高校物理 原子 核反応のエネルギー収支—反応前後の質量差と運動エネルギーをつなぐ｜武蔵野個別指導塾

質量差の符号と、静止核から出る2粒子の運動量を手がかりに読み解く核反応の収支。

よくあるのは、高校生が反応で出るエネルギーを生成粒子へ同じ量ずつ配る場面です。反応前に静止していた核が2粒子に分かれるとき、互いの運動量は逆向きで大きさが等しくなります。しかし、質量が異なる粒子では、それぞれの運動エネルギーまで等しいとは限りません。質量差から求めたエネルギーがどこへ移るかを、保存則の対象を決めて追っていきます。

どの収支から始めるか

問題の型は大きく3つあります。反応式の空欄を核子数と電荷から決める型、反応前後の質量からQ値を求める型、生成粒子の運動エネルギーを運動量保存則と合わせて配分する型です。1つの問題に3つが重なることもあります。最初に粒子の種類と個数をそろえ、次にエネルギーの出入りを調べ、最後に向きと質量を使って配分します。

核子数は陽子数と中性子数の和です。核反応の前後で核子数の合計と電荷の合計はそれぞれ保存します。一方、個々の元素の原子核の数は変化しえます。空欄の核子数だけを合わせて電荷を調べ忘れると、別の核種を選ぶおそれがあります。

計算に入る前に、質量が核そのものの質量か、電子を含む中性原子の質量かを確かめます。以下の数値問題は明記するモデルの核質量を使います。実在する核種の測定値を表すものではありません。反応に関係する粒子を系に含め、外へ運び去る光子などが条件にあれば、それも収支に加えます。

質量差の符号と2つの保存則

反応前の静止質量の総和をM前、反応後をM後とし、光速度をcとすると、Q値は次のように定義します。

Q = (M前 - M後)c²
反応後の運動エネルギーの和 = 反応前の運動エネルギーの和 + Q

この収支は、反応の前後で挙げた粒子が同じ基準の状態にあり、他にエネルギーを運ぶものがない場合です。励起された核が残るなら、その状態の質量を使うか、励起に必要なエネルギーを別に計上します。光子が出るなら、そのエネルギーも右辺から生成粒子の運動エネルギーと並べて数えます。Qは運動エネルギーそのものと常に同じではなく、前後の運動エネルギーの差です。

図1のように、Qが正なら静止質量に対応するエネルギーが減り、その分が運動などに移ります。Qが負なら不足分を入射粒子の運動エネルギーなどから補う必要があります。ただし入射エネルギーが不足分に等しければ必ず反応できるとは限りません。運動量保存のため生成物全体が運動エネルギーを持つ必要がある場合があるからです。

質量差が消えて無になるのではありません。静止質量に対応するエネルギーと運動などを含めた全エネルギーを比較します。単位uで与えた質量差に、1 uに対応するエネルギーを掛けるとMeV単位のQが得られます。差を取る前に質量の種類と粒子の個数を点検することが必要です。

静止していた1個の核が2粒子に分かれ、他に粒子や光子を出さないとします。反応前の運動量はゼロなので、反応後の2粒子の運動量は逆向きで大きさが等しくなります。十分低速で非相対論近似が使える場合、各粒子についてK = p²/(2m)です。同じ大きさのpなら、運動エネルギーは質量に反比例します。反応前の運動エネルギーがゼロでQが正なら、2粒子の運動エネルギーの和がQです。

これは2粒子への分配の条件であり、初めから入射粒子の運動量がある反応にはそのまま適用できません。また3粒子以上や光子を含む反応では、2粒子の運動量が必ず反対向きで等しいとは限りません。数値を代入する前に系と初期状態を確かめます。

基本例題：静止核からの分配

自作モデルで、静止核Pが粒子Xと粒子Yの2個に分かれます。XとYの質量比は1:3で、反応のQ値は4.0 MeVです。他の粒子や光子は出ず、生成粒子は非相対論近似に従うとします。それぞれの運動エネルギーを有効数字2桁のMeVで求めてください。

図2のように、反応前の運動量はゼロです。反応後の矢印は反対向きで、運動量の大きさが等しいことを示します。矢印の長さは速さや運動エネルギーを表していません。

Xの質量をm、Yの質量を3m、共通の運動量の大きさをpとします。運動エネルギーをそれぞれKₓ、Kᵧとすると、次の関係です。

Kₓ = p²/(2m)
Kᵧ = p²/(2・3m)
Kₓ = 3Kᵧ
Kₓ + Kᵧ = 4.0 MeV
4Kᵧ = 4.0 MeV
Kᵧ = 1.0 MeV
Kₓ = 3.0 MeV

