高校数学I 実数と平方根—数の分類から根号の計算と有理化を確かめる｜武蔵野個別指導塾

循環小数の分数表示や根号の和、有理化の手順をたどると、計算の土台となるのが実数と平方根です。

定期テストの復習で、高校生が平方根の和を一つの根号に入れる場面はよくあります。√2 + √3 を √5 と書くと、足し算を一度に処理できたように見えます。しかし、それぞれを二乗した結果を比べると同じ数ではありません。根号の中を操作できる場面と、外側の項をまとめる場面を区別することから始めましょう。

数を見分け、式を整える問題

ここでは有理数と無理数の分類、有限小数と循環小数、平方根の四則計算と有理化を扱います。絶対値を含む方程式や不等式は扱いません。

出方の型は大きく3つあります。1つ目は、分数や小数、根号を含む数を有理数と無理数に分ける問題です。見た目に根号があっても、√49 は 7 なので整数です。小数で書かれた数も、終わるか同じ並びが繰り返されるかを読みます。

2つ目は、根号の中の平方数を外に出してから、同じ根号を持つ項をまとめる問題です。積と商の性質を使う段階と、項の足し引きをする段階を分けると、操作の理由を追いやすくなります。括弧の前の負号も各項に及ぶので、展開した後の符号を点検します。

3つ目は、分母の根号をなくす有理化です。分母が1項ならその根号を掛け、和や差なら符号を反対にした式を掛けます。分母を変えた分だけ分子にも同じものを掛けること、掛ける式が0でないことが条件です。答えを書いた後は元の式との差を調べ、形を変えても値が保たれているか確かめます。

実数の仲間と平方根の意味

整数の比 p/q で表せる数を有理数といいます。ここで p と q は整数で、q は0ではありません。整数は分母を1にすれば比で表せるので有理数です。有限小数も、例えば 0.125 = 125/1000 のように整数の比に直せます。一方、整数の比で表せない実数が無理数です。実数には有理数と無理数があり、数直線上の点に対応します。

循環小数は、ある桁から同じ数字の並びが繰り返される小数です。循環する部分を括弧で示すと、0.(27) は 0.272727… を意味します。x = 0.(27) とおくと、100x = 27.(27) です。小数部分がそろうので、引き算により 99x = 27、したがって x = 3/11 です。循環が小数の先頭から始まらない場合も、繰り返し部分をそろえて引けば整数の比に直せます。

図1のように、整数は有理数の中に入り、無理数は有理数とは重ならない実数です。有限小数と循環小数はいずれも有理数の表し方ですが、同じ有理数に複数の表し方があることに注意します。例えば 1/2 と 0.5 は同じ数です。

図1の分類で大切なのは見た目でなく値です。√36 は根号が付いていても 6 なので有理数です。√2 は整数の比で表せないため無理数です。ただし無理数を含む式の値が必ず無理数になるとは限りません。√2 − √2 は 0 で、有理数になります。計算できるところまで整理してから分類します。

0以上の数 a に対し、√a は二乗して a になる0以上の数を表します。したがって √9 = 3 であり、-3 ではありません。二乗して9になる数をすべて求める問いなら 3 と -3 の両方です。記号 √9 が表す値と、二乗が9になる数の集まりは区別します。

根号の積は、a、b が0以上なら √a × √b = √(ab) です。商も b > 0 のとき √a / √b = √(a/b) とできます。どちらも中の数が条件を満たすことが前提です。足し算には同じ規則はなく、√a + √b を √(a+b) とすることはできません。例えば √1 + √4 = 3 ですが、√5 は3ではありません。

循環小数を分数に直すとき、繰り返しが始まる前の桁も含めて考えます。例えば y = 0.2(3) とします。10y = 2.333…、100y = 23.333… なので、差を取ると 90y = 21 です。したがって y = 7/30 です。元に戻すと 7/30 = 6/30 + 1/30 で、6/30 は 0.2、1/30 は 0.0333… です。合わせて 0.2333… と、元の小数に一致します。繰り返し部分の長さだけでなく、その手前の桁数も見て、引き算の位置を決めます。

