電子の運動エネルギーを求めてください。
2. 基底状態-14 eV、励起状態-9 eVと-6 eVの原子に、8 eVの光子を入射します。直接吸収で可能な励起を選び、電離が可能か答えてください。
3. -7 eVの状態にある原子に10 eVの光子を入射し、電離が起きました。放出電子の運動エネルギーを求めてください。電離境界は0 eVです。
4. 基底状態からの電離エネルギーが13 eVの原子に、18 eVの電子を入射して電離させました。衝突後の2個の電子の運動エネルギーの和を求め、それぞれの値を決められるか答えてください。
5. 基底状態からの励起エネルギーが2 eVと5 eV、電離エネルギーが8 eVの原子に、異なるエネルギーの電子を1個ずつ入射します。入射エネルギーが1 eV、5 eV、9 eVの場合ごとに、可能な励起と電離を選んでください。

練習の答えと確かめ

1. 差は-11 − (-15) = 4 eV、-9 − (-15) = 6 eVです。5 eVで可能なのは前者で、残りは5 − 4 = 1 eVです。4 + 1 = 5 eVとなり、入射時に戻ります。後者には1 eV足りません。
2. 差は-9 − (-14) = 5 eV、-6 − (-14) = 8 eVです。8 eVに一致する-6 eVへの励起が候補です。8 eVは電離に必要な14 eV未満なので電離は不可です。励起先から初期値を引き直すと8 eVで、光子のエネルギーに戻ります。
3. 電離に必要なのは0 − (-7) = 7 eVです。残りは10 − 7 = 3 eVです。7 + 3 = 10 eVで光子のエネルギーと一致します。
4. 和は18 − 13 = 5 eVです。13 + 5 = 18 eVで入射時に戻ります。2個への分配を決める条件がないので、それぞれの運動エネルギーは決められません。
5. 1 eVではどの励起も電離も不可です。5 eVでは2 eVと5 eVの励起が可能で、電離は不可です。9 eVでは両方の励起と電離が可能です。9 eVで電離した場合の電子2個の運動エネルギーの和は9 − 8 = 1 eVで、8 + 1 = 9 eVに戻ります。5 eVの励起は等号の境界であり、反跳を無視した扱いです。

手元に残す要点

• 束縛準位は離散的で、電離境界の上では余剰が運動に回ります。
• 電子衝突では、励起差を引いた残りを衝突後の電子が持てます。
• 光子の直接吸収による励起は、反跳などを無視すれば準位差との一致が必要です。
• 電離では必要な差を引き、残る粒子の運動エネルギーを数えます。
• しきい値の等号は近似の条件とともに扱います。

準位差を求められるのに判定が合わないときは、入射粒子が衝突後に残るかを口に出して確認します。差の値から誤る場合は、初期状態と終状態を図に印し、終状態から初期状態を引き直します。個別指導では、光子と電子に同じエネルギーを与えた2つの場面を比べ、余剰の行き先を図と言葉で説明できるかを確かめます。電離後に何個の電子が運動するかまで数えれば、保存式の各項に意味が戻ります。