高校物理 原子 電子線回折—干渉条件と測定図から波長と格子間隔を結びつける｜武蔵野個別指導塾

検出器の散乱角をブラッグ角に直し、経路差と測定誤差から読み解く電子線回折。

よくあるのは、結晶を通った電子線の検出器で角度を読み、その角度をそのままブラッグ角として式に入れる場面です。入射方向から散乱方向までの角度と、結晶面から入射方向までの角度は、同じ場所に描かれた角度ではありません。どの線を基準に測ったのかを図で確かめると、波長と結晶の間隔を結ぶ計算が始まります。

角度と未知数を見分ける

電子線回折の問題には、いくつかの入口があります。面間隔と角度から波長を求める型、波長と角度から面間隔を逆算する型、角度を変えたデータから同じ面間隔に整合するかを調べる型です。いずれも、何次の強め合いか、角度が面に対する角度か入射方向からの散乱角かを最初に整理します。

明るい位置を読んでも、その位置がどの結晶面や次数に対応するかは別の条件です。条件が与えられない場合には、都合のよい整数を勝手に決められません。また、中心からの距離が示されても、検出器までの距離や角度の定義がなければ角度には直せません。図にある数字をすぐ式へ代入する前に、何を測っているかを言葉で書きましょう。

経路差が波長の整数倍になるとき

電子は粒子として検出されますが、同じ条件で多数の電子を調べると、位置によって検出されやすさが変わり、回折の模様が現れます。電子の運動量に対応する物質波を考えると、結晶の規則的な配列によって生じる波の重なりを説明できます。1個の電子が途中で古典的な小球として2つに分かれると決める必要はありません。

図1のように、間隔dの平行な結晶面を考えます。入射線と面のなす角をθとし、対称な向きに散乱される波を比べます。下の面まで進む波は、入射側でd sinθ、出射側でもd sinθだけ余分に進みます。したがって経路差は2d sinθです。ここでθは面と線の間の角であり、面の法線から測った角ではありません。

図1のように入射方向を延長した線と出射方向の間の角は2θです。経路差が波長λの整数倍なら、隣り合う面からの波の位相がそろい、強め合う方向が生じます。正の整数nを次数とすると条件は次の式です。

経路差 = 2d sinθ
2d sinθ = nλ

この式は、規則正しく並ぶ平行面からの弾性散乱を理想化した条件です。電子の入射前後で波長が変わらないとし、面の間隔と対応する次数を既知として使います。実際の模様の強さは、原子の配列や試料の厚さ、装置の分解能などにも左右されます。式を満たすことは、その位置で必ず同じ強さが測られるという意味ではありません。

0°より大きく90°以下のθに限れば、sinθは正で1以下です。よって与えられたnに対しnλが2dより大きければ、このモデルに実数の角度はありません。条件を満たさないときにsinθを1より大きい値のまま角度へ直そうとすることはできません。角度を決める前に、存在条件も点検します。

基本例題：散乱角から波長へ

面間隔dが0.20 nmの結晶に電子線を入れたところ、入射方向から測った散乱角2θが60°の位置に1次の強め合いが観測されたとします。sin30° = 0.50を用い、波長をnmで有効数字2桁で求めてください。nmは10⁻⁹ mです。数値は計算のための条件です。

図2のように、検出器の角度60°は2θです。面に対する角を30°と決めてから、1次なのでn = 1と置きます。

2θ = 60°
θ = 30°
2d sinθ = nλ
λ = 2d sinθ/1
λ = 2・0.20・0.50 nm
λ = 0.20 nm

答えは0.20 nmです。図2に戻して確認すると、隣の面からの経路差は0.20 nmであり、波長の1倍です。散乱角60°をそのままθにした場合は、図の角度関係と合わず、経路差もこの値になりません。角度を半分にする理由は公式の暗記ではなく、図の幾何にあります。

単位をmにそろえればd = 2.0×10⁻¹⁰ mで、同じ計算からλ = 2.0×10⁻¹⁰ mです。比sinθと次数nには単位がないので、両辺の長さの単位は一致します。長さをnmのまま計算しても、同じ単位同士を使う限り答えはnmで得られます。

