高校物理 原子 核分裂と核融合—結合エネルギーの曲線から反応の向きを説明する｜武蔵野個別指導塾

核子当たりの結合エネルギーと中性子の収支から、反応の向きを読み解く核分裂と核融合です。

よくあるのは、高校生が結合エネルギーの曲線を見て、重い核ほど核子1個当たりの結合も必ず大きいと考える場面です。核全体の結合エネルギーと、核子1個当たりの値は別の量です。横軸の位置だけで反応の発熱を決めず、反応前後の核子数と結合エネルギーの合計を比べてみましょう。

どの量を比べる問題か

核分裂では重い核が複数の核などに分かれます。核融合では軽い核どうしが結びつき、より重い核などができます。どちらも、生成物の核子1個当たりの結合エネルギーが大きくなる方向なら、条件によってエネルギーを放出できます。ただし、反応に自由な中性子などが含まれる場合は、それらも収支に入れます。

問いの型は主に3つです。曲線から核分裂と核融合の方向を読む型、核子当たりの値に核子数を掛けて全体の収支を計算する型、分裂で生じた中性子の行き先から連鎖の増減を考える型です。曲線だけを使う問いと、個々の反応の数値が与えられた問いでは、根拠にできる精度が異なります。

結合の深さと曲線の読み方

原子核を陽子と中性子に完全に分け、互いに十分離して静止させるのに必要なエネルギーを結合エネルギーといいます。核子は陽子と中性子の総称です。核子数をA、核全体の結合エネルギーをBとすれば、核子1個当たりの結合エネルギーはB/Aです。単位がMeVならB/Aの単位はMeV/核子です。

図1のように、横軸を核子数、縦軸を核子当たりの結合エネルギーとする概念的な曲線を考えます。実際の核種ごとの値には違いがあり、図は厳密な測定点や数値を示していません。軽い側から中程度へ向かうと値が大きくなり、非常に重い側では中程度より小さくなる傾向を表しています。

図1の縦の高さは核全体の結合エネルギーではありません。軽い核が融合して中程度に近づく場合と、重い核が分裂して中程度に近づく場合を、同じ曲線上で考えられます。しかし、曲線の傾向は個々の反応が必ず起こる証明ではありません。生成物の組み合わせ、電荷と核子数の保存、反応を始める条件も必要です。

結合エネルギーが大きい核は、同じ核子をばらばらにした状態よりエネルギーが低い状態です。反応前後で陽子と中性子の総数が同じなら、核の結合エネルギーの合計が増えた分だけ、核の静止エネルギーは減ります。その差が生成物の運動エネルギーなどに現れます。自由な核子の結合エネルギーは0として数えます。入射粒子の運動エネルギーがある場合は、それも別に収支へ加えます。

融合では正に帯電した核どうしが反発します。近づいて核力が働く距離に達するには、この反発を越える機会が必要です。高温は粒子の運動を激しくしてその機会を増やす条件の1つですが、温度だけで反応が持続すると決まるわけではありません。粒子の密度や高温を保つ時間も関係します。ここでは装置の性能や燃料の扱いには立ち入りません。

基本例題：核子当たりから合計へ

ある模型で、核子数200の核1個が、核子数100の核2個に分裂するとします。反応前の核子当たりの結合エネルギーを7.0 MeV/核子、反応後の各核を8.0 MeV/核子とします。外から入る粒子はなく、他の生成物もないものとします。核子数と電荷は保存される組み合わせと仮定します。放出されるエネルギーをMeVで有効数字2桁で求めてください。いずれもこの問題のための模型の値です。

図2のように、まず核子数をそれぞれの高さに掛けます。核子当たりの差1.0 MeVを、そのまま核全体の差として答えてはいけません。

反応前の合計 = 200・7.0 MeV
             = 1400 MeV
反応後の合計 = 2・100・8.0 MeV
             = 1600 MeV
放出エネルギー = 1600 MeV - 1400 MeV
               = 2.0×10² MeV

図2の前後で核子数は200のままです。逆に、後の1600 MeVから答えの200 MeVを引くと前の1400 MeVに戻ります。放出分を含めて全エネルギーが保存されることも確認できます。生成核の運動や放射にどう分配されるかは、この条件だけでは決められません。