答えはXが3.0 MeV、Yが1.0 MeVです。合計は4.0 MeVでQに戻り、質量と運動エネルギーの積はm・3.0と3m・1.0で等しくなります。したがってp² = 2mKも両者で等しく、反対向きに置けば元の運動量ゼロに戻ります。

等しい運動量とは等しい速さのことではありません。p = mvより、軽いXの速さはYの3倍です。速度の向きも含めれば両者は逆向きです。なお、与えられた質量比とQは、この問題の近似の範囲で扱う条件です。

標準例題：反応式と質量差

自作モデルの反応で、原子番号と質量数を順に示すと、(2, 4)の核Aと(1, 2)の核Bから、(1, 1)の粒子Cと核Dが生じます。核質量の和は反応前6.010 u、反応後6.006 uとします。1 uに対応するエネルギーを931 MeVと近似し、Q値を有効数字2桁のMeVで求め、正負の意味を述べてください。核Dの番号も求めます。

核子数と電荷の収支を別々に立てます。核Dの原子番号をZ、質量数をAとすると、次のとおりです。

4 + 2 = 1 + A
A = 5
2 + 1 = 1 + Z
Z = 2
M前 - M後 = 6.010 u - 6.006 u
M前 - M後 = 0.004 u
Q = 0.004・931 MeV
Q = 3.724 MeV
Q = 3.7 MeV

核Dは原子番号2、質量数5のモデルです。Qは正で、静止質量に対応するエネルギーが3.7 MeV減ります。Dを戻して核子数は6対6、電荷を電気素量の倍数で数えると3対3です。丸める前の3.724 MeVを931 MeVで割ると0.004 uに戻ります。

入射粒子が運動しているなら、生成物の運動エネルギーの和は3.7 MeVそのものとは限りません。入射時の運動エネルギーを加えたものが和です。反応後に光子が出る条件なら、その分もエネルギーの受け手に加えます。粒子の速さが与えられないこの設問では、各生成粒子への分配までは決められません。

発展例題：不足分とグラフの読み取り

別の自作モデルで、ある反応のQ値は-2.0 MeVです。標的は静止し、入射粒子の運動エネルギーをK入、反応後の粒子の運動エネルギーの和をK後とします。他にエネルギーを運ぶものはなく、反応後の核は指定された状態にあるとします。K入が3.0 MeVのときのK後を有効数字2桁で求め、K入が1.0 MeVのときに反応できるか判定してください。さらに、反応が可能な点を縦軸K後、横軸K入に描いたときの直線の傾きと切片を求めます。

K後 = K入 + Q
K後 = 3.0 MeV - 2.0 MeV
K後 = 1.0 MeV

3.0 MeVで反応が起こると仮定した場合、和は1.0 MeVです。これに静止質量の増加分2.0 MeVを足すと、初めの3.0 MeVへ戻ります。実際にその入射条件で運動量保存も満たすかは、質量や方向など追加の条件が必要です。

1.0 MeVを代入するとK後は-1.0 MeVになります。運動エネルギーの和は負になれないため、この条件では反応できません。K入が2.0 MeV以上であることは必要条件ですが、十分条件ではありません。反応を起こすための正確な最小入射エネルギーは、運動量収支にも依存します。

両軸をMeVで表すと、関係式の傾きは1、縦軸切片は-2.0 MeVです。ただし負のK後は実現しないので、切片は直線の式を延長した値であり、そこでの観測値ではありません。別の読み方では、K後 − K入が常にQです。測定点からこの差を求めれば、傾きの読み違いを避けて符号を点検できます。

学校の指導の下で扱う測定資料を考えると、入射エネルギーを変え、同じ反応と生成状態を選んで生成物の運動エネルギーを比較します。見落とした粒子の運動や光子のエネルギーは、測った和を小さく見せます。入射エネルギーのずれや検出器の校正のずれも切片を動かすため、複数点のばらつきと系統的なずれを分けて検討します。放射線源や装置の操作はここでは扱わず、資料の収支を読むことに限ります。

誤答から収支を立て直す

図3のように、基本例題で4.0 MeVを2.0 MeVずつとする答えは、和だけを確認した誤答です。質量比1:3でエネルギーが等しければ、p² = 2mKから運動量の大きさも等しくなりません。初めの全運動量がゼロという条件に戻ると矛盾が見えます。

原因は、保存量の等しさと配分の等しさを混同することです。まず運動量の大きさを共通のpと置き、各質量についてp²/(2m)を計算します。次にその和をQに合わせれば、軽い方3.0 MeV、重い方1.0 MeVという結果を得ます。和と運動量の両方で元の条件に戻すことが修正の確認になります。

