高校物理 原子 電子の加速電圧と物質波—平方根の関係から波長と電圧を逆算する｜武蔵野個別指導塾

電圧を4倍にすると電子の波長がどう変わるか、逆算と近似条件をたどる物質波の設計。

よくあるのは、高校生が電子の波長を半分にするため、加速電圧も半分にする場面です。波長が短いほど電圧が低いのか、それとも高いのか。さらに何倍に変えるのかを、式の中の平方根まで戻って判断します。電圧は電子の速さに直接比例する量ではなく、電子が得る運動エネルギーに結びつく量です。

電圧を決める問題の入口

問われ方には、同じ電子について電圧を変えたときの波長比、目標の波長から必要な電圧を求める逆算、測定表から関係を点検する型があります。いずれもまず、電子が出発時に静止しているか、同じ電位差を通っているかを読みます。電子の質量や電荷の大きさは同じなので、比だけならそれらを数値で代入する必要はありません。

例えば目標波長が元の1/2なら、電子の運動量は2倍必要です。非相対論的な運動エネルギーは運動量の2乗に比例するため、エネルギーは4倍、静止からの加速電圧も4倍です。電圧を1/2にすると波長はむしろ長くなります。倍率を考える前に増減の向きを予想すると、逆数の取り違えに気づきやすくなります。

数値計算では単位も条件です。電圧を V 単位で入れ、電気素量を C 単位で使えば、eV はエネルギーを J 単位で表します。ここで V は電位差の記号で、エネルギーの単位 eV と形が似ています。式中では電気素量 e と電圧 V の積、文章中で単位として付く eV は電子ボルトです。

エネルギーから波長へ

図1のように、静止した電子が電位差 V で加速され、得た運動エネルギーから運動量、物質波の波長へ順に移ります。V は加速に使われる電位差の正の大きさです。電場が電子に与える仕事を考え、他のエネルギー損失を無視します。

図1では、電圧が直接波長になるのではなく、運動量を介しています。電子の電荷は負ですが、加速によって得るエネルギーは正です。電位の高低と電荷の符号を含めて仕事を求めた結果が、正の大きさ eV です。

電子の質量を mₑ、速さを v、運動量の大きさを p とします。光子に使うエネルギーの式ではなく、電子の非相対論的な運動エネルギーを使います。

 eV = mₑv²/2
 p = mₑv
 eV = p²/(2mₑ)
 p² = 2mₑeV
 p = √(2mₑeV)
 λ = h/p
 λ = h/√(2mₑeV)

p は大きさなので正の平方根を選びます。h はプランク定数、λ は波長です。電圧を正の値に限ると、λ は V の平方根に反比例します。両辺を2乗すれば λ²V = h²/(2mₑe) が一定です。波長を求める式と、電圧を逆算する式は別々に覚える必要がありません。

 λ² = h²/(2mₑeV)
 V = h²/(2mₑeλ²)

この関係には条件があります。出発時の運動エネルギーが無視できなければ、加速後のエネルギーは eV ではなく初期値 K₀ を加えた K₀+eV です。V を0に近づけて波長が無限大になるという式の結果も、静止出発と損失なしの理想条件に限ります。実際の電子には初速のばらつきなどがあり、0 V の式を測定可能な有限の波長として扱うことはできません。

また、速さが光速に比べて十分小さい場合に限り、上の運動エネルギーと運動量の関係を使います。計算で速さが光速に近づく、あるいは光速を超える結果なら、計算手順があっていても近似の適用が破綻しています。その場合はこの式から得た値を採用せず、問題の条件や扱う理論を見直します。

基本例題：波長を半分にする

静止した電子を損失なしで 25 V 加速すると波長が λ₁ でした。同じ条件で波長を λ₁/2 にするには、電圧を何 V にすればよいでしょうか。非相対論的に扱い、答えは整数の V で表します。

図2のように、目標の波長は出発値の半分です。電子の種類と初期条件をそろえているので、定数を消した比で解けます。

 λ₂/λ₁ = √(V₁/V₂)
 1/2 = √(25/V₂)
 1/4 = 25/V₂
 V₂ = 100 V

図2の 100 V を元の関係に戻すと、√(25/100) = 1/2 です。したがって指定された目標に戻ります。電圧は4倍であり、波長の倍率と電圧の倍率は逆数をとったうえで2乗する関係です。

