高校物理 原子 半減期と残存数—指数的な減少を表とグラフで読み解く｜武蔵野個別指導塾

2点の残存割合から時間差を使って半減期を求め、非整数回や測定の揺らぎまでたどる半減期の曲線です。

よくあるのは、残存割合を2つの時刻で読み取った高校生が、後の時刻をそのまま半減期の回数で割る場面です。後の値が最初の値の4分の1なら半減期は2回分ですが、その2回分が経過したのは2つの時刻の間です。時間の原点をどこに置いても、同じ2点の間隔は変わりません。表と曲線を行き来しながら、残った数と経過時間を対応させます。

要点（結論から）

• 半減期ごとに、その時点の残存数の期待値が半分になります。
• 2点の比に対応するのは、2時刻の差です。
• 非整数回も指数の性質で扱い、逆算では倍率から回数を探します。

どの量を比べるか

問題の型は大きく3つあります。初めの数と半減期から後の残存数を求める型、曲線上の2点から半減期を求める型、残存割合を指定されて経過時間を逆算する型です。どの型でも、まず対象を同じ種類の未崩壊の原子核にそろえ、時刻とその時刻の数を対にします。崩壊した数を尋ねられたら、初めの数から残存数を引きます。

時間の原点が測定開始時とは限りません。2点が時刻 t₁、t₂ にあり、各残存数が N₁、N₂ なら、比 N₂/N₁ に対応する時間は t₂-t₁ です。一方、N₀ を基準時刻の数と定めた式に入れる t は、その基準時刻からの経過時間です。基準の数を途中で替えるなら、時間の基準も同時に替えます。

半分になる割合を重ねる

半減期 T は、未崩壊の原子核の数の期待値が半分になる時間です。多数の同種の核を考えた平均的なモデルでは、時刻0の期待値を N₀、経過時間 t の期待値を N とすると、次の関係を使います。

N = N₀(1/2)⁽ᵗ/ᵀ⁾

図1のように、同じ長さ T が過ぎるたび、その区間の初めに残っていた数に1/2を掛けます。初めの数から一定数ずつ引くのではありません。たとえば N₀、N₀/2、N₀/4、N₀/8 と進むと、各区間の減少数は N₀/2、N₀/4、N₀/8 です。減少数は小さくなりますが、割合は毎回同じです。

図1の縦軸は初期値に対する割合、横軸は T を単位とする経過時間です。右下がりの曲線は次第に緩やかになり、有限の時刻で0に達しません。これは期待値の連続曲線の性質です。個々の核は途中まで半分になるのではなく、崩壊していないか、崩壊したかのいずれかです。少数の核の実際の残存数は整数であり、曲線どおりの値になるとは限りません。

整数でない t/T にも式を使えます。指数には、同じ底の累乗を掛けると指数を足す性質があります。半減期の半分の時間の倍率を x とすると、その時間を2回重ねた倍率は x² であり、x² = 1/2 です。正の倍率を取るので x = 1/√2 です。したがって半減期の半分で残る期待値は初めの1/2ではなく、初めの1/√2です。

この式は同じ半減期の核について、外部からの補充や持ち出しがなく、対象を同じ方法で数えるモデルです。別の核種が混ざっていれば、全体が単一の半減期の曲線になるとは限りません。また、残存数と検出器の計数は同じ量ではありません。検出の効率や背景が与えられない限り、計数をそのまま残存数に置き換えません。放射能の比較はここでは扱いません。

基本例題：表から残存数を追う

あるモデルの同種の核は半減期が4.0日です。時刻0の未崩壊核の数の期待値を800個とします。12.0日後の残存数と、その間に崩壊した数の期待値を、それぞれ個を単位に整数で求めてください。数値は計算のための条件で、実在の核種の値ではありません。

まず12.0日が半減期の何回分かを求めます。図2のように4.0日ごとに残存数を半分にすると、12.0日後は3回目の点です。

t/T = 12.0/4.0
    = 3
N = 800(1/2)³
  = 800/8
  = 100 個
崩壊した数 = 800 - 100
              = 700 個

