中学受験算数 ピラミッド型の相似—平行線の印から大小の三角形の対応を探す｜武蔵野個別指導塾

平行線で切った三角形の辺の残りと全体を区別し、対応する長さから読み解くのがピラミッド型の相似です。

よくあるのは、小さい三角形の辺を、対応する大きい三角形の辺ではなく、その残りの部分と比べる小6の場面です。図に並んだ2つの長さが目に入ると、どちらも三角形の辺だと思って比を作りたくなります。まず頂点からどこまでが小さい三角形で、どこまでが大きい三角形なのかを指でたどります。

平行な線で三角形を横切ると、頂点を共通にする大小の三角形が現れます。ここでは、平行の条件を確かめ、対応する辺をそろえ、残りの部分まで含めて答えにたどり着く練習をします。

どの長さを聞かれるか

1つ目は、頂点から平行な線までの長さと、その先から底辺までの長さが与えられ、反対側の辺の全体を求める型です。与えられた2つの部分を足して初めて、大きい三角形の辺になります。小さい辺と残りの比を、そのまま大小の三角形の比にしてはいけません。

2つ目は、大小の三角形の対応する辺が与えられ、平行な線の長さを求める型です。横の線どうしも対応しますが、頂点からの辺と横の辺を取り違えないことが大切です。大きい三角形の底辺に対して小さい三角形の底辺がどれだけかを考えます。

3つ目は、頂点から平行な線までの長さを求めたあと、そこから底辺までの残りを聞かれる型です。相似から直接出るのは対応する辺の全体または頂点側の部分です。求める場所が残りなら、最後に全体から引きます。図に長さを書き込んでから、問いの場所に印を付けると迷いにくくなります。

平行の印から2つの三角形を見つける

図1では、大きな三角形ABCの辺AB上にD、辺AC上にEがあります。線分DEは辺BCと平行です。AからD、Eへ進み、DEで閉じると小さい三角形ADEが見えます。AからB、Cへ進み、BCで閉じると大きい三角形ABCが見えます。

図1の2つの三角形は、頂点Aの角を共有しています。また、DEとBCが平行なので、Dの角とBの角、Eの角とCの角はそれぞれ等しくなります。3組の角がそれぞれ等しく、対応する辺の長さが一定の割合になる三角形どうしは相似（そうじ）です。大きさが同じ場合も含みます。頂点の対応は AとA、DとB、EとC です。

辺の対応は ADとAB、AEとAC、DEとBC です。順番を変えずに、どの組も小さい三角形から大きい三角形へ比べます。たとえば ADとABの比が2対5なら、AEとACも2対5、DEとBCも2対5です。これは長さの比であり、面積の比を表しているわけではありません。

DBは大きい三角形の辺ABのうち、ADを取り去った残りです。ADとDBの比が2対3なら、ABは2と3を合わせた5に当たります。したがって ADとABは2対5です。途中の線分DBを対応する辺として選んでいないか、頂点Aからたどって確かめます。

見た目が横に見えるだけでは平行と決められません。問題文や図の印でDEとBCの平行が与えられているかを探します。平行が示されていなければ、同じ向きに見えても、この説明から相似とは決められません。与えられた条件と、見た目から想像したことを分けて扱います。

基本例題：残りを足して全体にする

三角形ABCの辺AB上にD、辺AC上にEがあり、DEはBCに平行です。ADは4 cm、DBは6 cm、ACは15 cm、BCは20 cmです。AEとDEの長さを、それぞれ整数で何cmか求めます。

図2では、左側の4 cmと6 cmを合わせると、大きい三角形の左辺になります。右側の15 cmは頂点AからCまでの全体です。まず左右の対応する全体を確かめ、それから横の辺に移ります。

ABは4 + 6 = 10 cmです。ADとABの比は4対10、約分して2対5です。図の4 cmと6 cmの比は2対3ですが、それは頂点側と残りの比なので、大小の相似比とは違います。

右辺でも、AEとACの比は2対5です。ACの15 cmが5に当たります。15 ÷ 5 = 3 cmが比の1に当たる長さです。小さい三角形の右辺は3 × 2 = 6 cmなので、AEは6 cmです。

