高校数学II 対数関数の最大最小—置換した区間を確かめ二次式の頂点と端点を比べる｜武蔵野個別指導塾

対数を置いた変数の区間、頂点と端点の比較、元の x への戻し方を例題でたどり、端点と頂点を比べて見極める対象は対数極値です。

よくあるのは、対数を t に置き換えて二次関数の頂点を見つけ、その t の値を最大となる x として書いてしまう場面です。計算の途中で使った文字と、問題が尋ねる文字は別です。たとえば t = 2 と求まったとき、x が 2 とは限りません。対数の定義に戻して x を求め、最大値とそのときの x を組にして答えましょう。

何を比べる問題か

対数を含む式の最大・最小では、まず x の範囲を対数の値の範囲へ移します。次に、移した範囲で二次式の頂点と端点を比べます。最後に、値を与える t を x に戻します。この3段階のどれかを飛ばすと、平方完成が正しくても答えが変わります。

出方には、底が 1 より大きい対数で頂点が区間内にある型、底が 1 より小さい対数で区間の向きが逆になる型、文字を含む頂点の位置によって場合分けする型があります。いずれも二次関数の平方完成と、指数と対数の対応を使います。閉区間の端点を含むことも確認します。

数学IIでは、対数が表す数とその計算上の性質を学び、対数関数について値の変わり方やグラフを扱います。この問題で用いるのは、その増減と二次関数の性質です。対数を微分する方法は必要ありません。

置換の前に区間を読む

底 a が正で 1 でなく、真数 x が正のとき、t = logₐ x は x = aのt乗 と同じ意味です。a > 1 なら logₐ x は x の増加とともに増え、0 < a < 1 なら減ります。したがって、正の数 L、U に対して L ≤ x ≤ U のとき、端点をそれぞれ対数に入れ、その大小を増減で決めます。

例えば底が 2 で 1 ≤ x ≤ 8 なら 0 ≤ t ≤ 3 です。一方、底が 1/2 で同じ区間なら -3 ≤ t ≤ 0 です。左端を代入した結果が常に t の下端になるわけではありません。図1のように、減少する底では両端の対応が逆になります。

図1では x の両端 1、8 が、それぞれ t の 0、-3 に対応します。等号はどちらも残ります。置換後の範囲を -3 ≤ t ≤ 0 と書いてから二次式を調べます。

二次式を y = A(t-p)²+q とします。A > 0 なら頂点が最小の候補で、A < 0 なら頂点が最大の候補です。ただし p が区間に入る場合に限ります。頂点が区間外なら、その点には到達できません。もう一方の最大または最小は、区間の両端の値を比較して決めます。頂点から両端までの距離が等しい場合には、両端で同じ値を取ります。

対数関数は正の x と実数 t を1対1に対応させます。よって、移した閉区間のどの t にも、元の区間の x が対応します。値だけでなく、その値を取る位置まで戻せることが重要です。真数が 0 以下になる端点が指定されている場合は、そもそもその端点で式が定義されません。ここで扱うのは正の端点を持つ閉区間です。

区間の両端と頂点の位置には、頂点が左外、区間内、右外の3通りがあります。上に開く放物線では、頂点が左外なら区間内で右へ進むほど値が大きく、頂点が右外なら右へ進むほど値が小さくなります。頂点が端点と一致する場合も、頂点は区間に含まれます。最大側は左右の端点の値を計算して比べれば、どの場合にも対応できます。

一方、下に開く放物線では頂点が区間内なら最大の候補です。最小側は両端を比べます。平方完成後の係数が負であることを見落とすと、頂点の最大と最小を逆にしてしまいます。式の形、頂点の位置、端点の値という順に書き出すと、それぞれの判断を点検できます。

基本例題：頂点から x へ戻す

問題：1 ≤ x ≤ 8 で y = (log₂ x)² − 4 log₂ x + 3 を考えます。yが最も大きくなる場合と最も小さくなる場合について、yとxの組を示してください。どちらの組も整数で記します。

底 2 は正で 1 ではなく、指定区間の x は正です。t = log₂ x と置くと、底 2 の対数は増加するので、両端を移して 0 ≤ t ≤ 3 です。式を平方完成します。

y = t² - 4t + 3
  = (t - 2)² - 1

頂点の t = 2 は区間内です。平方は 0 以上なので、最小値は -1 です。そのとき 2 = log₂ x から x = 2² = 4 です。最大値は端点を比べます。

t = 0 のとき y = 3
t = 3 のとき y = 0

したがって最大値は 3、そのとき x = 2⁰ = 1 です。最小値は -1、そのとき x = 4 です。図2のように、頂点は区間に含まれ、頂点から遠い左端で最大になります。

