高校数学I 絶対値—数直線上の距離と符号から場合分けを組み立てる｜武蔵野個別指導塾

中身が負の区間での符号の反転や距離を使った方程式、不等式を、境界を手がかりに扱うのが絶対値です。

よくあるのは、定期テストの復習で絶対値の中が負になる区間でも符号を変えずに外してしまう場面です。縦線を消す前に中身の符号を決めれば、どの式に直すかを選べます。数直線上の距離として見れば、答えの位置も確かめられます。

距離と符号が問われる場面

絶対値を距離として読み、中身が一次式の方程式や不等式を符号で分けて考えます。

絶対値の問題には、まず数や文字を含む式の絶対値を、条件に応じて縦線のない式に直す型があります。次に、絶対値が一定の数に等しい方程式を解く型があります。さらに、距離が一定の数より小さい、または大きいという不等式を、数直線上の範囲に直す型があります。

例えば中身が x − 3 なら、x が 3 より小さいときは中身が負です。この範囲で |x − 3| を x − 3 とすると、絶対値が負になる値が出てしまいます。式を外す操作は単に記号を消すことではなく、結果が距離に対応するように符号を選ぶことです。

方程式では候補を元の式に戻し、不等式では境界を含むかどうかまで確かめます。等号のある不等式とない不等式は、端の点の扱いが異なります。数直線の線分を描くときも、この違いを残します。

0からの距離として読む

実数 a の絶対値 |a| は、数直線上で 0 を表す点から a を表す点までの距離です。距離は負にならないため、a が正なら |a| = a、a が負なら |a| = -a です。a が 0 のときも絶対値は 0 です。負の数にマイナスを付けると正になることに注意します。

図1のように、-4 と 4 は 0 の反対側にありますが、どちらも 0 からの距離は 4 です。位置を表す数と、距離を表す絶対値を区別しましょう。

図1では、左右の線分が等しい長さです。一般に |x − a| は、x と a を表す2点の間の距離です。x が a 以上なら距離は x − a、x が a 未満なら距離は a − x になります。等しい場合は距離が 0 なので、どちらの式に入れても同じ値です。

中身が一次式でも手順は同じです。例えば |2x + 6| は、2x + 6 = 0 となる x = -3 を境にします。x が -3 以上なら 2x + 6、-3 未満なら -(2x + 6) = -2x − 6 です。括弧全体に負号を掛けるため、両方の項の符号が変わります。

距離の見方には便利な条件があります。正の数 r に対し、|x − a| = r なら a から左右に r 離れた2点です。|x − a| < r なら、その2点の間で端を含みません。|x − a| > r なら、その2点より外側です。r = 0 なら等式の解は x = a のみ、距離が 0 未満となる点はなく、0 より大きい点は a 以外です。右辺が負なら距離が負にならないことから、等式や「小さい」という条件に合う点はありません。

基本例題：一定の距離にある点

数直線上で、点 x は 2 を表す点からの距離が 5 です。x の値を整数で求め、元の距離に戻して確かめてください。

距離の条件を式に直すと |x − 2| = 5 です。中身が 0 になる x = 2 で分ける方法を使います。図2のように、2 から左右に 5 ずつ進んだ位置が候補です。

まず x >= 2 の場合、中身 x − 2 は 0 以上です。このため縦線を外すと、

x − 2 = 5

x = 7

となります。7 は x >= 2 を満たします。次に x < 2 の場合、中身 x − 2 は負です。中身全体に負号を付けるので、

-(x − 2) = 5

-x + 2 = 5

-x = 3

x = -3

となります。-3 は x < 2 を満たします。したがって答えは x = -3, 7 です。図2の左右の点はそれぞれこの2つの解を表します。

元の場面に戻すと、-3 と 2 の間の距離は 2 − (-3) = 5、7 と 2 の間の距離は 7 − 2 = 5 です。いずれも与えられた距離に戻ります。式でも |-3 − 2| = |-5| = 5、|7 − 2| = |5| = 5 です。

場合分けで得た値がその場合の条件を満たさなければ、候補から除きます。境界 x = 2 は最初の側に含めましたが、そこでは距離が 0 なのでこの問題の解ではありません。どちらの側に等号を付けるかを決めたうえで、抜けや重複なく範囲を覆うことが大切です。

