高校物理 原子 質量欠損と結合エネルギー—核質量と原子質量を区別して安定性を比べる｜武蔵野個別指導塾

分離した核子と原子核の質量差を計算し、電子の相殺と核子当たりの比較から読み解く質量欠損。

よくあるのは、高校生が質量の表を見て、中性原子の質量を裸の陽子と中性子の質量の和から引く場面です。差を取る前に、片方には電子が含まれ、もう片方には含まれていないことに気づけるでしょうか。原子核をばらばらの核子に分けるときに必要なエネルギーを求めるには、同じ粒子を左右にそろえて比べる必要があります。

どの質量を比べる問題か

出方の1つは、陽子と中性子の個数、および核質量が与えられ、質量欠損から結合エネルギーを求める型です。個数を掛けた核子の質量の和から核質量を引きます。差が正なら、その核を静止した核子に完全に分けるには外部からエネルギーを与える必要があります。

2つ目は、核子数の違う核を比べる型です。結合エネルギーの合計が大きい核でも、核子の数が多ければ、1個当たりの値は小さいことがあります。合計と平均をそれぞれ計算し、問われた量で比較します。

3つ目は原子質量の表を使う型です。中性原子の質量には電子が入っています。核質量を使う式にそのまま代入せず、電子を両側にそろえる方法を選びます。以下の数値を使う問題では、質量はすべて計算のために与えるモデル値です。実在の核種の測定値ではありません。

核子を分ける前後でエネルギーをそろえる

原子核の陽子数をZ、中性子数をN、核子数をA = Z + Nとします。裸の陽子1個の質量をmₚ、中性子1個の質量をmₙ、原子核の質量をMとします。これらの質量は、いずれもそれぞれの物体が静止しているときの質量として扱います。

図1のように、左側には十分離れて静止したZ個の陽子とN個の中性子を置き、右側には同じ核子からなる静止した原子核を置きます。静止した核子の質量の合計が核の質量より大きいとき、その差Δmを質量欠損と呼びます。

Δm = Zmₚ + Nmₙ - M
B = Δmc²

cは真空中の光速度、Bは結合エネルギーです。核を静止した核子に完全に分け、互いに十分遠ざけて静止させるのに必要な最小のエネルギーがBです。逆向きに、離れた核子から同じ核ができて最終的に静止するときは、全体の保存則を満たすよう、その差に相当するエネルギーが外に出ます。核子が消えたのではなく、結合した系の静止エネルギーが低くなったことを質量の差で表しています。

核子を1個取り出すだけのエネルギーと、全核子に分解するBは別の量です。また、B/Aは全体の結合エネルギーを核子数で割った平均であり、どの核子を1個取り出しても必ずB/Aが必要という意味ではありません。核子数の異なる核の結びつきを大まかに比べる指標にはなりますが、放射性崩壊が起こるかや寿命の長短を、それだけで決めることはできません。

質量をuで与えられたときは、問題で指定した換算を使います。1 uに対応する静止エネルギーを931 MeVと近似するなら、Δmの数値に931を掛けるとMeV単位のBになります。たとえばΔmがd uなら、Bは931d MeVです。uは質量の単位、MeVはエネルギーの単位なので、質量差とエネルギーを同じ数値のまま等置しません。

中性原子の質量を使うとき

中性原子の質量をMₐ、水素原子の質量をmH、電子の質量をmₑとします。電子の結合に伴う質量の差を無視できる近似なら、Mₐ = M + Zmₑ、mH = mₚ + mₑです。水素原子Z個と中性子N個から対象の中性原子を引くと、電子の質量が相殺されます。

ZmH + Nmₙ - Mₐ
= Z(mₚ + mₑ) + Nmₙ - (M + Zmₑ)
= Zmₚ + Nmₙ - M
= Δm

この式は電子の結合エネルギーを無視する近似に基づきます。精密な比較では、水素原子と対象原子の電子の結合エネルギーの差に対応する補正が残ります。中性原子Mₐを、裸の陽子の和から直接引けば、電子Z個分が余計に差し引かれます。原子がイオンなら電子数も異なるため、この相殺をそのまま使えません。

基本例題：4個の核子を全部分ける

あるモデルの原子核は陽子2個、中性子2個からなり、核質量は4.000 uです。裸の陽子と中性子の質量をそれぞれ1.007 u、1.009 uとし、1 uに対応するエネルギーを931 MeVと近似します。質量欠損をu、結合エネルギーの合計と核子1個当たりをMeVで求め、後者2つは有効数字3桁で答えてください。

図2では、分離した4個の核子と核の質量を上下に並べています。表示された値の差は質量欠損であり、核子の個数の差ではありません。先に陽子と中性子の個数を掛けてから差を取ります。

