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高校数学C 一筆書きの順序—始点と終点を選び全辺を一度ずつ通る道を作る｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学C 数学的な表現の工夫

行き止まりに残る辺を点検し、頂点の列を辺の一覧と照合しながら考える一筆書きの順序です。

よくあるのは、理系の高3が一筆書きの可否を判断した後、進む順番を誤り途中で行き止まるという場面です。紙に線を引いたところまでは正しくても、離れた場所に未使用の辺が残ることがあります。次数で決めるのは始点と終点の候補です。その候補から実際に全辺を通るには、通った辺を記録し、残りの辺にも目を向けます。

どの順に通るかを問う問題

出方の1つは、辺の一覧をもとに、指定された始点から一筆書きの頂点の列を作る問題です。隣り合う文字が辺で結ばれ、列に現れる各辺が元の一覧に1回ずつあるかを照合します。頂点には何度戻ってもかまいません。辺を繰り返すことと頂点を繰り返すことは別です。

もう1つは、途中まで描いた線から続きを作れるかを問う問題です。現在地から未使用の辺を使って残りを通る必要があります。残った辺が現在地から届かない場所にあれば、もとの図全体では可能でも、その途中経過からは完成しません。進む前の選択に戻り、順序を変えます。

さらに、始点や終点を指定した条件の下で、可能なら列を示し、不可能なら理由を説明する問題があります。次数の偶奇と連結性はこの判断の入口です。以下では辺に向きも重みもなく、同じ2頂点を結ぶ辺は1本、ループはないものとします。線の交差は、頂点の印がある場合に限って接続点とします。移動距離の最小化は考えません。

辺を使うたびに残りを見直す

離散グラフでは、地点を頂点、2地点を直接結ぶ線を辺で表します。頂点の次数は、その頂点に接続する辺の本数です。一筆書きとは、辺のある部分をつなげて、各辺をちょうど1回ずつ通ることです。線を引かない孤立点は、辺を通る条件には影響しません。辺のある頂点どうしは、辺をたどって互いに行き来できる必要があります。

図1のように、途中の頂点では入る辺と出る辺が対になります。始点と終点が異なれば、その2点には対にならない辺が1本ずつ残るため、奇数次数の頂点はその2点です。同じ点で出発して戻る場合は、出入りがすべて対になり、各頂点の次数は偶数です。この数え方は、可能な列があれば端点がどうなるかを示しています。

図1の左では、中央に入る2本と出る2本が対になります。右では始点からの出発が1本余ります。逆に、辺を持つ部分が連結で奇数次数の頂点が0個または2個なら、一筆書きは可能です。0個なら辺のある任意の頂点から出発し、元の点に戻れます。2個なら一方から出て他方で終わります。奇数次数が4個以上なら、端点は2個しか置けないので不可能です。

可能という判定と、具体的な順序の提示は別の作業です。まず始点を決め、通った辺に印を付けて現在地を更新します。途中で辺が残っているのに進めなくなったら、残った辺がどこについているかを調べます。使った線を消した残りの図を考えると、現在地から切り離された部分を見つけやすくなります。

残りの図にも同じ見方を適用できます。残りの辺を持つ頂点が現在地からつながり、奇数次数が2個なら現在地と予定の終点がその2個である必要があります。奇数次数が0個なら現在地に戻る形です。現在地に残る辺がなく、別の場所に辺が残る場合は続けられません。これは試した順序の失敗であり、もとの図自体が不可能という意味ではありません。

基本例題：2つの輪をつなぐ

地点 A、B、C、D、E を結ぶ辺が AB、BC、CA、CD、DE、EC の6本あります。辺に向きはありません。A を始点として各辺を1回ずつ通り、最後の地点と通過する頂点の列を1つ求めてください。

図2のように、三角形 ABC と三角形 CDE は頂点 C を共有します。交わる点 C は実際の頂点です。次数を一覧で調べます。

A: 2本（AB、CA）
B: 2本（AB、BC）
C: 4本（BC、CA、CD、EC）
D: 2本（CD、DE）
E: 2本（DE、EC）

辺を持つ部分はつながり、次数はすべて偶数です。したがって A から出て A に戻る列があります。そこで先に右側の輪を回ってから、左側の残りを使います。

A → C → D → E → C → B → A

順番に使う辺は AC、CD、DE、EC、CB、BA です。無向の辺なので AC は一覧の CA と同じ辺です。6本は元の一覧と1対1に対応し、重複も欠落もありません。始点と終点はともに A です。途中で C に2回現れますが、そこで使う辺は別々なので条件を満たします。