答えは残存数100個、崩壊した数700個です。図2では初めの800個から400個、200個を経て100個になります。最後の4日間に崩壊した数は100個ですが、全12日間では700個です。区間を指定しているか、初めからの累積を尋ねているかで引く数が変わります。

答えを条件に戻すと、100個を半減前へ3回たどって100・2・2・2 = 800個です。また100 + 700 = 800個で初期数と一致します。期待値なので、実際の試料がこのとおりの個数になる保証を意味しません。図の点を直線で結ぶと中間時刻を正しく表せないため、曲線でつないでいます。

標準例題：原点以外の2点を読む

同じモデルの残存数の期待値が、測定開始から6.0日後に480個、18.0日後に120個でした。測定開始時の数は未知です。半減期を日単位で有効数字2桁で求め、測定開始時の期待値も個を単位に整数で求めてください。

後の数を前の数で割り、2点間で何回半減したかを読み取ります。両方とも同じ単位の数なので、比には単位がありません。

N₂/N₁ = 120/480
          = 1/4
          = (1/2)²
Δt = 18.0 - 6.0
     = 12.0 日
T = 12.0/2
  = 6.0 日

時刻6.0日は測定開始から半減期1回分です。したがって測定開始時の数は480個の2倍です。

N₀ = 480・2
   = 960 個

答えは6.0日、960個です。18.0日を2で割ると9.0日になりますが、2回分は時刻0から18.0日までではなく、6.0日から18.0日までです。逆に960個を6.0日ごとに半分にすると480個、240個、120個となり、2つの条件に戻ります。

同じ結果は式の割り算でも得られます。各時刻について N₁ = N₀(1/2)⁽ᵗ¹/ᵀ⁾、N₂ = N₀(1/2)⁽ᵗ²/ᵀ⁾ と書けば、比を取ったとき N₀ が消えます。指数の差が (t₂-t₁)/T となるため、初期数を知らなくても半減期を求められます。この例の時刻は厳密には測定開始を原点とする値で、経過時間の単位は両方とも日にそろえています。

発展例題：半減期の端数と逆算

あるモデルでは半減期が8.0時間で、時刻0の期待値は640個です。時刻12.0時間の残存数の期待値と、初期値の1/16になるまでの時間を求めてください。個数は有効数字2桁、時間は時間単位で有効数字2桁とします。計算には √2 = 1.414 を用い、最後に丸めます。

12.0時間は半減期1回半です。半回分の倍率を使うと、次のように計算できます。

t/T = 12.0/8.0
    = 1.5
N = 640(1/2)¹·⁵
  = 640・(1/2)・(1/√2)
  = 320/1.414
  = 226.3… 個

残存数は2.3×10²個です。丸める前の値に √2 を掛けてさらに2倍すれば、640個に戻ります。個数が整数でない途中結果も、平均的な期待値としては意味があります。実際の1回の測定値として小数個を数えたという意味ではありません。

次に1/16を半分の累乗に直します。

1/16 = (1/2)⁴
t/T = 4
t = 4・8.0
  = 32 時間

答えは32時間です。32時間後には640個を4回半分にして40個となり、40/640 = 1/16 と条件へ戻ります。逆算では1/16を16回分とせず、半分を何回掛けたかを数えます。

端数の逆算で累乗を見つけにくい場合には対数も使えます。両辺の正の量について同じ底の対数を取り、log(aᵇ) = b log a を使います。残存割合を r とすれば t/T = log r / log(1/2) です。対数の底は両方で同じにします。0より大きく1以下の r に対して時間は0以上です。r = 0 のとき有限の時間は求まらず、r が1を超えるなら補充のない減少モデルの条件に合いません。対数値が必要な問題では、その値や計算方法が与えられているか確認します。

測定をどう比べるか

曲線を確かめる資料を作るなら、同じ対象について複数の時刻の値をそろえ、横軸の原点と目盛りを記録します。放射線源を伴う実験は学校の指導の下で行い、ここでは自作の数表から考えます。測定方法と測定時間をそろえ、背景や検出効率が残存数への換算にどう影響するかを別に確認します。検出器が得た数を無条件に核の数と同一視してはいけません。

