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高校数学I 二次関数の直線との共有点—差の式の判別式から交点の個数と接する条件を求める｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学I 二次関数を掘り下げる

差の式の判別式から、交わらない場合や接点の座標まで調べる対象は直線との共有点です。

よくあるのは、高1の本人が復習中に、放物線と直線の共有点を数えようとして、元の放物線の式から判別式を作る場面です。その判別式が教えるのは、横軸との共有点の個数です。直線が横軸と異なるときは、比べる高さも変わります。放物線と直線の高さの差を式にしてから、差が0になる場所を探しましょう。

要点（結論から）

同じ x で放物線と直線の高さを等しくし、差の式を0と置きます。
差の二次方程式の D が正、0、負の順に、共有点は2個、1個、0個です。
接点の x を求めたら y を代入し、両方の式に戻します。

何を求める問題か

出方は大きく3つあります。2つの式が数で決まっているときに、共有点の座標を求める型。直線に定数が含まれるとき、その値によって共有点が2個、1個、0個となる範囲を求める型。さらに、直線の傾きも変わるときに、接する条件と接点を求める型です。いずれも最初は連立して、同じ x に対する2つの y を等しくします。

必要な道具は、二次方程式の解き方と判別式、座標への代入です。二次方程式 A x² + B x + C = 0 で A ≠ 0 のとき、判別式 D = B² − 4AC が正なら異なる2個の実数解、0なら重解、負なら実数解なしです。重解は同じ数が重なっているので、異なる x の値としては1個です。式を作る前に D を計算するのではなく、連立後の係数を見てから使います。

高さの差を0にする

放物線を y = f(x) = ax² + bx + c、直線を y = g(x) = px + q とします。a ≠ 0 で、どちらも定義域は実数全体とします。共有点では同じ x と同じ y が両方の式を満たすので、f(x) = g(x) が必要です。逆に、この等式を満たす実数 x に対して y = g(x) と置けば、両方のグラフ上の点が得られます。

したがって共有点の x 座標は、差の式を0と置いた次の方程式の実数解と過不足なく対応します。

f(x) - g(x) = ax² + (b - p)x + (c - q)
f(x) - g(x) = 0

直線を引いても二次の係数は a のままなので、a ≠ 0 なら差の式も二次式です。異なる x には異なる点が対応するため、実数解の個数がそのまま共有点の個数になります。D = 0 のとき、差の式は平方の定数倍となり、差が0になる位置は重解の位置だけです。このとき直線は放物線に接し、その共有点を接点と呼びます。

図1のように、同じ x で縦の高さを比較すると、差が0という条件は2つのグラフが同じ点を通る条件です。差を逆に g(x) − f(x) としても0となる x は同じですが、符号の混乱を防ぐため、ここでは放物線から直線を引いてそろえます。元の放物線だけを0と置くと、直線ではなく y = 0 と比べたことになります。

なお、D は個数を決めますが、座標の y までは与えません。x を求めた後、直線か放物線に代入します。計算しやすい直線に代入し、もう一方の式にも戻せば、共有点としての確認になります。

基本例題：2点の座標を求める

放物線 y = x² − 2x と直線 y = x + 4 の共有点をすべて求め、座標を整数で表してください。定義域はともに実数全体です。

2つの y を等しくし、右辺を左へ移します。

x² - 2x = x + 4
x² - 3x - 4 = 0
(x + 1)(x - 4) = 0
x = -1, 4

積が0になるのは少なくとも一方の因数が0のときです。2つの x は異なり、ともに定義域に入ります。直線にそれぞれ代入すると、

x = -1 のとき y = -1 + 4 = 3
x = 4 のとき y = 4 + 4 = 8

答えは (-1, 3)、(4, 8) です。放物線へ戻すと、x = -1 では (-1)² − 2(-1) = 3、x = 4 では 4² − 2・4 = 8 です。直線でもそれぞれ3、8になるので、両点が確かに共有点です。因数分解から実数解を2個得ており、他の共有点はありません。