別の順序 A → B → C → D → E → C → A も成立します。一方、A → B → C → A と先に戻ると、A から使える辺がなく、CD、DE、EC が残ります。この途中経過は失敗です。最初の輪を閉じる前に C から残る輪へ寄り道してから戻れば、残りをつなげられます。単に「輪を回る」と覚えるより、最後にどの頂点へ戻るかを見ておくと修正の理由が明確です。

標準例題：端点を決めてから枝を残す

地点 P、Q、R、S を結ぶ辺が PQ、QR、RP、RS の4本あります。各辺を1回ずつ通る列について、始点 P、終点 S と指定した場合の可否を答え、可能なら列を1つ示してください。辺に向きはありません。

次数を辺の一覧から数えます。

P: 2本（PQ、RP）
Q: 2本（PQ、QR）
R: 3本（QR、RP、RS）
S: 1本（RS）

辺のある部分は連結で、奇数次数は R と S です。始点と終点が異なる一筆書きでは、この2点が端点でなければなりません。P の次数は偶数なので、P を始点、S を終点にする列は存在しません。これは順番を探す前にわかる不可能です。

始点を R に変更できるなら、次の列が使えます。

R → P → Q → R → S

使用する辺は RP、PQ、QR、RS で、指定の4本にそれぞれ1回対応します。R から先に S へ進むと、S には他の辺がなく、その場で止まります。三角形の辺が残るため、この選び方からは完成しません。RS はこの場合、残った三角形を通って R に戻ってから使うとよい辺です。

指定された始点が間違っている場合と、始点は正しいが最初の辺を間違えた場合は区別します。前者はどんな順番でも条件を満たせません。後者は順番を変えれば完成することがあります。実際、R → S の失敗は、R → P を選び直すことで修正できました。

発展例題：途中から続けられるか

地点 U、V、W、X、Y を結ぶ辺は UV、VW、WU、WX、XY、YW、UY の7本です。各辺を1回ずつ通る列について、次の2つの途中経過それぞれから、辺を重ねずに完成できるか答えてください。可能なら完成した頂点の列を、不可能なら残った辺を使えない理由を示してください。

経過1は U → V → W → X → Y、経過2は U → V → W → U です。両者とも U から出発し、記載された辺を既に使っています。頂点を再訪することは許します。

まず元の次数を数えます。

U: 3本（UV、WU、UY）
V: 2本（UV、VW）
W: 4本（VW、WU、WX、YW）
X: 2本（WX、XY）
Y: 3本（XY、YW、UY）

奇数次数は U と Y です。図の辺はつながっているので、U から始める完成列の終点は Y です。ただし、途中の選び方によってはそのまま続けられません。

経過1で使った辺は UV、VW、WX、XY です。現在地は Y、残りは WU、YW、UY です。この残りは Y、W、U の三角形なので、次のように Y から回って Y に戻れます。

U → V → W → X → Y → W → U → Y

使った辺を順に並べ直すと UV、VW、WX、XY、YW、WU、UY です。元の7本が1回ずつ現れ、終点も Y です。途中で Y に着いても、残りを回るための出入口があるので、ただちに終了する必要はありません。

経過2では UV、VW、WU を使い、現在地は U です。残りは WX、XY、YW、UY です。残りの次数は U が1、Y が3、W が2、X が2なので、現在地 U と終点 Y が奇数次数です。実際に次のように続けられます。

U → V → W → U → Y → X → W → Y

使用辺は UV、VW、WU、UY、YX、XW、WY で、元の7本と一致します。2つの途中経過がともに成功するのは、残り方がそれぞれ必要な端点の条件と連結性を保っているためです。

対照として U → Y と最初に進んだ後、Y → U と同じ辺を戻る操作は認められません。辺 UY の2回使用になるからです。また U → Y → X → W → U と進めば現在地 U には未使用の UV があるため、そこで完成と判定してはいけません。残る3本は UV、VW、YW であり、U → V → W → Y と続ければ完成します。途中で W に着いた時点でも、辺 YW が残っています。辺を頭の中で消すだけでなく、一覧に印を付ける理由がここにあります。

誤答を残った辺から直す

図2の問題で、図3のように A → B → C → A と進み、「始点に戻ったので完成」とする答案を考えます。通った辺は AB、BC、CA の3本です。CD、DE、EC の3本が残るので、この答案は条件を満たしません。