別の見方では、波長が半分なら p は2倍です。p²/(2mₑ) は4倍になり、初速がないので電気的な仕事 eV も4倍です。この経路なら、平方根の式を暗記していなくても比を再構成できます。途中で速さも2倍になりますが、電圧が速さに比例すると考えてはいけません。

標準例題：電圧から波長を求める

静止電子を 150 V で加速します。損失を無視し、非相対論的な式を使います。計算用に h = 6.63×10⁻³⁴ J s、mₑ = 9.11×10⁻³¹ kg、e = 1.60×10⁻¹⁹ C とします。波長を m 単位で有効数字3桁に丸めて求めてください。

まず電圧と電気素量から得るエネルギーを J で表し、その値から運動量を求めます。途中では丸めずに計算します。

 K = eV
 K = 1.60×10⁻¹⁹・150 J
 K = 2.40×10⁻¹⁷ J
 p = √(2mₑK)
 p = √(2・9.11×10⁻³¹・2.40×10⁻¹⁷) kg m/s
 λ = 6.63×10⁻³⁴/√(2・9.11×10⁻³¹・2.40×10⁻¹⁷) m
 λ = 1.00×10⁻¹⁰ m

平方根の中は運動量の2乗の単位です。J = kg m²/s² なので、h/p の単位は m になります。逆に、丸め前の λ から p = h/λ を求めて p²/(2mₑ) に戻すと 2.40×10⁻¹⁷ J、電圧に戻すと 150 V です。最後の3桁への丸めによる差は生じます。

近似も確かめましょう。v² = 2K/mₑ より v は約 7.26×10⁶ m/s です。比較用に c = 3.00×10⁸ m/s とすると v/c は約 0.0242 で、光速に比べて十分小さいと判断できます。ここで c を電子の速さとして代入してはいけません。

電圧を横軸、波長を縦軸にした曲線は右下がりで、原点を通る直線ではありません。一方、横軸を V、縦軸を 1/λ² とすれば、理想条件では原点を通る直線です。傾きは 2mₑe/h² であり、軸の単位を含めて読みます。波長そのもののグラフの傾きと、この直線の傾きは同じ量ではありません。

発展例題：初速の影響と測定の見方

ある電子の初期運動エネルギーを、10 V の電位差で静止電子が得るエネルギーに等しい 10e V とします。ここで 10e V は 10 eV のエネルギーを意味します。さらに 30 V で加速したときの波長を λₐ とします。初期条件を変えずに波長を λₐ/2 にするため、追加の加速電圧を何 V にすればよいでしょうか。損失なし、非相対論的とし、整数で答えます。

追加電圧だけを4倍にする前に、初期エネルギーを含めた合計を4倍にします。電圧に換算したエネルギーの合計を使うと比較が簡単です。

 Kₐ = e(10+30) V
 Kₐ = e・40 V
 Kᵦ = 4Kₐ
 Kᵦ = e・160 V
 e(10+Vᵦ) = e・160 V
 Vᵦ = 150 V

答えは 150 V です。戻して確認すると、初期分と追加分は 10+150 = 160 V 相当で、元の 40 V 相当の4倍です。よって運動量は2倍、波長は半分です。30 V の4倍である 120 V を使うと合計は 130 V 相当で、必要な160 V 相当には届きません。初期分の扱いが結果を変えます。

別解として、波長と総エネルギーの関係 λ ∝ 1/√K を使えます。30 V と目標電圧の比を直接使えるのは K₀ = 0 のときです。最初にどの量が比例するかを明記すれば、式の使い分けを言葉で説明できます。

測定を考えるときは、電子の出発条件をそろえ、電圧だけを変えて波長に対応する量を比較します。高電圧や真空装置の操作は学校の指導の下で扱い、ここでは原理を模式的に考えます。波長の読み取りに系統的なずれがあると、1/λ² に変換した値にもずれが残ります。波長を過大に読めば 1/λ² は過小になり、直線の傾きの推定にも影響します。

