高校物理 原子 放射能と原子核の数—半減期の違う試料を壊変率で比較する｜武蔵野個別指導塾

半減期と残存核数から壊変率を比べ、検出効率と背景計数を分けて読み解く放射能。

よくあるのは、2つの試料に残る原子核の数を見て、数の多い方が必ず強い放射能をもつと答える場面です。残っている核が多くても、それぞれが壊変する割合が小さければ、単位時間に壊変する数は少なくなります。逆に、検出器に記録された数が多いことから、試料の核数まで直ちに決めることもできません。核数、壊変率、検出数を一段ずつつなぎます。

どの量を比べる問題か

出方の1つは、異なる半減期と同じ時刻の核数から放射能を比べる問題です。核数だけでなく、半減期が壊変率にどう効くかを見ます。別の型では、ある時刻の放射能から後の時刻の放射能を求めます。同じ核種なら壊変定数が一定なので、放射能は残存核数と同じ割合で減ります。さらに、検出効率や背景計数が与えられ、実際の計数記録と試料の放射能を結びつける型があります。

条件を読むときは、数が「その瞬間に残る核」なのか、「一定時間に記録した回数」なのかを先に書きます。半減期の単位が時間、放射能の単位が毎秒なら、時間を秒に換えます。異なる時刻の値を比べるときは、同一時刻にそろえるか、それぞれの時刻を明示してください。次の式は各核種に一定の壊変定数を使うモデルであり、検出器の読みそのものを放射能とする式ではありません。

壊変の速さを核数につなぐ

時刻 t に残る放射性原子核の数を N、壊変定数を λ とすると、その時刻の放射能 a は次のように表されます。

a = λN
λ = ln2/T

T は半減期です。ln2 は2の自然対数で、計算に必要なら問題の条件として近似値を与えます。λ の単位は s⁻¹、N は核の個数なので、a の単位は s⁻¹ です。1 Bq は毎秒1回の壊変に相当します。Bq は試料の壊変率を表す単位で、検出器が毎秒1回記録することを意味しません。

図1のように、核数に壊変定数を掛けて壊変率に進み、その先で検出効率を掛けて検出率に進みます。効率を掛ける段階には、放出されたもののうち記録される割合を一定とする条件が必要です。効率が与えられなければ、核数と半減期から試料の放射能を計算できても、検出数は決まりません。

なぜ半減期が短いと λ が大きいのでしょうか。残存数が N₀ から N₀/2 になる時間が短いほど、同じ割合まで減る速度が大きいためです。指数的な減少 N = N₀ exp(-λt) で t = T と置けば、exp(-λT) = 1/2 です。両辺の自然対数から λT = ln2 を得ます。答案ではこの関係を使えばよく、微分の計算を要しません。

各核がいつ壊変するかは個別には予測できません。式の N と a は多数の核についての平均的な期待値として使います。短い時間の実測回数はその期待値と一致するとは限りません。また、時間幅が長く、その間の放射能が変わるとき、最初の a に時間を掛けるだけでは区間全体の期待壊変数にはなりません。最初と最後の残存数の差で求める方法を後で使います。

基本例題：核数の多さと半減期を比べる

自作のモデル試料 A、B について、同じ時刻に A は 8.0×10⁶ 個、B は 3.0×10⁶ 個の放射性核を含みます。半減期は A が 400 s、B が 100 s です。ln2 = 0.70 と近似し、それぞれの放射能を有効数字2桁の Bq で求め、どちらが大きいか答えてください。試料間の相互作用は無視します。

図2のように、A は核数が多いものの、半減期も長い条件です。式へ代入する前に、各試料の核数と半減期を対にしておきます。

λA = 0.70/400 s⁻¹
λA = 1.75×10⁻³ s⁻¹
aA = 1.75×10⁻³ × 8.0×10⁶ Bq
aA = 1.4×10⁴ Bq
λB = 0.70/100 s⁻¹
λB = 7.0×10⁻³ s⁻¹
aB = 7.0×10⁻³ × 3.0×10⁶ Bq
aB = 2.1×10⁴ Bq

答えは A が 1.4×10⁴ Bq、B が 2.1×10⁴ Bq で、B の方が大きくなります。B の核数は A の 3/8 ですが、壊変定数は4倍です。その積は 3/2 倍なので、答えの比 2.1/1.4 = 1.5 と一致します。核数の多い A を選ぶ方法では、各核が壊変する割合の違いを落としています。