別の失敗はQの符号を反対に取ることです。後の質量が大きい反応では、静止質量を増やすエネルギーが必要なのでQは負です。式だけで符号を覚えず、前後の質量差がどちら向きかを言葉で確かめます。入射エネルギーがある場合にQだけを生成物へ配る誤りも、前後の運動エネルギーを左右に書くと見つけやすくなります。

手を動かして確かめる5問

以下はすべて自作モデルです。質量は核質量とし、数値計算では指定した近似を使います。必要な運動は非相対論近似に従うものとします。

1. 反応前の核子数の和が12、電荷が電気素量の6倍です。生成物の一方の質量数が4、原子番号が2のとき、他方の質量数と原子番号を整数で求めてください。
2. 反応前の質量の和が8.020 u、反応後が8.018 uです。1 uに対応するエネルギーを931 MeVと近似し、Qを有効数字2桁のMeVで求めてください。
3. 静止核が質量比1:2の2粒子に分かれます。Qは6.0 MeVで、他の生成物はありません。軽い粒子と重い粒子の運動エネルギーをそれぞれ有効数字2桁のMeVで求めてください。
4. Qが-1.5 MeVの反応で、入射運動エネルギーが1.0 MeVです。標的は静止し、他にエネルギーを運ぶものがない場合、反応できるか判定してください。
5. 静止核が2粒子に分かれ、軽い粒子の質量は重い粒子の1/4です。他の生成物はなく、重い粒子の運動エネルギーは0.60 MeVです。Qを有効数字2桁のMeVで求めてください。

解答と確かめ

1. 他方の質量数をA、原子番号をZとします。

4 + A = 12
A = 8
2 + Z = 6
Z = 4

答えは質量数8、原子番号4です。戻すと核子数は4 + 8 = 12、電荷は2 + 4 = 6で、両方の条件に合います。

2. 前から後を引き、換算します。

Δm = 8.020 u - 8.018 u
Δm = 0.002 u
Q = 0.002・931 MeV
Q = 1.862 MeV
Q = 1.9 MeV

正の1.9 MeVです。丸める前の1.862 MeVを931 MeVで割ると0.002 uとなり、前後の質量差に戻ります。後の質量が小さいので符号も正です。

3. 軽い粒子のエネルギーをK軽、重い粒子をK重とすると、逆向きの運動量の大きさが等しいため次の関係です。

K軽 = 2K重
K軽 + K重 = 6.0 MeV
3K重 = 6.0 MeV
K重 = 2.0 MeV
K軽 = 4.0 MeV

軽い粒子は4.0 MeV、重い粒子は2.0 MeVです。合計は6.0 MeV、質量とエネルギーの積は両者で等しいため、等しい大きさの逆向きの運動量に戻ります。

4. エネルギー収支から、反応後の運動エネルギーの和をK後として計算します。

K後 = 1.0 MeV - 1.5 MeV
K後 = -0.5 MeV

和が負になるので反応できません。仮に後の運動エネルギーをゼロにしても、静止質量の増加分1.5 MeVを賄うには0.5 MeV不足します。運動量の条件を調べる前に否定できます。

5. 軽い粒子の質量をmとすると重い粒子は4mです。運動量の大きさが等しいことから、軽い粒子のエネルギーは重い粒子の4倍です。

K軽 = 4・0.60 MeV
K軽 = 2.4 MeV
Q = 2.4 MeV + 0.60 MeV
Q = 3.0 MeV

答えは3.0 MeVです。合計から重い粒子の0.60 MeVを引くと2.4 MeVに戻り、質量とエネルギーの積も両者で等しくなります。反対向きの運動量を合わせると初めのゼロに戻ります。

最後に残す視点

• 核子数と電荷は別々に前後の合計を合わせます。
• Qは前の静止質量から後の静止質量を引いてc²を掛けます。
• 運動エネルギーの和の変化がQで、入射エネルギーも収支に含めます。
• 静止核から2粒子だけが出るとき、運動量は逆向きで大きさが等しくなります。
• 非相対論近似では、その2粒子の運動エネルギーは質量に反比例します。

式を立てる前に等分してしまうなら、粒子ごとに運動量の矢印と質量を書き、和と向きを別々に確認します。Qを求めても入射エネルギーを忘れるなら、前後の静止質量と運動エネルギーを左右に並べます。個別指導で確認する際も、答えの数値だけでなく、どの粒子を系に含めたか、得た値が最初の条件へ戻るかを説明してもらいます。核反応の収支は、2つの保存則を同時に満たして初めて閉じます。