高校物理 原子 多段階遷移とスペクトル線—経路と集団の条件から観測できる線を数える｜武蔵野個別指導塾

1個の原子の経路と集団の候補を分け、同じ準位差や検出条件を踏まえて線を数える鍵は多段階遷移です。

よくあるのは、高校生が一つの電子がすべての遷移を通るとして線を数える場面です。準位図に引ける下向きの矢印を全部足すと、1個の原子が出す光子の個数も同じになるように見えます。しかし、途中で別の準位に下りた原子は、元の高い準位へ勝手に戻って別の道を選び直せません。何を数えるかを決め、道筋と波長を別々に調べましょう。

まず数える対象を決める

出方の型は大きく3つあります。1個の原子がある準位から下がるときの光子数を問う型、同じ初期状態の原子集団から出る可能性のある線を問う型、遷移に制限や検出範囲を付けて線を選ぶ型です。問題文に「可能な」という言葉があっても、1個の経路の候補を並べるのか、別々の原子の放出を合わせるのかを読み取ります。

数えられる対象は、経路、遷移、光子、波長の種類でそれぞれ異なります。経路は始点から終点までの矢印のつながりです。遷移は1本の矢印で、1回の放出に対応します。線の本数は観測する異なる波長の種類であり、同じ波長の光子を何個受けても、それだけ線の種類が増えるわけではありません。

条件が不足するときは、答えを決め打ちしません。許される遷移が指定されない問題では、どの下向き遷移も可能とする仮定が必要です。原子が十分に多数あって各経路を実際にたどるか、検出器がその波長を受けるかも、単なる準位図からは決まりません。以下では可能性を数えるとき、指定した遷移が集団中で実現し、指定範囲の線を区別できる理想条件を置きます。

準位差を矢印から波長へ移す

原子のエネルギーが高い準位 Eᵢ から低い準位 Eⱼ に変わり、その差が1個の光子として放出されるとします。ここでは外部から新たな励起を受けず、原子の反跳によるエネルギーを無視します。プランク定数を h、真空中の光速度を c、光子の波長を λ とすると、エネルギーの収支は次の形です。

放出光子のエネルギー = Eᵢ - Eⱼ
hc/λ = Eᵢ - Eⱼ
λ = hc/(Eᵢ - Eⱼ)

上から下への差は正です。高い準位の値が負でも、引き算の順を守れば正の光子エネルギーになります。差が大きいほど波長は短く、差が同じなら波長も同じです。図1のように、矢印の数を求めた後で差の重複を調べます。図の E₀、E₁、E₂、E₃ は値が低い順に並ぶ記号です。

図1では E₃ から E₂ と E₁ から E₀ の差を同じ d としています。矢印は別々の遷移ですが、放出光子のエネルギーは同じなので、理想的には同じ波長の1本の線に重なります。図の中の記号 d は差の大きさであり、準位の番号の差ではありません。実際のスペクトルでは線の幅や装置の分解能も関わるため、近い波長が区別できるかは観測条件が必要です。

準位が低い順に N 個あり、どの高い準位からもどの低い準位へも遷移できるとします。高い準位から選ぶ先の数は順に 1、2、…、N − 1 個です。その和は N(N − 1)/2 です。これは上下の異なる2準位の組の数でもあります。ただし、これは遷移候補の数です。異なる差がすべて異なるという条件がなければ、波長の種類の数にそのまま使えません。初期状態から到達できない準位がある場合や禁じられた矢印がある場合にも、全組の式を直接使えません。

1個の原子については、矢印を連続してたどります。最上位から最下位まで下がるとき、途中の各準位に立ち寄るかどうかで道が分かれます。途中準位が N − 2 個なら、自由に各準位を通過できる理想条件で経路は 2⁽ᴺ⁻²⁾ 通りです。ただし一度の放出で進む矢印の本数は経路ごとに異なります。最下位で終わるまでに出す光子数は、直接下りれば1個、隣接準位を順に下りれば N − 1 個です。経路数と光子数も混同できません。