同じようにDEとBCの比も2対5です。BCの20 cmが5に当たるので、20 ÷ 5 = 4 cmが比の1に当たります。4 × 2 = 8 cmより、DEは8 cmです。答えはAEが6 cm、DEが8 cmです。

確かめると、AEとACは6対15で2対5、DEとBCは8対20で2対5です。どちらも左辺で求めた比と一致します。小さい三角形の辺が大きい三角形の対応する辺より短いことも、答えの見当として使えます。ただし短いというだけでは正しい値までは決まりません。

一段進んだ例題：残りから頂点側を戻す

三角形ABCの辺AB上にD、辺AC上にEがあります。DEはBCに平行です。ADは6 cm、DBは4 cm、ECは8 cm、BCは25 cmです。AEとDEの長さを、それぞれ整数で何cmか求めます。

まずABは6 + 4 = 10 cmです。ADとABは6対10、つまり3対5です。対応する右辺でもAEとACが3対5になります。ここで8 cmはAC全体ではなく、EからCまでの残りです。15 cmのような全体が最初から与えられていた基本例題とは、使う比が違います。

右辺の全体を5と見れば、頂点側のAEは3、残りのECは5 − 3 = 2に当たります。ECの8 cmが2に当たるので、8 ÷ 2 = 4 cmが比の1に当たります。AEは4 × 3 = 12 cmです。全体ACは12 + 8 = 20 cmで、AEとACは12対20、約分すると3対5になります。

横の辺は、DEとBCが3対5です。BCの25 cmを5に分けると、25 ÷ 5 = 5 cmです。DEは5 × 3 = 15 cmです。答えはAEが12 cm、DEが15 cmです。

判断の分かれ目は、与えられた8 cmがどの部分かです。8 ÷ 5とすると、全体を5とした比を残りの長さに当ててしまいます。図の右辺に「頂点側3、残り2、全体5」と書き添えると、どの数で割るかを選べます。残りを求める問題では、先に全体と頂点側をそろえてから引き算をします。

誤答をたどり直す

基本例題で、ADとDBを比べて4対6を2対3とし、AEを15 ÷ 3 × 2 = 10 cmとする答えは誤りです。15 cmはAC全体なのに、3はABの残りDBに当たる数だからです。右辺の全体と左辺の残りを対応させてしまっています。

図3のように左辺を4 cmと6 cmに分けると、残りまで含めた全体は10 cmです。頂点側と全体を4対10、すなわち2対5に直します。正しい計算は15 ÷ 5 × 2 = 6 cmです。10 cmという誤答では10対15が2対3になり、ADとABの2対5に一致しません。

もう1つの間違いは、AEが6 cmと出たところで、ECも6 cmとすることです。平行だからといって、頂点側と残りが等しくなるとは限りません。ECはACからAEを引き、15 − 6 = 9 cmです。求める線分の両端を指で示し、頂点から始まる部分か、残りかを確認します。

比を選ぶ前に確認すること

辺の上の点が増えると、数字だけを見て式を作りたくなります。そこで、比を書く前に大小の三角形を別々に紙へ描き写す方法があります。小さい方にはA、D、Eを順に書き、大きい方にはA、B、Cを同じ向きに書きます。2つを並べると、Dに対応するのはB、Eに対応するのはCだと追いやすくなります。

描き写す際には、同じ文字のAが共通の頂点であることを忘れないようにします。ADの相手をBCにすると、頂点Aから伸びる辺と向かい側の辺を比べてしまいます。小さい三角形をひと回り大きくしたときに重なる辺を探し、ADとAB、AEとAC、DEとBCを組にします。色鉛筆があれば、対応する2本に同じ色の印を付けてもよいでしょう。

比の向きもそろえます。ADとABを小さい方から大きい方へ2対5とした場合、BCとDEは反対向きなので5対2です。数字だけを見ると比が違うようですが、順序を入れ替えれば同じ関係です。途中で順序を変えてしまったときは、辺の名前を数の下に書いて確かめます。