図2のように、横座標が -1 と4 の2か所で高さが一致します。縦と横の縮尺は異なります。差の式の判別式を使っても D = (-3)² − 4・1・(-4) = 25 > 0 なので、2個という数が一致します。図は位置を見通す助けになりますが、点の個数や正確な座標は方程式から決めます。

標準例題：直線の高さを動かす

放物線 y = x² − 4x + 3 と直線 y = 2x + k を考えます。k は実数です。共有点が2個、1個、0個となる k の範囲をそれぞれ不等号で表し、1個のときの共有点を整数の座標で求めてください。定義域はともに実数全体です。

まず連立して差の式を0にします。

x² - 4x + 3 = 2x + k
x² - 6x + 3 - k = 0
D = (-6)² - 4・1・(3 - k)
D = 36 - 12 + 4k
D = 4(k + 6)

二次の係数は1なので、どの k でも二次方程式です。D の符号を調べると、

D > 0 のとき k > -6
D = 0 のとき k = -6
D < 0 のとき k < -6

よって k > -6 では2個、k = -6 では1個、k < -6 では0個です。境界を両側に含めず、重解の1個として別に置くことが必要です。

k = -6 を差の式に戻すと、

x² - 6x + 9 = 0
(x - 3)² = 0
x = 3

直線へ代入して y = 2・3 − 6 = 0 です。接点は (3, 0) です。放物線でも 3² − 4・3 + 3 = 0 となり、高さが一致します。差の式が (x − 3)² なので、x = 3 以外で差は正です。接点以外に共有点がないことも確認できます。

たとえば境界の両側では、k = -5 の差は (x − 3)² − 1 となり、x = 2, 4 の2点で0です。直線の高さは順に -1, 3 で、放物線の高さも同じです。一方 k = -7 の差は (x − 3)² + 1 となり、どの実数 x でも正なので共有点はありません。解が得られない側も、元の2つの高さが一致しないと確かめられます。

発展例題：傾きと切片が同時に動く

放物線 y = x² + 1 と直線 y = tx + t を考えます。t は実数で、定義域はともに実数全体です。共有点が2個、1個、0個となる t の範囲を根号を用いた不等号で表し、接するときの接点も根号を用いた座標で求めてください。

直線の傾きと切片がどちらも t なので、それぞれ差に反映させます。

x² + 1 = tx + t
x² - tx + 1 - t = 0
D = (-t)² - 4・1・(1 - t)
D = t² + 4t - 4
D = (t + 2)² - 8

二次の係数は常に1です。D = 0 となる境界は、平方を使って求めます。

(t + 2)² = 8
t + 2 = -2√2, 2√2
t = -2 - 2√2, -2 + 2√2

平方した距離が8より大きいのは、t + 2 が -2√2 より小さいか、2√2 より大きいときです。したがって、共有点の個数は次のようになります。

2個：t < -2 − 2√2、または t > -2 + 2√2
1個：t = -2 − 2√2、または t = -2 + 2√2
0個：-2 − 2√2 < t < -2 + 2√2

接点の x 座標は、差の式を平方完成すると得られます。

x² - tx + 1 - t = (x - t/2)² - D/4

D = 0 では x = t/2 です。t = -2 − 2√2 なら x = -1 − √2、t = -2 + 2√2 なら x = -1 + √2 です。放物線に代入して、接点は順に (-1 − √2, 4 + 2√2)、(-1 + √2, 4 − 2√2) となります。

これらを直線にも戻します。t = 2x なので、直線の高さは 2x² + 2x です。どちらの x も x² + 2x − 1 = 0 を満たすため、2x² + 2x = x² + 1 です。根号を含む座標でも、2つの式に正確に代入して一致を確認できます。

標準例題では D が k の一次式となり、境界は1つでした。発展例題では傾きが変わるため D に t² が現れ、境界が2つあります。直線を上へ動かすだけの図をそのまま当てはめず、得られた D の符号を調べることが分かれ目です。実際に t = -5 では D = 1、t = 0 では D = -4、t = 1 では D = 1 です。境界の両側と間で、2個、0個、2個となる分類に合います。