図3では左側を先に閉じると、現在地 A と右側の未使用の辺が切り離されます。失敗の原因は、始点への帰着だけを完成条件にしたことです。元の辺数6本と、使った辺数3本を比べるだけでも不足を発見できます。ただし本数が一致するだけでは重複と欠落が同時に起こり得るため、最後は辺の名前も照合します。

直すには、C にいた時点へ戻り、C → D → E → C と右側を回ってから C → A とします。こうして A → B → C → D → E → C → A が得られます。進めなくなった場所で無理に線を足すのでなく、まだ辺が残っていた分岐点に戻って順序を入れ替えます。

判定が不可能となった場合にも、理由を点検します。奇数次数が4個なら端点の不足が理由です。偶奇が合っていても、辺を持つ部分が離れていれば、途中で別の部分へ移れません。入力された辺の一覧に同じ辺が逆順でもう一度書かれた場合は、それを同一の辺とするか別の辺とするかを先に確認します。問題の条件が曖昧なまま本数を決めると、検算も一致しません。

練習問題

いずれも無向で、列に同じ頂点が再び現れることは許します。各辺は指定された1本ずつで、図の交差による追加の接続はありません。可能な場合は頂点の列を1つ、不可能な場合は理由を答えてください。

辺 AB、BC、CD、DA、AC からなる図で、A を始点とする一筆書きの終点と列を求めてください。
辺 JK、KL、LJ、LM、MN、NL からなる図で、J から出て J に戻る列を求めてください。
辺 FG、FH、FI の図で、全辺を一度ずつ通る列の可否を判定してください。
辺 OP、PQ、QO と辺 RS、ST、TR からなる図で、全辺を一度ずつ通る列の可否を判定してください。
辺 AB、BC、CA、BD、DE、EB の図で、途中まで A → B → A と進んだ記録があります。この記録から、辺を重ねずに全辺を1回ずつ通る列を完成できるか判定してください。

練習問題の答えと解き方

A と C の次数は3、B と D は2です。辺のある部分は連結なので、A から出ると C が終点です。A → B → C → D → A → C とすれば、AB、BC、CD、DA、AC をそれぞれ1回使います。最後の AC を先に使ってもよい場合はありますが、完成列を辺の一覧へ戻して確かめます。
J、K、M、N の次数は2、L の次数は4で、辺のある部分は連結です。J → K → L → M → N → L → J と進めば、JK、KL、LM、MN、NL、LJ を1回ずつ使い、J に戻ります。L を2回通ることは辺の重複ではありません。
F の次数は3、G、H、I は各1です。奇数次数が4個あるので、異なる始点と終点を置いても2個分余ります。どの頂点から始めても全辺を1回ずつ通ることはできません。
各頂点の次数は2ですが、三角形 OPQ と三角形 RST の間に辺がありません。一方の三角形から他方へ移れないため、全辺を通ることはできません。偶奇が合うことに加え、辺のある部分の連結性が必要です。
AB と BA は同じ無向の辺です。記録は既に AB を2回使っているため、以後の進み方を変えても全辺を1回ずつという条件を満たせません。記録を修正できるなら、例えば A → B → D → E → B → C → A と進めば、AB、BD、DE、EB、BC、CA を各1回使います。失敗した記録を完成可能な記録にすり替えず、どこを修正したかを示します。

覚えておくこと

辺のある部分の連結性と、次数の奇偶を確かめます。
奇数次数が2個なら、その2点が始点と終点です。
通った辺に印を付け、現在地から残りへ届くかを調べます。
完成した列を辺の一覧に戻し、欠落と重複を点検します。

つまずきの見分け方

答案に次数しか書かれていなければ、可否の判定から実際の列へ進めているかを確かめます。頂点の列があっても、隣接する2文字を辺に直す記録がなければ、同じ無向辺の逆向きの再使用を見落とすことがあります。個別指導では、元の辺一覧、通過順、消した後の残りを並べ、どの時点で現在地から残りへ届かなくなったかを本人に説明してもらいます。

判定が正しくても途中で止まった場合は、分岐点まで戻した記録と修正後の列を比べます。判定そのものが誤っていれば、各頂点に接続する辺を書き出し、孤立点を除いた連結性も確認します。辺を1本ずつ照合した頂点列が、一筆書きの完成を示します。