例えば期待値の比が1/4となる2時刻でも、実測値には揺らぎがあり、ちょうど1/4にならないことがあります。1組の点から得た半減期は読み取りの誤差にも左右されます。複数の区間で同じ割合になるまでの時間を比べ、軸の読み間違いと測定値のばらつきを区別します。曲線がモデルに合わないときは、混合や背景補正などの条件を点検し、必ず単一の半減期があると決めつけません。

誤答を時間軸に戻す

標準例題で「120個は480個の1/4だから、18.0日を2で割って9.0日」とした場合、比の選び方は正しくても時間の取り方が異なります。図3のように、480個を基準にした区間の左端は6.0日です。18.0日から6.0日を引くと12.0日で、それが2回分です。

図3の2点を使って9.0日を試すと、12.0日間は半減期2回ではありません。1/4という比を再現できないため、答えを元の条件に戻す検査で誤りを見つけられます。時刻0から後の点までを使う場合は、時刻0の数も一緒に使う必要があります。

別の誤りは「毎回初めの半分を引く」です。初めの半分を2回引けば0になりますが、2回目は残っている数の半分を引くため、初期値の1/4が残ります。表に各区間の開始時の数を書き出せば、引く量と掛ける割合を区別できます。期待値が100個と出たときに実数が必ず100個とする誤りもあります。モデルの曲線と一度の観測を別のものとして読みます。

練習：条件を変えて確かめる

次の数値はすべて自作のモデル条件です。核種の混合や補充はないものとします。答えは指定の単位・桁で表してください。

1. 半減期が3.0時間、時刻0の残存数の期待値が720個です。9.0時間後の残存数と、9.0時間までに崩壊した数を、それぞれ整数の個数で求めてください。
2. 測定開始から5.0日後に残存数の期待値が360個、15.0日後に90個でした。半減期を有効数字2桁の日数で求めてください。
3. 半減期が6.0分の核の期待値が初期値の1/32になるまでの時間を、有効数字2桁の分数で求めてください。
4. 半減期が10.0時間、時刻0の期待値が500個です。5.0時間後の期待値を有効数字2桁の個数で求めてください。√2 = 1.414 とします。
5. 半減期が2.0日、時刻0の期待値が960個です。2.0日から6.0日までの間に崩壊した数の期待値を整数の個数で求めてください。

答えとたどり方

1. 9.0/3.0 = 3回です。720/8 = 90個が残り、720 − 90 = 630個が崩壊します。90・8 = 720個、90 + 630 = 720個と、初めの条件に戻ります。

2. 90/360 = 1/4 = (1/2)² です。時間差は15.0 − 5.0 = 10.0日なので、10.0/2 = 5.0日です。5.0日ごとに360、180、90個と半分にすれば、両時刻の差と後の値を再現できます。

3. 1/32 = (1/2)⁵ なので、5回分です。6.0・5 = 30分です。30分を6.0分で割れば5回であり、その倍率は1/32に戻ります。30分という答えは有効数字2桁です。

4. 5.0/10.0 = 1/2回です。500/√2 = 500/1.414 = 353.6…個より、3.5×10²個です。丸め前の値に √2 を掛けると500個に戻ります。初期値の半分になるのは10.0時間後です。

5. 2.0日後は960/2 = 480個、6.0日後は960/8 = 120個です。したがって区間内に崩壊した期待値は480 − 120 = 360個です。120 + 360 = 480個となり、区間の開始時に戻ります。960 − 120 は時刻0から6.0日までの累積であり、求める区間とは異なります。

要点とつまずきの見分け

• 半減期ごとに、その時点の残存数の期待値が半分になります。
• 2点の比に対応するのは、2時刻の差です。
• 非整数回も指数の性質で扱い、逆算では倍率から回数を探します。
• 曲線は期待値であり、実測値や検出数との違いを確認します。

答案が合わないときは、まず数と時刻を対にして書けるかを見ます。2点の比は正しいのに時間の原点を取り違える場合は、時間軸に区間を描くと原因を特定できます。個別指導で確かめるなら、初期数を伏せた2点の表を使い、どの比にどの時間差を対応させたかを言葉で説明してもらいます。計算した値を元の2点へ戻せれば、半減期の読み方を自分で点検できます。