単位も戻してみます。A では核1個あたり毎秒 1.75×10⁻³ の割合に 8.0×10⁶ 個を掛け、毎秒 1.4×10⁴ 回の壊変という意味になります。これは十分短い時間についての平均的な率であり、毎秒必ず整数でその回数が起こるという予言ではありません。

標準例題：異なる時刻の値をそろえる

同じ核種の試料 C は、ある時刻に 6.4×10⁵ 個の放射性核を含み、半減期は 200 s です。ln2 = 0.70 とします。400 s 後の核数と放射能を、有効数字2桁で求めてください。放射能は Bq で表します。

400 s は半減期2回分です。核数を半分にする操作を2回行ってから、同じ核種の λ を掛けます。

400/200 = 2
N = 6.4×10⁵ × (1/2)²
N = 1.6×10⁵ 個
λ = 0.70/200 s⁻¹
λ = 3.5×10⁻³ s⁻¹
a = 3.5×10⁻³ × 1.6×10⁵ Bq
a = 5.6×10² Bq

元の条件へ戻すと、後の核数を4倍して 6.4×10⁵ 個になり、2回半減したという条件に合います。初めの放射能は 2.24×10³ Bq で、後の値の4倍です。λ が変わらないため、核数の比と放射能の比が一致します。この対応は同じ核種で成り立ちます。異なる核種では λ も比較しなければなりません。

グラフでは横軸を時刻、縦軸を放射能にすると、200 s ごとに縦の値が半分になります。半減期が一定でも、同じ時間あたりの減少量は一定ではありません。最初の200 sで減る量と次の200 sで減る量は異なります。縦軸の目盛りと時刻の差を読み、直線的に同じ量ずつ引く誤りを避けます。核数のグラフでも縦軸の数値は違いますが、半分になる間隔は同じです。

発展例題：有限時間の検出と背景

試料 D の半減期を 60 s、測定開始時の核数を 8.0×10⁴ 個とします。60 s の間に壊変した各核が1回の検出対象を生じ、そのうち一定の効率 0.25 で記録されると仮定します。背景は毎秒平均 10 回で一定とします。60 s に記録される総回数の期待値を求め、計数は整数で答えてください。試料と背景の記録は独立に足せるものとします。

測定の終わりに残る数は、半減期1回分なので開始時の半分です。壊変した数は開始時と終了時の差です。

終了時の核数 = 8.0×10⁴ × 1/2
終了時の核数 = 4.0×10⁴ 個
壊変数 = 8.0×10⁴ - 4.0×10⁴
壊変数 = 4.0×10⁴ 回
試料による記録数 = 4.0×10⁴ × 0.25
試料による記録数 = 10000 回
背景の記録数 = 10 × 60
背景の記録数 = 600 回
総記録数 = 10000 + 600
総記録数 = 10600 回

答えは 10600 回です。試料分を効率で割ると 40000 回となり、残存数の差に戻ります。背景分 600 回も足し戻すと総数に一致します。別解として、平均の試料由来計数率を 10000/60 回/s とし、背景率 10 回/s を加えて60 sを掛けても同じです。ただし、この平均率は開始時の瞬間的な放射能ではありません。

開始時の放射能に60 sを掛ける方法は、この条件では使えません。測定中に核数が半分になり、瞬間的な壊変率も半分になるためです。区間が非常に短く変化を無視できるときに限り、開始時の率と時間の積を近似として使えます。効率は検出対象の種類、装置、配置や条件に依存するため、与えられた値をその条件に限って使います。効率が未知なら、総数と背景から試料由来の記録数は推定できても、壊変数への換算は決まりません。

測定資料を設計するときは、学校の指導の下で、試料ありと背景のみの測定時間を記録し、時間が違えばそれぞれを回数毎秒に直して比較します。装置と配置を一定にして繰り返せば、記録のばらつきを見られます。背景を過大に見積もると差引き後の試料由来率は小さくなります。差引き値が負になることも統計的な揺らぎで起こり得ますが、負の放射能と解釈せず、測定時間や不確かさを見直します。未知の効率を都合よく決めることもできません。

