放物線と水平線の交点が1個になる範囲を端点で判定｜武蔵野個別指導塾

放物線の定義域が限られているなら、水平線が接しなくても、2つの交点のうち片方が範囲外になって1個だけ残ります。頂点と左右の端点の高さを比べ、水平線が定義域の中のグラフに何回当たるかを調べてください。端点と同じ高さでは、その端の x を範囲に含めるかを別に確かめます。

判別式が答えたのは、切り取る前の交点の数

よくあるのは、高校数学の問題に「共有点がちょうど1個」とあったので、判別式を0と置いたところ、解答の範囲に不等号が並んでいて戸惑うという場面です。たとえば y = (x – 1)² + 2 と水平線 y = k の交点を、0 ≤ x ≤ 4 の部分だけで数えるとします。k = 2 で頂点に接するのは正しいのですが、それは答えの一部です。

高さをそろえた式は (x – 1)² = k – 2 です。たとえば k = 6 なら、(x – 1)² = 4 より x = -1、3 です。x = -1 の点も放物線全体と水平線の両方の式を満たしますが、0 ≤ x ≤ 4 の範囲には入りません。x = 3 は範囲内なので、数える点は (3, 6) の1個です。「2つ実数解が出た」も「共有点は1個」も、どこまで数えたかを書けば矛盾しません。

この式を展開すると x² – 2x + (3 – k) = 0 です。判別式 D は (-2)² – 4(3 – k) = 4(k – 2) なので、k = 6 では D = 16 > 0 です。D が正という計算は間違っていません。定義域を確認する作業を省いて、範囲内にも2つあると思ったところが誤りです。どの式から D を作るかを見直したい場合は、放物線と直線の高さの差から共有点を求める手順で、まず2つの高さを等しくするところに戻れます。

今回の問題で大事なのは、交点の x を毎回最後まで計算することではありません。定義域に入るかどうかが切り替わる高さを探せば、k の範囲をまとめて書けます。鉛筆を持ったら、判別式の前に定義域へ四角を付け、どのグラフを数えるのかを決めます。

頂点と左右の端の高さを、1枚に置く

y = (x – 1)² + 2 の頂点は (1, 2) です。0 ≤ x ≤ 4 なので、頂点は描く部分の中にあります。左端 (0, 3)、右端 (4, 11) も、元の式に x = 0、x = 4 を入れて求めます。頂点に向かう左の部分は高さ3から2へ下がり、頂点から右端までの右の部分は高さ2から11へ上がります。

方眼がなくても、ノートの左に x = 0 と x = 4 の位置を取り、間に x = 1 を入れてください。次に高さ2、3、11の印を縦に並べます。値の差をきれいな縮尺で描く必要はありません。ただし、高さ3と11を同じ高さに見えるように描くと、どちらの端を先に水平線が通り過ぎるかがわからなくなるので、高さの順序は守ります。

高さを低い方から上げると、交点数を変える節目は次のようになります。左側・右側に分けて数えるとき、x = 1 の頂点は同じ点なので2度数えません。

答えは k = 2、または 3 < k ≤ 11 です。表では説明のため k = 11 を分けていますが、答案ではその高さも含めて1つの不等式にできます。反対に k = 3 は左端がまだ残るので、3 ≤ k としてはいけません。交点が1個という条件は、k がある値に等しい場合だけでなく、いくつもの高さが続く範囲にも当てはまります。

左側と右側を「何の高さまで届くか」で見る

グラフを見て当たり方がわかっても、式で説明しようとすると「なぜその高さだけ右に残るのか」と手が止まることがあります。この例では、左側の 0 ≤ x < 1 を取り出すと、頂点からの横の距離 1 – x は 0 より大きく1以下です。その距離の2乗を高さ2に足すので、左側で取れる高さは 2 < y ≤ 3 です。高さが決まればそこへ届く x は左側に1つしかありません。

右側の 1 < x ≤ 4 では、距離 x – 1 が 0 より大きく3以下です。取れる高さは 2 < y ≤ 11 で、この中の各高さには右側から1つずつ点が対応します。2 < k ≤ 3 は左右とも高さの範囲に入るため2点、3 < k ≤ 11 は右側だけに入るため1点です。左右で機械的に数えた後に、分けておいた頂点の k = 2 を戻します。

頂点から端までの距離が左に1、右に3と違うので、高くするほど左側の端を先に通り過ぎます。どちらに点が残るかを忘れたら、x の端の数字そのものではなく、頂点 x = 1 からどちらが遠いかに戻ってください。頂点の左に負の x がある問題でも、横の距離は正の量として比べられます。