図2の3点は、左から (0, 3)、(2, -1)、(3, 0) です。元の式でも x = 1 なら対数は 0 で y = 3、x = 4 なら対数は 2 で y = -1 です。いずれも元の範囲に入ります。x = 8 の値が 0 であることも合わせて確認でき、端点の比較が元の問いと対応します。

標準例題：減少する対数

問題：y = (log₁/₂ x)² − 2 log₁/₂ x − 2 を、1/8 ≤ x ≤ 4 の区間で調べます。最大となるyと最小となるyを整数で示し、各場合のxを整数か分数で添えてください。ここで log₁/₂ x は底 1/2 の対数です。

底 1/2 は正で 1 ではなく、区間の各 x は正です。t = log₁/₂ x とします。底が 1 未満なので、x が増えると t は減ります。両端の対応は次の通りです。

x = 1/8 のとき t = 3
x = 4 のとき t = -2
-2 ≤ t ≤ 3

平方完成すると次の形です。

y = t² - 2t - 2
  = (t - 1)² - 3

頂点 t = 1 は区間内なので最小値は -3 です。x = (1/2)¹ = 1/2 で取ります。最大値は両端で比べます。

t = -2 のとき y = 6
t = 3 のとき y = 1

最大値は 6 で、そのとき x = (1/2)⁻² = 4 です。元の式に x = 4 を入れると対数は -2、x = 1/2 を入れると 1 です。値はそれぞれ 6、-3 となり、指定区間にも入ります。

端点の大小を逆に書かずに済む別の見方は、x の両端と t の対応を先に縦に並べることです。そこから小さい t を左に置き直します。対数の底の増減と、二次式の増減は別々に考えます。底が小さいことを理由に、平方完成した二次式の最大と最小まで入れ替える必要はありません。

発展例題：頂点が動く場合

問題：2 ≤ x ≤ 16、実数 p に対し、y = (log₂ x − p)² の最大値と、それを取る x を p の範囲ごとに求めてください。最大値は p の式、x は整数で答えます。

底と真数の条件を満たすので、t = log₂ x と置きます。増加する対数ですから 1 ≤ t ≤ 4 です。二次式 y = (t-p)² の値は、t と p の距離の2乗です。閉区間で p から最も遠い点は端点にあります。そこで端点の値を比較します。

t = 1 の値は (1-p)²
t = 4 の値は (4-p)²
(1-p)² - (4-p)² = 6p - 15

差が負なら右端、正なら左端、0 なら両端です。よって次のように分かれます。

p < 5/2：最大値 (4-p)²、x = 16
p = 5/2：最大値 9/4、x = 2 または 16
p > 5/2：最大値 (1-p)²、x = 2

端点の t = 1、4 はそれぞれ x = 2、16 に戻ります。境界 p = 5/2 では両端の距離がともに 3/2 なので、元の式の値は両方 9/4 です。等号の場合を一方に押し込むと、もう一方の x が抜けます。

別の考え方では、1 と 4 の中点 5/2 を境目にします。p が中点より左なら 4 が遠く、右なら 1 が遠くなります。p が区間の外にあってもこの比較は成り立ちます。最小値を問われた場合は別に頂点が区間内かを調べる必要があり、最大値の場合分けをそのまま転用できません。

端点比較の差を計算する方法は、頂点が文字を含むときに特に便利です。差が正か負かで大きい方を決め、差が 0 となる境界も別に調べます。境界では2つの端点がともに答えになるので、値が同じだからといって片方を省きません。頂点がどこにあるかという図形的な見方と、端点の値を引く計算が同じ結論になることも確かめられます。

誤答を直す：t と x は別の数

基本例題で「最小値 -1、そのとき x = 2」と答えたとします。平方完成から t = 2 と出したところまでは正しいのですが、置換した文字を元の文字と取り違えています。x = 2 を元の式に入れると log₂ 2 = 1 で、y = 0 です。-1 にはなりません。