誤答の位置を探す

基本例題で「A の核数が多いので A の放射能が大きい」と答えた場合、核数から壊変率へ進む矢印が抜けています。図3のように、核数に λ を掛けてから大小を比較すると、短い半減期による B の大きな壊変率を反映できます。

もう1つの誤答は、B の 2.1×10⁴ Bq をそのまま毎秒の検出回数とすることです。原因は壊変と記録を同じ出来事にした点にあります。修正するには検出効率、検出対象の条件、背景を分けます。例えば効率が不明なら検出回数は決定できない、と結論すること自体が正しい処理です。効率が0.2と与えられ、1壊変につき1検出対象という条件なら、試料由来の期待計数率は放射能の0.2倍です。

半減期を時間で与えられているのに秒への換算を忘れると、数値が合っていても Bq になりません。分母の時間単位を確認し、最後に毎秒の率へ直してください。また、残存数を毎秒の数として扱う誤りは、個と回/sの単位を書き分けると見つけやすくなります。

自分で試す5問

いずれも自作のモデルです。ln2 = 0.70 とし、平均的な期待値で考えます。1〜4は有効数字2桁、5は整数で答えてください。

1. 半減期 140 s、核数 2.0×10⁶ 個の試料の放射能を Bq で求めてください。
2. 同じ時刻に、試料 E は核数 9.0×10⁵ 個、半減期 300 s、試料 F は核数 4.0×10⁵ 個、半減期 100 s です。放射能を比べ、大きい方と比 F/E を求めてください。
3. 半減期 50 s の試料の放射能が現在 8.0×10³ Bq です。150 s 後の放射能を Bq で求めてください。
4. 半減期 350 s、放射能 7.0×10² Bq の試料に残る核数を求めてください。
5. ある瞬間の放射能が 500 Bq の試料を十分短い 4.0 s の間測ります。この間、放射能と背景率は一定と近似でき、1壊変につき1検出対象、検出効率は 0.30、背景は毎秒 5 回です。総記録数の期待値を求めてください。

解答と考え方

1. λ = 0.70/140 = 5.0×10⁻³ s⁻¹ です。a = 5.0×10⁻³ × 2.0×10⁶ = 1.0×10⁴ Bq です。得た放射能を λ で割ると 2.0×10⁶ 個に戻ります。単位も毎秒の壊変回数です。

2. E は aE = (0.70/300) × 9.0×10⁵ = 2.1×10³ Bq です。F は aF = (0.70/100) × 4.0×10⁵ = 2.8×10³ Bq です。F が大きく、F/E = 2.8/2.1 = 1.3 です。丸める前の比は 4/3 であり、核数比 4/9 と壊変定数比 3 の積に戻ります。

3. 150/50 = 3 なので、8.0×10³ × (1/2)³ = 1.0×10³ Bq です。これを8倍すると元の 8.0×10³ Bq に戻ります。核種が同じなので λ は変わらず、放射能にも核数と同じ半減の割合を使えます。

4. λ = 0.70/350 = 2.0×10⁻³ s⁻¹ です。N = a/λ = 7.0×10²/(2.0×10⁻³) = 3.5×10⁵ 個です。この値に λ を掛け直すと 7.0×10² Bq となります。割る量は半減期ではなく壊変定数です。

5. 試料による期待記録数は 500 × 4.0 × 0.30 = 600 回、背景は 5 × 4.0 = 20 回です。総数は 620 回です。背景を引いて効率で割ると (620 − 20)/0.30 = 2000 回となり、500 × 4.0 の期待壊変数に戻ります。短時間で率が一定という条件があるため、この積を用いることができます。

手元に残す要点

• 放射能は a = λN、壊変定数は λ = ln2/T です。
• Bq は毎秒の壊変率で、核数や検出計数率とは別の量です。
• 同じ核種では放射能と残存数が同じ割合で減ります。
• 検出への換算には効率と検出対象の条件が必要です。
• 測定中に率が変わる場合、有限時間の壊変数は残存数の差で求めます。

核数が多い方を選んだときは、半減期を変えたら答えがどう変わるかを問い直します。計数をそのまま Bq と書いたときは、検出されなかった分と背景の行を分けてみます。個別指導では、式の暗記だけでなく、どの時刻の何を数えたか、単位をたどれるかを答案の途中で確かめます。核数から壊変、記録へと進む順序を押さえると、異なる試料の比較に筋道が立ちます。