有理数かどうかを調べる問題では、足し算や掛け算の結果まで実際に整理する必要があります。例えば √3 × √3 = 3 は有理数ですが、√3 + 2 は無理数です。後者が有理数なら、そこから有理数の2を引いた √3 も有理数となり、√3 が無理数であることに反します。根号を含む部分が消えるかどうかを確かめてから判断すると、式全体の分類を誤りにくくなります。

基本例題：同じ根号を集める

次の式を計算し、根号の中に1以外の平方数の因数が残らない形で答えてください。

A = 2√12 + √27 − √3

まず各項の根号の中にある平方数を探します。12 = 4 × 3、27 = 9 × 3 なので、積の性質から次のように変形します。

√12 = √(4 × 3) = 2√3

√27 = √(9 × 3) = 3√3

これを元の式に戻すと、外にあった係数の2も掛かります。

A = 2 × 2√3 + 3√3 − √3

= 4√3 + 3√3 − √3

= (4 + 3 − 1)√3

= 6√3

図2のように、最初は異なる根号に見える項も、平方数を外に出すと同じ √3 の項になります。最後の引き算では、何も書かれていない係数が1であることも使っています。根号の中の3を足したり引いたりしたわけではありません。

答えを元の式に戻して確かめます。√12 = 2√3、√27 = 3√3 をそれぞれ二乗すると12、27になり、いずれも0以上なので元の平方根と一致します。元の各項は順に 4√3、3√3、-√3 です。その和は確かに 6√3 です。近似値を使わず、各項と答えが同じ値であることを確認できました。

平方数を探すときは、最初に最大の平方数を見つけなくても構いません。例えば √12 = 2√3 とする前に 12 を 2 × 6 と分けても、両方に平方数の因数が残らないか見直す必要があります。√3 の中には1以外の平方数の因数がないので、そこで整理を終えます。

積と商が混ざる計算では、各変形に使える条件も確認します。例えば √6 × √15 / √10 は、分母が正なので √(90/10) = √9 = 3 です。別の順番で √6 × √15 = 3√10 としても、√10 で割れば3になります。このように異なる順序で整理して同じ結果に着くか調べると、積の中に余分な項を加えた誤りに気づけます。

平方根の記号の前の係数が負の場合、平方根そのものが負という意味ではありません。-2√3 は、正の数 √3 を2倍して符号を反対にした数です。二乗すると (-2√3)² = 12 ですが、√12 は正の 2√3 です。二乗した値が同じという確認だけでは符号を決められないため、元の式の符号も合わせて確認します。

少し進んだ例題：分母が和のとき

次の値を、分母に根号を含まない形で答えてください。

B = 3/(√5 + 2)

分母が和なので √5 だけを掛けても、分母に 2√5 が残ります。そこで符号を反対にした √5 − 2 を分子と分母に掛けます。この式は0ではありません。もし0なら √5 = 2 となり、二乗して 5 = 4 となるからです。

B = 3(√5 − 2)/{(√5 + 2)(√5 − 2)}

= 3(√5 − 2)/(5 − 4)

= 3√5 − 6

積 (a+b)(a-b) = a²-b² を使うと、途中の項が打ち消し合います。分母が単独の √5 なら √5 を掛ければよいのに対し、和や差では相手の項も考えます。分母に掛けたものを分子にも掛けるのは、値が1の分数を掛けているからです。

元の条件に戻して、得られた数に元の分母を掛けます。

(3√5 − 6)(√5 + 2) = 15 + 6√5 − 6√5 − 12 = 3

確かに元の分子に戻ります。分母 √5 + 2 は正で0ではないため、この等式から元の商と一致すると確認できます。符号の違う式を使っても分母が0になる場合は、その式で割ること自体ができません。例えば √4 − 2 は0なので、分母に置かれた時点で実数の値を持たないと判断します。

間違いを見つけて直す

次の誤答を見てください。

√8 + √2 = √10

原因は、積についての規則を和にも使ったことです。図3のように、√8 は 2√2 なので、正しくは 2√2 + √2 = 3√2 です。両方とも正の数であり、二乗すると誤答は10、正しい式は18です。二乗の結果が違うので、2つの値は一致しません。