図3のように、t = 2 の後に対数の定義を1行挟みます。2 = log₂ x なら x = 2² = 4 です。図3の対応を使って元の式へ戻せば、log₂ 4 = 2 で最小値 -1 になると確かめられます。

もう一つの誤りは、頂点を必ず採用することです。頂点の t が指定区間の外なら、その値を取る x は元の範囲の外です。区間と頂点の位置を数直線に置き、端点での値とあわせて確認します。端点が2つとも同じ値になる場合も、対応する x を2つ書きます。

区間を閉区間にする理由にも目を向けます。端点を含めば、端点で得た値は実際に取れる値です。例えば端点を含まない条件に変えた場合、端点の値に近づけてもその値自体は取れないことがあります。端点に等号があるかを問題文で確かめてから、端点を候補に入れてください。

練習問題

各問の区間でyが取り得る値を調べ、最大と最小を決めましょう。答えには、その値に対応するxも書き添えます。yとxの表記には、いずれも整数か分数を用いてください。対数の底はいずれも正で 1 ではなく、指定区間の x は正です。

1. 1 ≤ x ≤ 16 で y = (log₂ x)² − 6 log₂ x + 8。
2. 1/9 ≤ x ≤ 3 で y = -(log₃ x)² + 2 log₃ x + 1。
3. 1/4 ≤ x ≤ 8 で y = (log₁/₂ x)² + 4 log₁/₂ x + 1。底は 1/2 です。
4. 3 ≤ x ≤ 27 で y = (log₃ x)² − 10 log₃ x + 4。
5. 1/16 ≤ x ≤ 4 で y = -(log₂ x)² − 2 log₂ x + 5。

練習の答えと道筋

1. t = log₂ x とすると 0 ≤ t ≤ 4 です。

y = t² - 6t + 8
  = (t - 3)² - 1

頂点は範囲内なので最小値は -1、t = 3 より x = 8 です。端点の値は t = 0 で 8、t = 4 で 0 です。最大値は 8、x = 1 です。元の式で log₂ 8 = 3、log₂ 1 = 0 として両値を確認できます。

2. t = log₃ x とすると -2 ≤ t ≤ 1 です。

y = -t² + 2t + 1
  = -(t - 1)² + 2

頂点 t = 1 は右端なので最大値は 2、x = 3 です。左端 t = -2 で最小値 -7、x = 1/9 です。元の式で対数値をそれぞれ 1、-2 に戻すと、値と区間が一致します。

3. t = log₁/₂ x とすると、底が 1 未満なので -3 ≤ t ≤ 2 です。

y = t² + 4t + 1
  = (t + 2)² - 3

頂点 t = -2 で最小値 -3、x = 4 です。端点では t = -3 で -2、t = 2 で 13 なので最大値は 13、x = 1/4 です。元の式に両方の x を代入すると対数は -2、2 です。底が減少するため t の右端が x の左端に対応します。

4. t = log₃ x とすると 1 ≤ t ≤ 3 です。

y = t² - 10t + 4
  = (t - 5)² - 21

頂点 5 は区間の右外にあります。区間内では t が大きいほど 5 からの距離が小さくなります。t = 1 で最大値 -5、x = 3、t = 3 で最小値 -17、x = 27 です。元の対数値は 1、3 なので、それぞれ元の式にも一致します。

5. t = log₂ x とすると -4 ≤ t ≤ 2 です。

y = -t² - 2t + 5
  = -(t + 1)² + 6

頂点 t = -1 で最大値 6、x = 1/2 です。両端は頂点からの距離がともに 3 なので最小値は -3、x = 1/16 または 4 です。元の式では両端の対数が -4、2 となり、どちらも -3 です。最小となる x が2つあることまで答えます。

要点

対数の底と真数を確かめ、x の区間を t の区間へ移します。 底が 1 未満なら端点の順序が逆です。両方の対応を書き、小さい方から順に並べ直します。 頂点が区間に入るかを調べ、必要な端点の値を比べます。 得られた t は指数の式で x に戻し、値と一緒に答えます。

どこで止まったかを見分ける

端点の t を逆順に並べた場合は、底の増減を自分の言葉で説明できるかを確かめます。頂点を無条件に使った場合は、区間外の点がなぜ候補にならないかを数直線で確認します。個別指導では、答えの x を元の式に入れ、求めた値が再現されるところまで式を追います。置換の往復ができれば、値と場所を取り違えずに極値を示せます。