少し難しい例題：右辺の符号も調べる

実数 t について、方程式 |x − 1| = t − 2 の実数解を、t の値によって分類してください。解がある場合は x を t の式で表してください。

左辺は距離なので 0 以上です。まず右辺 t − 2 が負、0、正のどれかを分けます。右辺が正であることを確かめずに左右2点と決めると、解のない場合や2点が重なる場合を落とします。

• t < 2 のとき、t − 2 < 0 です。0 以上の数は負の数と等しくならないので、解はありません。
• t = 2 のとき、右辺は 0 です。1 からの距離が 0 の点は x = 1 です。
• t > 2 のとき、右辺は正です。1 から左右に t − 2 離れるので、x = 1 − (t − 2) = 3 − t、または x = 1 + (t − 2) = t − 1 です。

最後の場合、t > 2 だから 3 − t < 1、t − 1 > 1 です。左右の解は異なり、それぞれ中身を計算すると |(3 − t) − 1| = |2 − t| = t − 2、|(t − 1) − 1| = |t − 2| = t − 2 です。どちらも点 1 から指定された距離にあります。

境界 t = 2 では2つの式がともに 1 になります。式を2つ書いたとしても、異なる2個の解があるとは言えません。t < 2 に式を当てはめた場合は、例えば t = 0 で右辺が -2 となり、元の距離の条件を満たせません。解がない場合も、条件を確かめた結果として答えに書きます。

負の区間で起こる誤り

|x − 3| を外すとき、x < 3 でも x − 3 と書くのは誤りです。例えば x = 1 なら中身は -2 ですが、距離は |-2| = 2 です。そのまま外した -2 は距離として負になってしまいます。

図3のように、境界 3 の左では 3 − x、右では x − 3 とします。原因は、縦線の中身を一つの数と見ず、記号だけを消していることです。修正するときは、まず x − 3 の符号を書き、その次に負なら括弧ごと反対の符号にします。

図3の境界では両方の式が 0 です。左の式は -(x − 3) = -x + 3 であり、-x − 3 ではありません。括弧を外した後に x = 1 を戻し、3 − 1 = 2 と距離が一致するか確認すると、定数項の符号の誤りも見つけやすくなります。

不等式でも同じ点検が必要です。|x − 3| < 2 なら、3 からの距離が 2 未満なので 1 < x < 5 です。端の 1 と 5 では距離がちょうど 2 となるため含めません。反対に |x − 3| >= 2 なら、端を含む外側の x <= 1 または x >= 5 です。「または」を使うのは、左右のどちらかにあれば条件を満たすからです。

不等式を場合分けで確かめる

距離の図から答えを予想した後、符号による場合分けでも同じ範囲が出るか確かめられます。ここでは |x − 4| < 3 を考えます。中身が 0 になる境界は x = 4 です。右辺は正なので、4 からの距離が 3 未満の点が存在します。

x >= 4 では |x − 4| = x − 4 です。x − 4 < 3 から x < 7 となり、場合の条件と合わせて 4 <= x < 7 です。x < 4 では |x − 4| = -(x − 4) です。-x + 4 < 3、-x < -1 と進み、負の数 -1 で両辺を割ると不等号の向きが変わって x > 1 です。場合の条件と合わせると 1 < x < 4 です。

2つの範囲を合わせると 1 < x < 7 です。4 は前者に含まれ、実際に代入しても |4 − 4| = 0 < 3 です。境界を両側から外してしまうと、本来条件に合う 4 が抜けます。一方、外側の区間では、x <= 1 なら |x − 4| = 4 − x >= 3、x >= 7 なら |x − 4| = x − 4 >= 3 です。端の 1 と 7 では距離がちょうど 3 となり、指定された「未満」を満たしません。

同じ境界で「以上」を考えるなら |x − 4| >= 3 です。4 以上の側では x − 4 >= 3 より x >= 7、4 未満の側では -x + 4 >= 3 より x <= 1 です。答えは x <= 1 または x >= 7 で、2つの端も含みます。例えば x = 4 は距離 0 なので除かれ、x = 0 は距離 4 なので含まれます。数直線の左右に分かれる範囲を、1つの連続した範囲として書かないようにします。