同じ例で定義域を 0 ≤ x ≤ 2 に変えると、左右の端はどちらも高さ3です。2 < k ≤ 3 では左右に1点ずつ入り、3を超えると両方とも外れます。このときは、左右のうち片方だけが残る高さの範囲はありません。共有点が1個なのは頂点の k = 2 だけです。左右の端の高さが違う例や同じ例の答えをそのまま暗記せず、先に端の高さを書き出します。

端点を含むか迷ったら、高さを1回入れてみる

元の例の左端と同じ高さ、k = 3 を式に戻します。(x – 1)² = 1 なので x = 0、2 です。定義域が 0 ≤ x ≤ 4 なら0も2も入り、交点は2個です。もし問題文が 0 < x ≤ 4 なら、x = 0 は数えず、x = 2 だけです。このとき、さきほどの範囲は k = 2、または 3 ≤ k ≤ 11 に変わります。違ったのは左端と同じ高さだけで、たとえば k = 6 の判定は変わりません。

右端と同じ高さの k = 11 も、(x – 1)² = 9 から x = -2、4 です。0 ≤ x ≤ 4 なら x = 4 が残りますが、0 ≤ x < 4 なら4も除かれます。後者の答えは k = 2、または 3 < k < 11 です。上の端で等号が必要かどうかは、右端を示す x = 4 を入れる問題かどうかで決まります。

ノートでは、含む端に黒丸、含まない端に白丸を付けると、式の不等号と図を往復できます。ただし、白丸と同じ高さを全部の答えから外すわけではありません。その高さで別のところに点が残ることがあります。左端を白丸にしたとき、k = 3 で x = 2 が残ったのがその例です。「白丸の点は数えない」と「白丸の高さの水平線は数えない」を分けてください。

高さの区間に等号を付ける判断は、図だけでわかりにくければ境目の k を代入してかまいません。ただし k = 4 を調べて1点になることは、k = 3 でも1点という理由にはなりません。境目の内側の例と境目そのものを別々に試すと、最後の答案に残す不等号を間違えにくくなります。

頂点が範囲の外なら、片側だけを追う

同じ y = (x – 1)² + 2 でも、定義域が 1 < x ≤ 4 なら、頂点は含まれません。グラフの右側だけが残り、高さは2より大きく11以下です。ここでは 2 < k ≤ 11 のすべてで共有点が1個です。k = 2 は放物線全体には接しますが、定義域に接点がないため0個です。判別式を0にした候補も、最後に x の範囲へ戻す理由です。

頂点の x の位置が端にあるだけなら、閉じているか開いているかを先に見ます。1 ≤ x ≤ 4 なら頂点が入り、2 ≤ k ≤ 11 になります。頂点が離れている 2 ≤ x ≤ 4 の場合は、左端 (2, 3) から右端 (4, 11) まで高さが増え続けるため、答えは 3 ≤ k ≤ 11 です。同じ関数でも、頂点の座標 (1, 2) を高さ一覧へ必ず入れるわけではありません。

問題を読んだときに、最初に軸 x = 1 が定義域の中か、外か、ちょうど端かを確かめます。軸の左にも右にも数える部分があれば、左右それぞれの高さの範囲を作ります。片側だけなら、端に近づく向きと端を含むかを確かめます。x が1つだけの区間、たとえば 2 ≤ x ≤ 2 なら描くのは (2, 3) の1点だけなので、水平線 y = 3 のときだけ共有点が1個になります。

「区間内で2つの異なる解が必要」と指定されたら、片方だけ残る高さは答えから外れます。条件の違う問題を見比べたいときは、指定区間の中に異なる2解を置くときの軸と端点の見方で、端点を含む指定と2つの解が異なる指定を分けて確かめられます。同じグラフを使っても、何個残すことが問いなのかで選ぶ範囲が変わります。

下に開く図では、水平線を下げながら数える

次は y = 6 – (x + 1)²、定義域は -4 ≤ x ≤ 1 とします。下に開くので頂点 (-1, 6) が最も高く、左端 (-4, -3)、右端 (1, 2) はそれより低い位置にあります。上に開く例の答えで不等号だけを反対にするより、まずこの3点を書き、頂点に合わせた水平線を下げて考えます。

k = 6 では頂点だけです。2 < k < 6 では左右どちらにも1点ずつあり、k = 2 になった時点でも右端が残るので2点です。水平線が高さ2より下になれば、右端まで下がった右側には当たらず、左側だけが残ります。左端は高さ-3なので、-3 ≤ k < 2 では1点、さらに下では0点です。答えは -3 ≤ k < 2、または k = 6 です。

確かめに k = 2 を入れると、(x + 1)² = 4 より x = -3、1 です。どちらも定義域に入るので、高さ2は1点の範囲に含みません。k = 0 なら x = -1 ± √6 です。2 < √6 < 3 なので、-1 – √6 は -4 と -3 の間に入り、-1 + √6 は1を超えます。残る点は左側の1個です。小数にしなくても、平方根をはさむ整数で定義域に入るかを判断できます。