標準例題：融合を表の差で調べる

核子数4の核2個が核子数8の核1個になる模型を考えます。核子当たりの結合エネルギーは前が2.0 MeV/核子、後が3.5 MeV/核子です。他の生成物はなく、電荷も保存されると仮定します。入射時の運動エネルギーは別に扱います。結合エネルギーの増加をMeVで有効数字2桁にしてください。

前の合計 = 2・4・2.0 MeV
         = 16 MeV
後の合計 = 8・3.5 MeV
         = 28 MeV
増加 = 28 MeV - 16 MeV
     = 12 MeV

答えは12 MeVです。後の28 MeVから12 MeVを引くと16 MeVに戻り、前の2個分と一致します。入射時の運動エネルギーが0でない場合、生成物などの運動エネルギーの合計は、その入射分にこの12 MeVを加えた値です。電荷が保存されるという条件がなければ、核子数の一致だけで反応式を完成させることはできません。

横軸を核子数、縦軸を核子当たりの結合エネルギーとした表や図では、傾きの単位はMeV/核子数です。2点間の傾きは縦の差を横の差で割ったものですが、それ自体は反応で放出されるエネルギーではありません。縦の値と核子数を掛けて合計に直す必要があります。横軸の目盛りが等間隔か、縦軸が0から始まるかも確認します。図1は数値を読み取る定量グラフではないので、傾きや切片を計算しません。

発展例題：中性子の行き先を分ける

模型として、ある世代で100回の核分裂が起こり、各分裂から平均2.5個の中性子が生じるとします。発生した中性子のうち平均40%が次の世代でそれぞれ1回の分裂を起こし、残りは外へ逃げるか分裂を起こさず吸収されるとします。次の世代の分裂回数の期待値と、さらにその次の世代の期待値を求めてください。同じ割合が続くと仮定し、回数は整数で示します。

生じる中性子の期待数 = 100・2.5
                     = 250個
次の世代の分裂回数 = 250・0.40
                   = 100回
さらに次の世代の分裂回数 = 100・2.5・0.40
                           = 100回

別の見方では、1回の分裂から次の分裂へつながる平均は2.5・0.40 = 1.0回です。したがって100回に1.0を掛けても次の期待値は100回です。検算として100回の次の分裂に必要な中性子は100個で、発生した250個の40%と一致します。残る150個は次の分裂に寄与しません。

この倍率が1より小さければ世代ごとの期待値は減り、1なら一定、1より大きければ増えます。ここでの期待値は多数の試行を平均した模型の値であり、個々の分裂が2.5個の中性子を出すという意味ではありません。実際の回数には揺らぎがあり、条件が変われば同じ倍率を続けて使えません。

実験の考え方を資料で確かめるなら、中性子源を扱う操作ではなく、用意された模型データを比較します。例えば各世代で発生数と次の分裂に寄与した数を同じ基準で記録し、その比を求めます。逃げた中性子と吸収された中性子が区別できない資料なら、両者を合わせた損失までしか言えません。測定漏れが発生数と寄与数に異なる割合で生じると比が偏ります。学校で実験を扱う際は学校の指導の下で行い、放射線源の操作を自分で試みません。

誤答から収支を修正する

図3のように、基本例題で「8.0 − 7.0 = 1.0 MeVが放出される」とした答えを考えます。引き算の方向は合っていますが、1.0 MeVは核子1個当たりの増加です。核子数200を掛けて初めて核全体の増加が得られます。

図3の単位を追うと、MeV/核子に核子数を掛ければMeVになります。逆に、核子数を掛けた後にもMeV/核子と書いていれば単位の整理が不十分です。分裂で自由中性子が出る別の問題では、生成した核の核子数の合計が反応前より小さくなります。その差を見落とさず、自由中性子を含めて核子数を合わせます。

もう1つの誤りは、発生した中性子がすべて次の分裂を起こすとすることです。外へ逃げる場合や、分裂を起こさず吸収される場合を分けて数えます。寄与する割合が問題に与えられていなければ、発生数から次の分裂回数を一意に決めることはできません。条件不足を数値で埋めず、必要な情報を答えるのも物理の判断です。