右辺が 0 以下のときには、距離の性質から先に判断できます。|x − 4| <= 0 は距離が 0 の点 x = 4 に限られますが、|x − 4| < 0 に合う点はありません。また |x − 4| >= -2 はどの実数でも成り立ち、|x − 4| = -2 は成り立ちません。境界の計算を始める前に右辺を見れば、存在しない点を探す手間を避けられます。

文字を外す順番

|3 − 2x| のように x の係数が負の式では、境界の左右と中身の正負が逆になる点に注意します。3 − 2x = 0 を解くと x = 3/2 です。x < 3/2 なら 3 − 2x > 0 なので、絶対値は 3 − 2x のままです。x > 3/2 なら中身が負なので、絶対値は -(3 − 2x) = 2x − 3 です。境界ではどちらも 0 です。

例えば x = 0 では中身が 3 なので、左側の式は 3 を返します。x = 2 では中身が -1 なので、右側の式は 1 を返します。この2点は符号の取り違えを見つけるための点検です。左右の全範囲で式が成り立つ理由は、境界との大小から中身の符号を決めたことにあります。

中身が常に負とは限らない式で、x の係数だけを見て符号を決めることはできません。まず中身全体を 0 と比べ、場合の条件を式の横に書きます。求めた答えがその条件の外なら採用せず、最後に元の距離や式で確認します。

練習：条件を先に読み取る

次の問題では、数直線の座標に単位は付けません。答えは整数または分数で正確に表し、範囲は不等号で示してください。

1. 点 x が -2 を表す点から 4 離れています。x の値を求めてください。
2. 点 x と 6 を表す点との距離が 3 以下です。x の範囲を求めてください。
3. |2x − 1| = 4 を解いてください。
4. |x + 5| < -1 を満たす実数 x を求めてください。

解答と確かめ

1. 条件は |x + 2| = 4 です。-2 から左右に 4 進むと、x = -6, 2 です。元の場面では -6 から -2 までが 4、2 から -2 までが 4 なので、どちらも指定された距離に戻ります。式に戻しても |-6 + 2| = 4、|2 + 2| = 4 です。

2. 条件は |x − 6| <= 3 です。6 から左に 3 の点は 3、右に 3 の点は 9 なので、答えは 3 <= x <= 9 です。端の点では距離が 3 となり「以下」に含まれます。例えば真ん中の 6 では距離 0、外側の 2 と 10 では距離 4 です。左外側、間、右外側の各区間で、距離が条件に合うかを確かめられます。

3. 中身が 0 以上なら 2x − 1 = 4 で、2x = 5、x = 5/2 です。この値は x >= 1/2 を満たします。中身が負なら -(2x − 1) = 4 で、-2x + 1 = 4、-2x = 3、x = -3/2 です。こちらは x < 1/2 を満たします。答えは x = -3/2, 5/2 です。元の式へ戻すと、中身は順に -4、4 であり、どちらの絶対値も 4 です。これは中身を表す点が 0 から 4 離れるという条件にも一致します。

4. 絶対値は 0 以上なので、-1 より小さくなることはありません。答えは解なしです。例えば中身が 0 になる x = -5 でも左辺は 0 で、0 < -1 は成り立ちません。ほかの x でも距離は負にならず、条件に合う点はありません。

問題2では「以下」、問題4では負の数と比べています。数直線に線を引く前に、等号があるか、右辺が距離として可能な値かを読むと、端点の誤りや存在しない範囲を描く誤りを防げます。

手元に残す要点

絶対値は 0 からの距離で、負になりません。
中身が負のときは、式全体の符号を変えます。
距離の等式は右辺が負・0・正の場合に分けます。
不等式は境界の点と内側・外側を確認します。

どこで止まったかを見る

解答が合わないときは、最初に境界を求めた行と、その次に縦線を外した行を見比べます。境界が合っていても、負の区間で括弧の中の定数項を変えていなければ、符号を変える対象が式全体だと説明し直せます。境界そのものがずれていれば、中身を 0 と置くところから確かめます。

個別指導で確かめるなら、生徒自身に数直線上の点を1つ選んでもらい、その点で中身と距離を別々に計算してもらいます。次に端点を含む不等式と含まない不等式を比べ、端を代入して言葉の条件に合うかを説明してもらいます。符号の選択と距離の意味がつながれば、初めて見る数でも場合分けの根拠を示せます。