電圧の表示値と電子が実際に受ける電位差が一致しない場合も、原点からのずれに見えることがあります。ただし、直線が原点を通らない原因を初速や電圧のずれのどちらかと即断することはできません。複数の条件で再測定し、読み取りの不確かさや出発条件を点検します。測定値を無理に原点へ合わせると、条件の不一致を見落とします。

測定表を読むときは、各行について Vλ² を計算する方法もあります。理想条件なら同じ定数になるため、単位をそろえたうえで値の散らばりを比べます。波長を nm で記録した行と m で記録した行を、そのまま混ぜると桁の違いが物理的な差に見えてしまいます。単位をそろえても一定値から外れる場合には、丸めの幅を確認し、測定のばらつきと条件の違いを区別します。1点が合わないだけで比例関係が必ず誤りだとも、理想式が完全に成り立つとも結論できません。

逆向きの答えを直す

図3のように、波長を1/2にしたいとき電圧を1/2にする解答を考えます。原因は、波長と電圧を同じ倍率で変わる量とみなしたことです。電圧を下げると得られるエネルギーと運動量が小さくなり、波長は長くなります。

図3の修正では、まず波長の逆比から運動量を2倍にし、次にエネルギーを4倍にしています。最後に静止出発の条件を使って電圧を4倍とします。逆数を忘れた場合、増減の向きが合いません。平方を忘れた場合、向きは合っていても倍率が2倍にとどまります。

平方根を含む式を2乗するときは両辺を2乗し、元の式へ戻して正の根を確かめます。電圧の符号に迷ったら、加速電圧 V は正の大きさと定義したことへ戻ります。電子の負電荷と、得た運動エネルギーの正負を同一視しないことも必要です。

練習：条件を読み取ってから計算する

次の5問は自作の条件です。いずれも電子の非相対論的運動を使い、損失を無視します。数値は指定された形で答えてください。

1. 静止電子の加速電圧を 16 V から 64 V に変えます。波長の新旧比を分数で求めてください。
2. 静止電子を 36 V で加速したときの波長を基準とします。その3倍の波長にする電圧を整数の V で求めてください。
3. 静止電子の電圧を 20 V から 80 V にします。運動量の新旧比と運動エネルギーの新旧比をそれぞれ整数で求めてください。
4. 初期運動エネルギーが 5 V 相当の電子を追加で 20 V 加速します。初期条件を保ったまま波長を1/3にする追加電圧を整数の V で求めてください。
5. 静止電子の測定で、電圧を 9 V から 36 V に変えたところ、波長の読取値が 8 単位から 5 単位になりました。理想式に合うか判定し、36 V で期待される読取値を同じ単位で整数で答えてください。

練習の答えと戻し算

1. 波長比は √(16/64) = 1/2 です。戻すと電圧比は (1/(1/2))² = 4 で、64/16 に一致します。
2. 波長比3の逆数を2乗し、36/3² = 4 V です。√(36/4) = 3 となり、指定の波長に戻ります。
3. エネルギー比は 80/20 = 4、運動量比は √4 = 2 です。運動量比を2乗すると4となり、電圧比に戻ります。
4. 初めの合計は 5+20 = 25 V 相当です。波長を1/3にするには合計を9倍にするので 225 V 相当、追加分は 225-5 = 220 V です。戻すと 5+220 = 225 で、25の9倍です。
5. 電圧比は4なので理想的な波長比は1/2です。期待値は 8/2 = 4 単位です。実際の5単位は理想値と一致しません。4単位を元の8単位で割ると1/2であり、電圧比4に対応します。差の原因はこの2点だけでは特定できず、読取誤差や初期条件を調べます。

判断を短く残す

• 静止出発なら eV = p²/(2mₑ) です。
• λ = h/√(2mₑeV) は非相対論的な関係です。
• 波長を1/nにする電圧は n²倍です。
• 初期エネルギーがあれば合計で比べます。
• 結果を元の条件に戻して向きと倍率を確かめます。

波長の増減は合うのに倍率を間違える場合は、運動量からエネルギーへの2乗を説明できるか確かめます。増減から逆になる場合は、波長と運動量の逆比例に戻ります。個別指導では、初速のある場合を言葉と式で整理し、最後に答えを元の波長比へ戻せるかを見ます。電圧の設計は、電子が持つエネルギーの合計から始まります。