図3の訂正では、先に根号の中を整理してから係数を足しました。異なる根号が残るときは、足し算の形のままにします。例えば √2 + √7 は、どちらの中にも外に出せる平方数がなく、同じ根号でもありません。無理に1つの根号へ押し込めず、そのまま答えます。

別の間違いとして、1/(√3 + 1) の分母に √3 − 1 を掛けながら、分子を1のままにすることがあります。分母だけを変えると分数の値が変わります。分子にも同じ式を掛ければ、分母は3 − 1 = 2となり、(√3 − 1)/2 です。元の分母を掛けて1に戻ることも確認できます。

練習：問題をまとめて解く

答えはすべて正確な値で表し、根号の中に1以外の平方数の因数を残さず、分母に根号を残さないでください。分類を問う場合は有理数か無理数かを答えます。

1. 0.1(6) を既約分数で表してください。括弧内の6が繰り返されるものとします。
2. √50 − 2√8 + √18 を計算してください。
3. 4/(√7 − 1) を有理化してください。
4. √81、√12/√3、√5 + 1 をそれぞれ分類してください。

練習の解答と確かめ

1. x = 0.1666… とします。10x = 1.666…、100x = 16.666… なので、引き算から 90x = 15 です。よって x = 15/90 = 1/6 です。元の表示に戻すと、1/6 = 0.1 + 1/15 であり、1/15 = 0.0666… なので 0.1666… となります。循環する部分をそろえてから引くことが要点です。

2. √50 = 5√2、√8 = 2√2、√18 = 3√2 です。したがって

√50 − 2√8 + √18 = 5√2 − 4√2 + 3√2 = 4√2

です。各変形後の正の数を二乗すると50、8、18に戻ります。元の係数も含めた和は (5 − 4 + 3)√2 となり、答えと一致します。負号の後ろの2を √8 の外に出た2にも掛ける点に気をつけます。

3. √7 + 1 は正なので、分子と分母に掛けられます。

4/(√7 − 1) = 4(√7 + 1)/(7 − 1)

= 4(√7 + 1)/6 = 2(√7 + 1)/3

元の分母は0ではありません。答えに √7 − 1 を掛けると 2(7 − 1)/3 = 4 となり、元の分子に戻ります。分母の符号と、掛ける式の符号が逆になっていることも見直します。

4. √81 = 9 なので有理数です。√12/√3 = √4 = 2 も有理数です。√5 + 1 は無理数です。もしこれが有理数なら、整数1を引いた √5 も有理数になりますが、√5 は無理数なので矛盾します。元の式で確かめると、9² = 81、2√3 = √12 です。最後の数も1を引けば √5 に戻り、分類の根拠を元の式に結びつけられます。

計算を見直すときは、式全体を一度に読み直すより、等号ごとに左右を比べます。分母を払った行では分子にも同じ操作があるか、根号を整理した行では外に出した数を二乗して元の因数に戻るかを確かめます。途中で値が変わった最初の行を探せば、最後の答えだけを眺めるより修正する場所が明確になります。

要点を手元に残す

有理数は整数の比で表せ、有限小数と循環小数は有理数です。
根号の積と商には条件があり、和には同じ規則を使えません。
平方数を外に出し、同じ根号の係数をまとめます。
有理化では分子と分母に同じ0でない式を掛けます。

どこで止まったかを見分ける

数の分類で止まるなら、記号の形だけを見ていないかを確かめます。根号を計算した値が整数になる例を本人が説明できれば、表示と値の違いをつかめています。循環小数では、引き算の前に繰り返し部分が縦にそろっているかを見ると、何倍するかを選び直せます。

根号の計算で止まるなら、各項を別々に整理し、係数と根号を指で分けて読んでみます。有理化で止まるなら、掛ける式が0でないか、分子にも掛けたかを順に確かめます。個別指導の場では、答えを先に直すより、本人がどの行で等号の左右を同じ値と判断したかを尋ねると、取り違えた規則を見つけやすくなります。等号の両側が同じ数を表すことが、計算の道筋を支えます。