基本例題：4準位を1個で下りる

ある原子の準位を低い順に E₀、E₁、E₂、E₃ とし、エネルギーをそれぞれ 0、ε、3ε、7ε とします。ε は正のエネルギーです。最初に E₃ にいる1個の原子が、外部から励起されずに E₀ まで下がります。どの高い準位からどの低い準位への放出も可能とし、各遷移で光子を1個出します。経路をすべて示し、各経路の光子数を整数で答えてください。さらに、同じ条件の原子集団で各遷移が実現するとき、異なる波長の線の本数を整数で求めます。反跳と線の幅は無視します。

図2のように、1個の原子が E₃ から最初に進む先を分けます。一度 E₁ に来たら、E₂ に寄る道は残りません。図2の矢印は集団に許された候補であり、1個が全部を続けて通る図ではありません。

経路と光子数は次の4通りです。

E₃ → E₀ : 1個
E₃ → E₁ → E₀ : 2個
E₃ → E₂ → E₀ : 2個
E₃ → E₂ → E₁ → E₀ : 3個

答えは経路4通りで、光子数は順に1個、2個、2個、3個です。途中の E₁ と E₂ のそれぞれについて通るか通らないかを選ぶ方法でも、2×2 = 4通りと確かめられます。すべての経路でエネルギー差を足すと、初期と終状態の差 7ε に戻ります。例えば最後の経路は 4ε + 2ε + ε = 7ε です。光子数が違っても、エネルギーの合計は同じです。

次に集団で実現する6本の遷移について、差を表にします。

6つの差は互いに異なります。したがって線は6本です。例えば E₃ → E₀ と E₂ → E₁ は同じ1個の原子の経路に同時に現れませんが、別々の原子がそれぞれの道をたどれば集団の候補に入ります。答えの6本は6個の光子という意味ではなく、異なる波長の種類です。

標準例題：同じ差は1本に重なる

4準位のエネルギーを低い順に 0、2ε、5ε、7ε とします。最初は全原子が最高準位にあり、低い準位へのすべての遷移が可能で、集団中で各遷移が実現します。外部からの再励起、反跳、線の幅を無視し、異なる波長を区別できるものとします。異なる波長の線の本数と、それぞれの波長を hc/ε を用いて答えてください。ε は正です。

準位を低い順に E₀、E₁、E₂、E₃ とすると、候補の差は6個です。

E₃ - E₂ = 7ε - 5ε = 2ε
E₃ - E₁ = 7ε - 2ε = 5ε
E₃ - E₀ = 7ε - 0 = 7ε
E₂ - E₁ = 5ε - 2ε = 3ε
E₂ - E₀ = 5ε - 0 = 5ε
E₁ - E₀ = 2ε - 0 = 2ε

異なる差は 2ε、3ε、5ε、7ε の4種類です。よって線は4本で、波長はそれぞれ hc/(2ε)、hc/(3ε)、hc/(5ε)、hc/(7ε) です。例えば E₃ → E₁ と E₂ → E₀ の2遷移は、ともに 5ε の光子を出し、同じ波長の線に寄与します。各波長に hc/λ を戻すと、それぞれ元の差に一致します。

別の見方として、波長の逆数 1/λ を縦軸、準位差 ΔE を横軸に取ると、1/λ = ΔE/(hc) です。原点を通る直線の傾きは 1/(hc) で、ΔE の単位が J なら縦軸の単位は m⁻¹ です。同じ差を持つ2遷移は同じ点に重なります。傾きの読み取りには横軸と縦軸の目盛りの単位が必要で、グラフ上の点の個数をそのまま遷移数にしてはいけません。波長そのものを縦軸にすれば反比例なので、この直線にはなりません。