標準例題：傾きから面間隔を求める

ある結晶について、波長を変えて1次の強め合いを測ったとします。自作の理想データとして、sinθが0.20のときλ = 0.12 nm、sinθが0.40のときλ = 0.24 nmでした。横軸をsinθ、縦軸をλとした直線の傾きからdをnmで有効数字2桁で求めてください。切片は0とします。

1次ではn = 1です。横軸の量と縦軸の量を先に決めると、式のどの係数が傾きかが見えます。

2d sinθ = λ
λ = 2d・sinθ
傾き = (0.24 - 0.12)/(0.40 - 0.20) nm
傾き = 0.60 nm
d = 0.60/2 nm
d = 0.30 nm

傾きの単位は、縦軸がnmで横軸が無次元なのでnmです。答えを元に戻すと、sinθ = 0.20では2・0.30・0.20 = 0.12 nm、もう一方では2・0.30・0.40 = 0.24 nmとなり、両方の点を再現します。横軸と縦軸を入れ替えたグラフなら傾きは逆数になるので、同じ0.60 nmを使えません。

測定点が完全に直線上に並ばないときは、各点のばらつきを見て直線を考えます。原点からのずれがあれば、角度の零点や波長の校正、面の割り当てを点検します。切片を無条件に物理的な面間隔と読むことはできません。理想式が原点を通ることと、測定した直線が必ず原点を通ることは別です。

発展例題：次数の判定と測定の設計

面間隔d = 0.30 nm、波長λ = 0.20 nmとします。角度の範囲を0° < θ ≤ 90°とし、正の整数nについて強め合いが可能な次数を求めてください。さらに、2次についてsinθの値を小数第2位まで求め、元の条件で確かめてください。これらの長さは問題内の条件です。

2d sinθ = nλ
sinθ = nλ/(2d)
sinθ = n・0.20/0.60
sinθ = n/3
0 < n/3 ≤ 1
0 < n ≤ 3

nは正の整数ですから、可能な次数は1、2、3です。2次ではsinθ = 2/3 = 0.67です。丸める前の2/3を戻すと、経路差は2・0.30・(2/3) = 0.40 nmとなり、波長0.20 nmの2倍です。3次はθ = 90°という端の幾何学的な条件であり、実際に検出器で測れるかは装置の配置に依存します。式が許すことと観測できることを区別します。

別の考え方では、経路差の最大値2d = 0.60 nmを先に計算します。波長の整数倍0.20 nm、0.40 nm、0.60 nmはこの最大値以下で、0.80 nmは超えます。この比較でも同じ次数が得られます。3次を除くために不等号を勝手に厳密な小なりにしないよう、問題の角度範囲を確認してください。

測定を設計するときは、結晶の面の向きと電子線の条件をそろえ、散乱角を変数として検出位置を記録する考え方が使えます。波長を比較する場合は、同じ面と次数に対応するピークを選ぶ必要があります。装置は学校の指導の下で扱い、ここでは高電圧や真空装置の製作・操作に立ち入りません。

角度の読みがずれると、求めたd = nλ/(2 sinθ)もずれます。λとnが固定なら、θを大きく読み過ぎるとsinθが大きくなり、dは小さく見積もられます。検出器の零点がずれた場合は、散乱角2θを修正してから半分にします。ピークに幅があるときは端の1点を厳密な角度として扱わず、読み取りの幅を考慮します。測定を重ねてばらつきを見ることと、同じ向きの零点ずれを校正することは別の対策です。

ピークが見つからない場合も直ちに波の性質を否定できません。予想した角度が装置の範囲外か、信号が背景に埋もれていないか、結晶面の向きや次数の対応が適切かを順に点検します。波長や面間隔を変えた条件を混ぜたまま平均することは、原因の切り分けを難しくします。