分離した核子の質量 = 2×1.007 + 2×1.009
= 4.032 u
Δm = 4.032 - 4.000
= 0.032 u
B = 0.032×931
= 29.792 MeV
B/A = 29.792/4
= 7.448 MeV

したがって質量欠損は0.032 u、結合エネルギーは29.8 MeV、核子1個当たりは7.45 MeVです。丸めるのは最後にします。0.032 uに対応する29.792 MeVを核に与えて完全に分離すると、分離後の質量は4.000 + 0.032 = 4.032 uとなり、与えられた核子の和に戻ります。

差を引く順序も場面で確かめられます。分離するにはエネルギーが必要なので、分離後の静止エネルギーは核の静止エネルギーより高いはずです。核の質量から核子の和を引いて負の結合エネルギーにした場合は、差の向きを見直します。

標準例題：合計と1個当たりを比べる

別のモデル核Xは陽子3個と中性子3個からなり、核質量は5.988 uです。比較対象Yは核子4個、結合エネルギーの合計が36.0 MeVとします。陽子と中性子の質量をそれぞれ1.007 u、1.009 u、1 uに対応するエネルギーを931 MeVと近似します。Xの結合エネルギーの合計と核子1個当たりを有効数字3桁で求め、Yと合計および1個当たりを比べてください。

Xの核子の質量の和 = 3×1.007 + 3×1.009
= 6.048 u
Xの質量欠損 = 6.048 - 5.988
= 0.060 u
Xの結合エネルギー = 0.060×931
= 55.86 MeV
Xの核子1個当たり = 55.86/6
= 9.31 MeV
Yの核子1個当たり = 36.0/4
= 9.00 MeV

Xは合計55.9 MeV、1個当たり9.31 MeVです。合計も1個当たりも、この条件ではXの方が大きくなります。Xに55.86 MeVを与えると、質量換算で0.060 uが加わり、5.988 uから6.048 uに戻ります。Yも9.00 MeVを4個分として36.0 MeVに戻せます。

グラフを読む場合は、横軸を核子数A、縦軸を結合エネルギーBとすると、原点と各点を結ぶ直線の傾きB/Aが1個当たりの値です。単位はMeVで割る核子数なので、核子1個当たりのMeVです。2つの点を結ぶ線の傾きは、2つの核のB/Aそのものではありません。軸が最初からB/Aなら、点の高さを比べます。異なる核種の点が一直線に並ぶことも前提にはできません。

発展例題：原子質量表と測定の幅

陽子2個、中性子2個からなるモデル核について、中性原子の質量は4.002 u、水素原子の質量は1.008 u、中性子の質量は1.009 uとします。電子の結合エネルギーを無視し、電子の質量を0.001 u、1 uに対応するエネルギーを931 MeVと近似します。質量欠損と結合エネルギーを求め、エネルギーは有効数字3桁で答えてください。さらに、対象原子の質量の読み取りに±0.001 uの幅があり、他の値は固定とするとき、結合エネルギーが取りうる範囲を小数第3位のMeVまで示してください。

原子質量を使う方法では、水素原子2個の電子と、対象の中性原子の電子2個が対応します。

分離側の原子と中性子の質量 = 2×1.008 + 2×1.009
= 4.034 u
Δm = 4.034 - 4.002
= 0.032 u
B = 0.032×931
= 29.792 MeV

答えは0.032 u、29.8 MeVです。別解では最初に電子を取り除きます。対象の核質量は4.002 − 2×0.001 = 4.000 u、裸の陽子の質量は1.008 − 0.001 = 1.007 uです。核子の和は2×1.007 + 2×1.009 = 4.032 uとなり、核質量との差は0.032 uです。原子の側でも4.002 + 0.032 = 4.034 uと戻せます。

幅を考えるときは、引く対象原子の質量が大きいほど差が小さくなる点に注意します。

対象原子の質量の範囲 = 4.001 uから4.003 u
Δmの最小 = 4.034 - 4.003 = 0.031 u
Δmの最大 = 4.034 - 4.001 = 0.033 u
Bの最小 = 0.031×931 = 28.861 MeV
Bの最大 = 0.033×931 = 30.723 MeV

求める範囲は28.861 MeVから30.723 MeVです。幅の両端を質量に戻すと、それぞれ4.003 uと4.001 uになります。ここでの範囲は、与えた読み取り幅と換算近似から作った範囲であり、実際の測定の不確かさを表すものではありません。

測定を考察するときは、同じ質量単位と同じ種類の原子・核を使い、複数回の測定値のばらつきと装置の目盛りの幅を別に記録します。小さい差を大きい質量どうしの引き算で得るため、元の値のわずかなずれが差の割合としては目立ちます。両方の測定に共通のずれがある場合は、その相関によって差への影響も変わります。仮に別々の条件で資料を比較するなら、その条件差を記録し、差のすべてを核の性質に帰さないことが必要です。実際の測定は学校の指導の下で扱い、装置の操作はここでは前提にしません。