発展例題：禁じられた矢印と検出範囲

5準位のエネルギーを低い順に 0、ε、4ε、6ε、10ε とします。原子は最初に最高準位 E₄ にあり、放出が許されるのは E₄ → E₃、E₄ → E₁、E₃ → E₂、E₃ → E₀、E₂ → E₁、E₁ → E₀ の6遷移です。それ以外は起こらず、外部からの再励起はありません。集団中で許された各経路が実現し、各光子のエネルギーが 3ε 以上の線を検出できます。同じエネルギーは1本の線とし、反跳と線の幅を無視します。E₀ に至る経路と光子数、および検出される線の本数を整数で答えてください。

まず到達する順に矢印をたどります。E₂ には E₃ を経て到達し、E₁ には E₄ から直接、または E₂ から到達できます。

E₄ → E₁ → E₀ : 2個
E₄ → E₃ → E₀ : 2個
E₄ → E₃ → E₂ → E₁ → E₀ : 4個

経路は3通りです。それぞれの光子エネルギーの合計を戻すと、順に 9ε + ε = 10ε、4ε + 6ε = 10ε、4ε + 2ε + 3ε + ε = 10ε です。いずれも E₄ と E₀ の差に一致します。

次に全6遷移の差を並べ、閾値を当てます。

E₄ → E₃ : 10ε - 6ε = 4ε
E₄ → E₁ : 10ε - ε = 9ε
E₃ → E₂ : 6ε - 4ε = 2ε
E₃ → E₀ : 6ε - 0 = 6ε
E₂ → E₁ : 4ε - ε = 3ε
E₁ → E₀ : ε - 0 = ε

3ε 以上は 3ε、4ε、6ε、9ε の4種類なので、検出される線は4本です。3ε は等号を含むため残します。2ε と ε に対応する放出は起こり得ますが、この検出器では数えません。検出された差に hc/λ を戻せば各差が得られ、閾値にも合います。もし検出器が 3ε より大きいエネルギーだけに感度を持つなら、3ε の線が外れて3本になります。境界の等号が答えを変えます。

実験を考えるときは、発光する原子の条件と分光器の設定を分けます。学校の指導の下で、測定対象と観測時間をそろえたまま、検出可能な波長域や分解能を比較する設計を考えます。波長を横軸、検出信号を縦軸にした資料では、同じ位置に重なる光は1つの線として現れ、光の量や検出効率は信号の高さに関わります。弱い線が雑音に埋もれる場合、観測されなかったことから直ちに遷移が禁止だとは結論できません。

また、近い2本を分離できない装置では1本に見える場合があります。線の中心を読む誤差や波長の目盛りのずれも、差の比較を難しくします。背景を含む信号と背景のみの信号を同じ条件で比べ、繰り返し測定で変動を調べると、線の候補と観測結果の違いを検討できます。準位図からの本数は条件付きの予測で、実際に見えた本数とは区別します。

誤答を経路図から直す

基本例題で「4準位の全組が6個だから、1個の原子は光子を6個出す」と答えたとします。原因は、異なる原子が選ぶ矢印を1個の原子の道としてつないだことです。図3のように、E₃ → E₀ を選んだ後は E₀ にいて、E₃ → E₂ を続けられません。図3で途切れる矢印は、次の一歩として使えない候補です。

修正するときは、現在地を指で追い、各矢印の終点と次の始点が一致するかを確かめます。外部からエネルギーを受ける条件がなければ、低い準位から高い準位へ戻す矢印を足せません。一方、集団の線を問うなら別の原子の道も合わせ、その後に同じ準位差を1種類にまとめます。

もう一つの誤りは「遷移が6種類なら線も必ず6本」とすることです。標準例題では6遷移が4種類の差に重なります。差の一覧を作り、同じ値を消してから波長へ換算すれば修正できます。さらに、禁止された矢印、初期状態から届かない準位、検出範囲の外にある波長を別々に除きます。どの段階で候補が減ったかを書けば、条件の読み落としを見つけられます。