誤答をどこで直すか

放物線 y = x² + 1 と直線 y = x + 1 の共有点を数えるとします。「x² + 1 = 0 の判別式は -4 だから共有点は0個」という答えは誤りです。この判別式は放物線と横軸の共有点を数えていて、指定された直線の高さを使っていません。

図3のように、比較する相手を式に残すと、差は x² + 1 − (x + 1) = x² − x です。0と置けば x(x − 1) = 0 なので、x = 0, 1 です。直線から y = 1, 2、放物線からも y = 1, 2 となり、共有点は (0, 1)、(1, 2) の2個です。横軸とは交わらなくても、別の直線とは交わることがあります。

もう1つの誤りは、D = 0 で重解を2個の点として数えることです。同じ x から定まる y も1つなので、共有点は1個です。また D < 0 で実数の x がなければ、座標の代入に進んでも実数の共有点は作れません。判別式の係数が差の式から来ているか、個数を答えた後に接点の y まで必要か、順番に見直します。

練習問題

各問題の2つのグラフの定義域は実数全体です。座標は整数または分数で表し、文字の範囲は不等号で表してください。

y = x² + 2x − 3 と y = -x + 1 の共有点をすべて求めてください。
y = x² − 4x + 5 と y = 2x + k の共有点が2個、1個、0個となる実数 k の範囲をそれぞれ求め、1個のときの点も求めてください。
y = -x² + 2x + 3 と y = x + 3 の共有点をすべて求めてください。
y = 2x² + 3 と y = 2x + 2 の共有点の個数を求めてください。
y = x² + 2x + 6 と y = mx + 2 について、共有点が2個、1個、0個となる実数 m の範囲をそれぞれ求め、接するときの点も求めてください。

練習の答えと考え方

1

x² + 2x - 3 = -x + 1
x² + 3x - 4 = 0
(x + 4)(x - 1) = 0
x = -4, 1

直線から y = 5, 0 なので、答えは (-4, 5)、(1, 0) です。放物線へ戻しても、16 − 8 − 3 = 5、1 + 2 − 3 = 0 です。異なる2解を得たので、この2点で尽くされています。

2

x² - 4x + 5 = 2x + k
x² - 6x + 5 - k = 0
D = 36 - 4(5 - k)
D = 4(k + 4)

2個は k > -4、1個は k = -4、0個は k < -4 です。k = -4 のとき差は (x − 3)²、x = 3 で y = 2・3 − 4 = 2 です。接点は (3, 2) です。放物線でも 9 − 12 + 5 = 2 となります。例えば k = -3 では差が (x − 3)² − 1 で2解、k = -5 では (x − 3)² + 1 で解なしです。境界を含めた3通りがそろいます。

3

-x² + 2x + 3 = x + 3
-x² + x = 0
x(1 - x) = 0
x = 0, 1

直線から y = 3, 4 です。答えは (0, 3)、(1, 4) です。放物線でも x = 0 で3、x = 1 で -1 + 2 + 3 = 4 です。下に開く場合も、差の式の実数解を数える対応は変わりません。

4

2x² + 3 = 2x + 2
2x² - 2x + 1 = 0
D = (-2)² - 4・2・1
D = -4

D < 0 なので共有点は0個です。実際に差を平方完成すると 2(x − 1/2)² + 1/2 となり、どの実数 x でも放物線の高さは直線より大きくなります。元の2つの高さが一致しないことも確かめられます。

5

x² + 2x + 6 = mx + 2
x² + (2 - m)x + 4 = 0
D = (2 - m)² - 16
D = (m - 6)(m + 2)

2個は m < -2 または m > 6、1個は m = -2 または m = 6、0個は -2 < m < 6 です。2つの因数の符号をそれぞれの区間で比べれば、この分類が得られます。

m = -2 の差は (x + 2)² で、x = -2、直線から y = 6 です。m = 6 の差は (x − 2)² で、x = 2、直線から y = 14 です。接点は順に (-2, 6)、(2, 14) です。放物線でも 4 − 4 + 6 = 6、4 + 4 + 6 = 14 となります。m = -3, 0, 7 では D が順に9, -12, 9 となり、両側と間の個数にも一致します。