誤答の原因を粒子の数に戻す

図3の左のように、裸の陽子と中性子の和から中性原子の質量を引くと、右辺には比較相手のない電子が残ります。右のように水素原子を使うか、中性原子の質量から電子の分を除けば、粒子の対応をそろえられます。

誤答は「陽子2個 + 中性子2個 − 中性原子」です。原因は中性原子と原子核を同じものと見なしたことです。修正すると「水素原子2個 + 中性子2個 − 中性原子」となり、電子2個が両側で相殺されます。ただし電子の結合エネルギーを無視する近似が必要です。

もう1つの誤りは、合計のBが大きい核を無条件に1個当たりでも大きいとすることです。原因は核子数をそろえず合計を比べたことです。B/Aをそれぞれ出し、どの量の大小を答えるかを書き添えます。さらに、質量差の符号が負になったときは、前後を逆にしたのか、異なる質量を混ぜたのか、与えられた値の精度が足りないのかを調べます。負の差を勝手に正に直すと、条件の誤りを見逃します。

練習問題

各問の数値は計算用のモデル条件です。1 uに対応するエネルギーは931 MeVと近似します。エネルギーは指定がなければ有効数字3桁で答えてください。問題を解き終えてから下の解答と照合します。

1. 陽子1個と中性子1個からなる核の核質量は1.996 uです。裸の陽子を1.006 u、中性子を1.010 uとします。質量欠損をuで、結合エネルギーをMeVで求めてください。
2. 核子5個のモデル核Pの結合エネルギーは40.0 MeV、核子8個のモデル核Qは60.0 MeVです。それぞれの核子1個当たりを求め、合計と1個当たりの大小をそれぞれ答えてください。
3. 陽子3個と中性子4個からなる中性原子の質量は7.010 u、水素原子は1.008 u、中性子は1.009 uです。電子の結合エネルギーを無視して、質量欠損と結合エネルギーを求めてください。
4. 核子6個の核を完全に分離するのに必要なエネルギーが37.24 MeVと与えられています。質量欠損を有効数字2桁のuで求め、1個当たりの結合エネルギーも求めてください。
5. 分離した核子の質量の和が8.060 uで、核質量の測定値が8.020 uから8.022 uの範囲です。他の値は固定とします。結合エネルギーの最小値と最大値を小数第3位のMeVまで求めてください。

練習の答えと解き方

1. 分離側は1.006 + 1.010 = 2.016 uです。質量欠損は2.016 − 1.996 = 0.020 u、結合エネルギーは0.020×931 = 18.620 MeVなので18.6 MeVです。1.996 + 0.020 = 2.016 uと分離側へ戻ります。
2. Pは40.0/5 = 8.00 MeV、Qは60.0/8 = 7.50 MeVです。合計はQが大きく、1個当たりはPが大きくなります。8.00×5 = 40.0、7.50×8 = 60.0 MeVと、両方の合計に戻せます。
3. 電子3個が相殺されるので、分離側は3×1.008 + 4×1.009 = 7.060 uです。質量欠損は7.060 − 7.010 = 0.050 u、結合エネルギーは0.050×931 = 46.550 MeV、答えは46.6 MeVです。原子の質量に0.050 uを加えると7.060 uとなり、分離側に戻ります。
4. 37.24/931 = 0.040 u、37.24/6 = 6.2066… MeVです。質量欠損は0.040 u、1個当たりは6.21 MeVです。0.040×931 = 37.24 MeVと元の分離エネルギーに戻ります。
5. 核質量が大きい8.022 uのとき差は0.038 u、小さい8.020 uのとき差は0.040 uです。最小は0.038×931 = 35.378 MeV、最大は0.040×931 = 37.240 MeVです。それぞれの差を核質量に足すと、どちらも8.060 uに戻ります。

計算の前後に残すこと

• 核質量の式では、裸の核子の和から核質量を引きます。
• 結合エネルギーは質量欠損にc²を掛けた量です。
• 原子質量を使うときは電子数をそろえ、電子の結合を無視する条件を示します。
• 核子1個当たりは合計を核子数で割り、合計とは別に比べます。
• 答えを分離前後の質量やエネルギーに戻して確かめます。

式を書き始められないときは、まず左右にある陽子・中性子・電子の数を声に出して確認します。個別指導では、核質量と原子質量のどちらを引いたか、差の正負を分離に必要なエネルギーと結びつけられるか、合計と1個当たりを区別できるかを順に確かめます。粒子をそろえてから差を取ると、質量欠損の意味が式の中に残ります。