練習問題

以下の ε は各問題で正のエネルギーです。各放出では1個の光子が生じ、反跳と線の幅は無視します。許された経路は集団中で実現し、指定された検出範囲内の異なる波長は区別できるものとします。外部からの再励起はありません。答えの本数・個数は整数で示してください。

1. 準位が低い順に 0、ε、4ε の3つです。最初に最高準位にいる1個の原子が最下位へ下り、どの下向き遷移も可能です。経路と、それぞれの光子数を求めてください。
2. 準位が 0、ε、2ε、4ε で、最高準位から始まる集団にどの下向き遷移も可能です。異なる波長の線の本数と光子エネルギーの種類を ε で表してください。
3. 準位を低い順に E₀、E₁、E₂、E₃ とし、許される放出は E₃ → E₁、E₁ → E₀、E₂ → E₀ の3つです。初期状態は E₃ のみです。到達可能な遷移の数を求め、E₂ → E₀ を数えるか理由を述べてください。
4. ある集団の到達可能な遷移による光子エネルギーが ε、3ε、5ε、7ε の4種類です。検出器は 3ε 以上 7ε 未満のエネルギーを検出します。観測される線の本数とエネルギーを求めてください。
5. 準位が 0、2ε、6ε、9ε です。最高準位から始まり、どの下向き遷移も可能な1個の原子について、ちょうど2個の光子を出して最下位に至る経路と、各光子のエネルギーを求めてください。

練習の答えと解き方

1. 最高準位を E₂ とすると、E₂ → E₀ は1個、E₂ → E₁ → E₀ は2個です。それぞれの光子エネルギーは 4ε、または 3ε と ε です。後者も 3ε + ε = 4ε で、最初と最後の差に戻ります。別の道を続けて通ることはできません。

2. 下向きの準位差は次の6つです。

4ε - 2ε = 2ε
4ε - ε = 3ε
4ε - 0 = 4ε
2ε - ε = ε
2ε - 0 = 2ε
ε - 0 = ε

異なる差は ε、2ε、3ε、4ε なので4本です。各波長は hc をその差で割った値であり、hc/λ に戻すと元の4種類のエネルギーになります。6本の矢印のうち同じ差のものは線として重なります。

3. E₃ から E₁ を経て E₀ へ下りるため、到達可能な遷移は2つです。E₂ に向かう許された道がないので、E₂ → E₀ は初期条件の下では起こりません。E₃ → E₁ → E₀ の始点と終点が一致することをたどれば、2つの矢印を両方使えると確かめられます。許可された矢印と実際に到達できる矢印を区別します。

4. 3ε は下限を含み、5ε も範囲内です。7ε は上限を含まないため外れ、ε も下限未満です。したがって2本で、エネルギーは 3ε と 5ε です。逆にこの2値を条件に戻すと、どちらも 3ε 以上かつ 7ε 未満です。放出の可能性と検出の可否は別の条件です。

5. 途中に1準位を通るので、9ε → 2ε → 0 と 9ε → 6ε → 0 の2経路です。前者の光子は順に 7ε、2ε、後者は順に 3ε、6ε です。合計はどちらも 9ε に戻り、2回の遷移で最下位に着きます。9ε → 0 は1個、9ε → 6ε → 2ε → 0 は3個なので条件から外れます。

覚えておくこと

• 1個の原子は、終点と次の始点がつながる経路をたどります。
• 集団の候補は、初期状態から到達できる許された遷移を集めます。
• 線の種類は準位差の種類で決まり、同じ差は同じ波長に重なります。
• 観測本数には検出範囲と分解能も関わります。

答案を見て、矢印を全部つないでいるなら現在地の追跡を、集団の線を全組の数だけで決めているなら差の重複を確かめます。個別指導では、まず1本の経路を声に出して読み、次に別の原子の経路を加え、最後に差の一覧へ検出条件を当てられるかを見ます。準位図にある矢印と、実際に見える線の間には、到達・重複・検出という3つの判定があります。