練習：5つの条件を読み分ける

次の数値はすべて問題のための模型です。結合エネルギーの問題では電荷と核子数が保存され、指定した生成物以外はないとします。数値の答えは指定した単位で有効数字2桁にしてください。

1. 核子数6の核2個が核子数12の核1個になります。核子当たりの結合エネルギーは前が3.0 MeV/核子、後が4.0 MeV/核子です。結合エネルギーの増加をMeVで求めてください。
2. 核子数180の核が核子数90の核2個に分かれます。核子当たりの結合エネルギーは前が7.2 MeV/核子、後が7.7 MeV/核子です。増加をMeVで求めてください。
3. 1世代で80回の分裂があり、1回につき平均3.0個の中性子が生じます。その25%が次の分裂をそれぞれ1回起こします。次世代の分裂回数の期待値を有効数字2桁で求めてください。
4. 1世代の分裂回数が120回、次の世代の期待値が90回です。世代間の倍率を有効数字2桁で求め、増減を判定してください。
5. 反応前に核子数150の核と中性子1個があり、反応後に核子数70と78の核ができます。放出される中性子の個数を整数で求めてください。

解答と確かめ

1. 前は2・6・3.0 = 36 MeV、後は12・4.0 = 48 MeVです。増加は48 − 36 = 12 MeVです。48 − 12 = 36 MeVとなり、前の合計に戻ります。

2. 前は180・7.2 = 1296 MeV、後は2・90・7.7 = 1386 MeVです。増加は1386 − 1296 = 90 MeV、指定の形では9.0×10¹ MeVです。1386 − 90 = 1296 MeVと戻せます。核子数も前後とも180です。

3. 発生数の期待値は80・3.0 = 240個です。次の分裂は240・0.25 = 60回、指定の形では6.0×10¹回です。60回に使われる60個は240個の25%で、残り180個は次の分裂に寄与しません。

4. 倍率は90/120 = 0.75です。1より小さいので期待値は減ります。120・0.75 = 90回と、次の世代に戻して確認できます。次の次も同じ倍率とするには、その条件がさらに必要です。

5. 前の核子数は150 + 1 = 151です。後の核2個には70 + 78 = 148個が含まれます。差の151 − 148 = 3個が中性子です。後の148 + 3 = 151で前に戻ります。中性子は電荷を持たないので、電荷の保存は核の陽子数を別に確認する必要があります。

条件が欠けたときの考え方

結合エネルギーの表が核子当たりの値しか示さず、生成物の核子数が示されていない場合、核全体の増加を数値で決められません。曲線の高低から傾向を述べることはできますが、その高さの差をそのまま放出エネルギーにすることはできません。生成物に自由な核子が含まれる可能性もあり、反応式または核子数の内訳が必要です。

同じく、中性子が1回の分裂から平均何個生じるかだけでは、連鎖が増えるか減るかを判定できません。たくさん生じても、その大部分が次の分裂に寄与しなければ世代の回数は減り得ます。実験資料で観測時間が異なる場合も、生の合計をそのまま比べず、条件をそろえた値が必要です。

また、結合エネルギーが増える反応でも、初めの核が反発を越えて近づく条件や、反応が起こる確率は別に考えます。前後のエネルギー収支は起きた反応についての制約であり、それだけで反応が自発的に速く進むと断定する根拠にはなりません。資料に必要な条件がない場合は、その不足を明示して判断を保留します。

手元に残す要点

• 核子当たりの結合エネルギーと核全体の値を区別します。
• 核全体の結合エネルギーは核子数と核子当たりの値の積です。
• 前後の合計の増加が、放出できるエネルギーに対応します。
• 中性子収支では発生、次の分裂への寄与、損失を分けます。
• 融合の実現には反発を越える条件と、それを保つ条件が関係します。

計算が合わないときは、まず各数値の単位を声に出して読み、核子当たりの値に何個を掛けたかを確認します。個別指導では、曲線の高さから合計へ移る箇所と、中性子の発生数から次世代に寄与する数を取り出す箇所を、それぞれ図や表で確かめられます。核分裂と核融合の向きは、核子数と結合エネルギーの収支から判断します。