大きい三角形から小さい三角形を引いた下の部分は、三角形ではなく四角形です。その左の辺DBと右の辺ECは残りの部分どうしです。平行の条件があると、それぞれ対応する辺から頂点側を除いた割合が等しくなるので、ADとDBの比はAEとECの比に等しくなります。ただし、その比は小さい三角形と大きい三角形の比とは別です。どちらの比を使うのか、比の両側に辺の名前を書きます。

答えの大きさも点検の手がかりです。DがAとBの間、EがAとCの間にあるので、ADはABより短く、AEはACより短くなります。DEもBCより短くなります。小さい辺を求めたのに対応する大きい辺より長い答えが出たら、比を逆に掛けた可能性があります。反対に、残りを聞かれているのに頂点側の値を答えた場合は、大小の見当だけでは誤りを見つけられないこともあります。問いの場所に戻る確認が必要です。

自分で試す4問

どの問題も、三角形ABCの辺AB上にD、辺AC上にEがあり、DEはBCに平行です。長さはcmで表し、答えは整数で求めます。図を描いたら、Aを頂点、BCを底辺にして、与えられた数を書き入れます。

1. ADが3 cm、DBが9 cm、ACが16 cmです。AEは何cmですか。
2. ADが5 cm、ABが15 cm、BCが21 cmです。DEは何cmですか。
3. ADが8 cm、DBが12 cm、ACが25 cmです。ECは何cmですか。
4. ADが9 cm、DBが6 cm、ECが10 cm、BCが30 cmです。AEとDEはそれぞれ何cmですか。

答えと考え方

1. ABは3 + 9 = 12 cmです。ADとABは3対12、約分して1対4です。AEとACも1対4なので、16 ÷ 4 = 4 cmです。答えは4 cmです。9 cmを全体と間違えると、対応する比がそろいません。

2. ADとABは5対15、約分して1対3です。DEとBCも1対3なので、21 ÷ 3 = 7 cmです。答えは7 cmです。ABはすでに全体の長さとして与えられているため、5 cmをもう一度足しません。

3. ABは8 + 12 = 20 cmです。ADとABは8対20、約分して2対5です。AEは25 ÷ 5 × 2 = 10 cmです。聞かれているのは残りのECなので、25 − 10 = 15 cmです。答えは15 cmです。AEの10 cmで止めると、求める場所が違います。

4. ABは9 + 6 = 15 cmです。ADとABは9対15、約分して3対5です。右辺の残りECは全体5のうち2に当たります。10 ÷ 2 = 5 cmが比の1で、AEは5 × 3 = 15 cmです。横の辺は30 ÷ 5 × 3 = 18 cmです。答えはAEが15 cm、DEが18 cmです。右辺の全体は15 + 10 = 25 cmで、15対25は3対5です。

解き終えたら、各問で比の順序を見直します。小さい辺を先に置いたなら、別の組でも小さい辺を先に置きます。最後に、問題が頂点側、全体、残りのどれを聞いていたかを読み直すと、計算が合っているのに別の場所を答える失敗を見つけられます。

手元に残す要点

• 平行が与えられたら、共通の頂点を持つ大小の三角形を探します。
• 対応する辺は、頂点側と全体を同じ順序で比べます。
• 頂点側と残りの比からは、足して全体を作ります。
• 残りが与えられたら、全体の比から頂点側の比を引きます。
• 求める場所が残りなら、全体から頂点側を引きます。

家で見守るとき

お子さまが答えを出したら、まず「2つの三角形をそれぞれ指でなぞれるかな」と問いかけます。線分を指せる場合は「この比の後ろの数は、どこからどこまで」と尋ね、全体と残りの取り違えを見分けます。比を立てられない場合は、平行の印と共通の頂点を一緒に探し、残りの計算は本人に任せます。

答えが違っても、すぐに正しい式を渡さず、書いた比の2つの線分に印を付けてもらいます。対応がそろっていれば計算を、そろっていなければ三角形の輪郭を見直します。頂点から全体までを指でたどる一手が、残りとの混同をほどきます。