もし右端を含まない -4 ≤ x < 1 に変えたら、k = 2 の右の点だけが消えます。左の x = -3 は残るので、1点になる範囲は -3 ≤ k ≤ 2、または k = 6 になります。上に開くか下に開くかが変わっても、黒丸か白丸かを決めた後に、その高さで別の点が残らないかという確認は同じです。

答えを見ずに、自分の図の境界を検算する

練習に y = (x + 2)² – 1、定義域 -5 < x ≤ -1 を使います。頂点は (-2, -1) で範囲内です。左端 x = -5 に対応する高さは8ですが、その点は範囲に入りません。右端 x = -1 に対応する高さは0で、こちらは範囲に入ります。鉛筆で左端は白丸、右端は黒丸にし、どの高さで1点になるかを先に予想してください。

頂点の k = -1 では1点です。-1 < k ≤ 0 なら左右とも当たり、0を超えると右端より高いので左側だけに当たります。ただし、左端が白丸なので k = 8 の点は数えません。答えは k = -1、または 0 < k < 8 です。境目を式で確かめると、k = 0 では x = -3、-1 が両方入り、k = 8 では x = -5、1 が両方とも外れます。ひとつ内側の k = 3 では x = -4、0 のうち -4 だけが入ります。

ここで右端も白丸にすると、k = 0 でも左の点だけが残ります。今度は k = -1、または 0 ≤ k < 8 です。式の形を変えず、端点を含む記号だけを替えた問題を続けて解くと、違うのは境目の判定だとわかります。もし1点になる範囲の内部まで変えたくなったら、k = 3 の交点をもう一度図に戻してください。

式で出した答えを確認するときは、境目だけでなく区間の内側を1つ選んでみます。計算しやすい高さを選ぶなら、頂点から1や2だけ横へ動いた点の高さを使うと、平方根が整数になりやすくなります。検算で1例を通っただけでは範囲全体の説明にはならないので、変わる高さが端点と頂点に限られていることも図で確かめます。

左右の端が同じ高さでも、含む端が違えば答えは変わる

最初に使った y = (x – 1)² + 2 に戻り、今度は 0 < x ≤ 2 とします。両端に対応する高さは3で同じです。ただし左端 (0, 3) は白丸、右端 (2, 3) は黒丸です。高さが違う例のように、片方の端ともう一方の端の間に幅はありません。それでも k = 3 のとき、右端が1つだけ残ります。

この場合、頂点を除いた左側の高さは 2 < y < 3、右側の高さは 2 < y ≤ 3 です。たとえば k = 2.25 なら (x – 1)² = 0.25 なので x = 0.5、1.5 となり、両方が範囲内です。k = 3 に達した瞬間だけ左の候補が外れ、その後は右の候補も外れます。頂点を合わせると、答えは k = 2 または k = 3 の2つの値です。「共有点が1個」という言葉は、条件を満たす k の値も1個だという意味ではありません。

この図から高さ3の黒丸まで消して、両方を白丸にしたら、k = 3 は両端とも外れます。逆に左端にも黒丸を付ければ、k = 3 では2点です。どちらの場合も k = 2 だけが答えに残ります。等号を動かす練習では、左右の枝が届く高さをまず書き、最後に頂点の点を1つ戻すと、端点の高さと、そこで残る点の数を混同せずにすみます。

「どこまで数えましたか」と聞けるようにする

よくあるのは、保護者が「接したら1つだよね」と声をかけると、お子さまがそのまま頂点の高さを答えにして、図を閉じてしまうという場面です。答えを言う前に、「水平線が左と右に当たるところを、範囲外も含めて指せる？」と聞いてみてください。続けて「そのうち、この問題で数えてよいのはどっち？」と聞くと、判別式の計算で出た個数と答案に残す個数を分けられます。

本人が先生に聞くなら、「式を解くと2つありますが、このうち片方が定義域の外です。端の高さの等号を付けるかだけ、図で確かめたいです」と言えます。まだ境目を計算していなければ、「頂点は出せましたが、どの端の高さから片側だけになるかがわかりません」と短くしてかまいません。x の範囲、端での y の値、水平線の高さ k のどれで迷ったかが伝わります。

解き直すノートには、清書した図より、外した点に付けた小さな印を残してください。式は解けるのに交点が1個になる範囲だけ毎回迷うなら、その図と途中の式を手元に置いて相談できます。武蔵野個別指導塾のよくあるご質問から、学習相談の入口を確認できます。

宮川 涼 Founder

早稲田大学大学院文学研究科哲学専攻修士号修了、同大学大学院同専攻博士課程中退。日本倫理学会員 早稲田大学大学院文学研究科にてカント哲学を専攻する傍ら、精神分析学、スポーツ科学、文学、心理学など幅広く研究に携わっている。

See Full Bio