割合が上がっても人数は減る？総数の境目の求め方｜武蔵野個別指導塾

割合が上がった資料から人数の増減を知りたいときは、「前と同じ人数になるには、後の総数が何人必要か」を逆算します。前の対象人数が180人、後の正確な割合が45%なら、境目は180 ÷ 0.45 = 400人です。対象と時点がそろった総数の資料で、後の総数が400人より多いか少ないかを見れば、人数の増減を判断できます。

折れ線が上がったとき、縦軸を人と読み替えない

よくあるのは、地域の資料にある右上がりの折れ線を見て、「使う人が増えました」と書いてから、縦軸の単位が%だったと気づくという場面です。まず線の右端にある点の値を指し、「何が何%なのか」と声に出します。縦軸が「住民のうちバスを利用した人の割合」なら、直接読み取れるのは、住民に占める利用者の割合です。利用者が何人かは、その線だけには書いてありません。

たとえば同じ地区の2つの時点を比べ、住民のうちバスを利用した人の割合が、前は30%、後は45%だったとします。ここでいう利用者は、同じ条件で「ある1か月に1回以上利用した住民」を数えた人です。次に、別の資料から前の時点の住民総数が600人だとわかったとします。前の利用者は600 × 0.30 = 180人です。後の割合は45%ですが、後の総数はまだ出てきていません。

「割合が15ポイント上がった」とは言えます。45 – 30 = 15で、これは%で示された2つの値の差です。「利用者が15人増えた」とは言えません。最初に書いてよいのは「利用者の割合は30%から45%に上がった。前の利用者は180人だった」の2点です。目盛りや複数の資料を読み合わせるときの基本は、資料のグラフを読み、数字を文にする方法でも確かめられます。

まず「増えも減りもしない」を作る

後の利用者が何人だったかは、まだ求められません。それでも、「前と同じ180人だったとしたら、総数は何人だったはずか」と置くことはできます。180人が住民全体の45%だとすると、住民全体は180 ÷ 0.45 = 400人です。確かめに、400人の45%を計算すると400 × 0.45 = 180人に戻ります。400人が、利用者の増加と減少の境目です。

計算に迷うなら、45%を100人あたり45人と考えます。総数100人なら利用者45人、200人なら90人、300人なら135人、400人なら180人です。求めたいのは「45人が180人になるのに100人のまとまりが何組いるか」です。45 × 4 = 180なので、100人のまとまりは4組です。割合があとで別の数字に変わっても、同じ人数になる総数を先に探す考え方は変わりません。

400人は、資料から読み取った実際の住民数ではありません。後の割合を正確に45%とする条件で、利用者180人に戻る総数です。ノートに書くなら「後の総数=400人」と断定せず、「利用者が同じになる場合の総数=400人」と書きます。この一言がないと、計算で作った条件と資料にある数を混同しやすくなります。

「なぜ後の45%で割るのか」と迷ったら、文章に戻します。求めているのは後の総数ですから、後の総数に掛けたときに後の利用者を表すのは45%です。前の30%で180を割れば600人になりますが、それは前の総数が戻っただけです。同じ180人を使うとしても、どの時点の総数を求めるかで、使う割合は変わります。

境目の両側に、同じ割合で成立する例を置く

後の総数が360人だとすると、利用者は360 × 0.45 = 162人です。前の180人より18人減ります。後の総数が440人だとすると、利用者は440 × 0.45 = 198人です。前より18人増えます。どちらも後の割合は45%で、前の30%より高く、後の総数は前の600人より少ない例です。割合が上がって総数が減ったことまでわかっていても、人数の増減は1通りには決まりません。

「利用者が増えたとは限らない」という答えに理由をつけるときは、表から2行を選びます。360人の場合は減り、440人の場合は増えます。どちらも資料に示された割合と矛盾しないのに結論が違うので、割合の線だけでは判断できません。反例の数字を自分で作るときは、前の180人を動かさずに、後の総数だけを変えます。

400人から40人動くと、その45%にあたる利用者も18人動きます。上下の増減が18人ずつでそろうのは、360人と440人を400人から同じ40人だけ離して選んだからです。実際の資料でいつも同じ人数分だけ動くわけではありません。総数がわかったあとで人数まで聞かれたら、その時点の総数にその時点の割合を掛けて確かめます。

別のグラフから拾うのは「同じ対象、同じ時点」の総数

「総数」の折れ線を見つけたら、すぐ45%を掛けず、2枚の資料の題名と注記を照らします。割合の資料が「地区の住民全員に対する利用者の割合」なら、必要なのは同じ地区の住民全員の数です。総数のグラフに「市全体の住民数」と書いてあれば、その地区だけの割合には使えません。割合の対象が「アンケートに回答した住民」なら、必要なのは対象となった回答者数であって、地区の住民台帳の人数ではありません。

同じ地区でも、時点が合うとは限りません。割合が後の年度の指定月に調べた値で、人数のグラフにはその前年の値しかないなら、そのまま同じ行に入れません。グラフ上で点が横に並んで見えても、目盛りの下に書かれた年月を読みます。表にしたときは、前の値と後の値をそれぞれ1行にし、「誰を数えたか」「いつ数えたか」「単位は人か」の3点も短く書き添えます。

さらに「利用者数」と「利用回数」も別です。ある住民が同じ月にバスへ3回乗ったとします。「1回以上利用した人」を数える資料にはその住民を1人と書きますが、乗った回数を足す資料なら3回です。資料Bの縦軸に「延べ乗車回数」とあったら、利用した住民の総数として扱いません。軸の横に単位が見当たらなければ、凡例や表題の「人」「回」「件」に戻ります。