実験の比較では、入射方向を基準に角度を正負で記録できれば、左右のピークが対称な位置にあるかも確認できます。中心位置にずれがあると両側の読みには共通の偏りが生じるため、左右の配置を利用して中心を点検することができます。ただし、対称性が見えたことだけで面の種類や次数が一意に決まるわけではありません。試料の向きや別の測定条件と照らし合わせて対応を考えます。ピークが重なる場合は、それぞれの位置を独立に読めるとは限らず、推定した角度の幅を結果に添える必要があります。

間違いを図に戻す

図3のように、散乱角が40°のときθ = 40°とする誤答は、角度を測る2本の線を取り違えています。入射方向の延長から出射方向までが40°なら、その半分の20°が面に対する角です。2θ = 40°、θ = 20°と2行に分けると誤りに気づきやすくなります。

もう1つの誤りは、2次の式を2d sinθ = λ/2とすることです。2次は経路差が波長の2倍なので、正しくは2d sinθ = 2λです。次数を左辺へ移すとλ = 2d sinθ/2となります。どちらの式も、先に「経路差が何波長か」という言葉へ戻せば確認できます。

また、強め合いの式が成り立たない方向でも電子が絶対に検出されないと決めるのは早すぎます。有限の試料や測定の幅を持つ現実の模様は、理想化した条件式だけでは強度の細部まで決まりません。式が示すものを強め合いの方向として読むことが修正の出発点です。

練習問題

次の5問はそれぞれ独立した自作の条件です。長さはnmで表し、指定のない次数は正の整数とします。計算結果は指定の桁で答えてください。

1. d = 0.40 nm、散乱角2θ = 60°、1次のとき、sin30° = 0.50を使いλを有効数字2桁で求めてください。
2. λ = 0.18 nm、θ = 30°、1次のとき、sin30° = 0.50を使いdを有効数字2桁で求めてください。
3. d = 0.50 nm、λ = 0.25 nm、2次のとき、sinθを小数第2位まで求めてください。
4. d = 0.40 nm、λ = 0.30 nm、0° < θ ≤ 90°のとき、式が許す次数をすべて求めてください。
5. 同一の面と1次のピークについて、横軸sinθ、縦軸λのグラフの傾きが0.80 nmでした。dを有効数字2桁で求め、sinθ = 0.25でのλも有効数字2桁で答えてください。

練習の答えと確かめ

1. θ = 30°です。λ = 2・0.40・0.50 = 0.40 nmです。経路差に戻すと0.40 nmで、1波長に一致します。60°を直接代入しない点が要です。
2. d = λ/(2 sinθ) = 0.18/(2・0.50) = 0.18 nmです。2・0.18・0.50 = 0.18 nmと戻り、与えた波長に一致します。
3. sinθ = 2λ/(2d) = 2・0.25/(2・0.50) = 0.50です。2・0.50・0.50 = 0.50 nmは2・0.25 nmに等しく、2次の条件を満たします。
4. nλ ≤ 2dよりn ≤ 0.80/0.30 = 2.66…です。正の整数は1、2です。経路差0.30 nmと0.60 nmは最大0.80 nm以下ですが、3次の0.90 nmは超えます。
5. 傾き = 2dなのでd = 0.80/2 = 0.40 nmです。λ = 2・0.40・0.25 = 0.20 nmです。0.20/0.25 = 0.80 nmと傾きへ戻せます。

残しておく要点

• 結晶面に対する角がθなら、入射方向からの散乱角は2θです。
• 隣り合う面の経路差は2d sinθです。
• n次の強め合いは2d sinθ = nλで表します。
• 角度の範囲と次数を確かめ、sinθが1を超える答えを退けます。
• 測定の角度ずれとピークの対応は、求めた間隔にも影響します。

式を覚えていても数値が合わないときは、図に面、入射方向の延長、出射方向を描き、角度の両端を指せるかを確かめます。個別指導では、散乱角からθへの変換、次数を経路差に掛ける理由、答えを元の経路差へ戻す3点を順に見ます。角度の基準を描ければ、電子線回折の式は測定図とつながります。