たとえば後の時点で、正しい範囲の住民総数が360人と確かめられたら、後の利用者は162人です。別資料に同じ時点の市全体440人が載っていても、人数を198人に書き換えません。答えの向きまで逆になる組み合わせだからこそ、掛け算の前に対応を確かめる意味があります。人口の総数と年齢別の割合を区別する例は、日本の人口資料で総数と割合を読み分ける練習でも見られます。

総数がぴったり読めなくても、境目から言えることがある

よくあるのは、後の総数の値が印刷の小さなグラフで正確には読めず、「人数の増減は何も言えない」と書きかけるという場面です。総数を1人単位で求めることと、人数の増減の向きを判断することは別です。後の総数が、正しい集団について420人以上480人以下だと資料から判断できるなら、範囲全体が境目の400人を上回ります。後の正確な割合が45%なら、後の利用者は前の180人より多いと言えます。

反対に、後の総数が360人以上380人以下と読み取れるなら、範囲全体が400人を下回ります。正確な人数までは答えられなくても、減った向きは決められます。境目に両側から重なる範囲、たとえば380人以上420人以下までしか読めないときは、減った場合、同じ場合、増えた場合が残ります。目盛りの間にある点を見て、勝手に400人と決める必要はありません。

範囲を読み取れたときは、まず「上か下か」だけを見ます。「420人以上なので増加」「380人以下なので減少」のように、どの目盛りから言えるかを答えに残します。点が目盛りの境に見えるときや、図の注記が概数を示すときは、見た目だけで不等号をつけません。増減を決めるには、どれくらいまで確かな範囲なのかも資料の情報だからです。

この線引きでは、「後の人数は約何人か」と聞く問題の答えをそのまま出せるわけではありません。「増えたか減ったか」という問いには範囲だけで答えられる場合があり、「何人増えたか」ならもっと細かい値が必要です。足りない数を一律に探すより、問いが求める細かさまで資料が示しているかで判断します。

45%が丸められた値なら、400人でも同じとは限らない

資料の注記に「割合は小数第1位を四捨五入して整数の%で示す」とある場合は、表示された45%が、正確な45%を意味するとは限りません。たとえば総数400人で179人が利用したときの割合は44.75%で、整数の%に四捨五入すると45%です。181人の場合も45.25%から45%になります。前の利用者が正確に180人とわかっていれば、179人なら1人減、181人なら1人増です。同じ「400人、45%」という表示でも、増減は違います。

このとき「400 × 0.45 = 180人」と書くなら、「表示の割合で計算した目安」と添えます。元の人数を正確に復元できたとは言いません。範囲や四捨五入の扱いが問題文に指定されていないときは、先に資料を読み、正確な値として使ってよいかを確かめます。表示が概数で、差がわずかなら、元の人数や丸める前の値を見つけない限り、同じだったとは断定しないほうがよいです。

お子さまが「でも割合は45って書いてある」と言ったら、179人と181人の例を同じ400人で割ります。表示の数字が同じでも、元の数なら区別できることが見えます。逆に、問題が割合を正確な値として与えているなら、丸めをかってに疑って答えを止める必要はありません。問題の注記にある約束に合わせて、境目の式を使い分けます。

境目が整数でないときは、人の数に丸めてから比べない

別の練習で、前の総数は500人、そのうち利用した正確な割合は25%とします。前の利用者は125人です。後の正確な割合が40%なら、125 ÷ 0.40 = 312.5になります。312.5人という住民数は実際にはあり得ませんが、計算の失敗ではありません。これは利用者が125人になる位置を数直線に示したもので、この問題では前と同じ人数になる整数の総数がないということです。

たとえば後の総数310人なら40%は124人、315人なら126人です。310人は境目より下なので減少、315人は上なので増加です。ここでは人数が整数で、40%も正確な値とするため、総数を整数で適当に選ぶのではなく、利用者が整数になる例で確かめています。312.5を313人に丸めて「313人なら同じ」とは書きません。丸めると比較に使う境目そのものが動きます。

ノートには「総数そのものなら整数。逆算した境目は小数でもよい」と書き分けます。図を使うなら、左に310人、右に315人、間に312.5とだけ印をつけ、目印の下へ「ここを上回るかを見る」と添えます。問題が求める実際の住民数と、増減を判定するための境目は役割が違います。前の例のように境目が400人と整数になっていても、この区別をつけておくと、資料にない400人を実際の総数として使わずに済みます。

同じ問いで先に図へ戻る場所を変えてみる

今度は前の総数500人、利用の割合24%とします。前の利用者は500 × 0.24 = 120人です。後の正確な割合が30%なら、人数が同じになる後の総数は120 ÷ 0.30 = 400人です。前の例と境目は同じでも、基準にした利用者数は180人ではなく120人です。400という結果を覚えていたとしても、前の人数と後の割合から計算し直します。

追加資料の候補を2つ用意します。資料Aは「後の同じ月の、同じ地区の住民総数460人」です。資料Bは「後の同じ月の、市全体の住民総数900人」です。使うのは資料Aで、460人が境目400人を上回るので増加です。正確な差を聞かれたら、460 × 0.30 = 138人、138 – 120 = 18人増と答えます。資料Bだけがあるなら、900に0.30を掛けず、地区の総数が足りないと伝えます。

次に資料Aの人数を隠し、「住民総数は400人未満」とだけ読めたとします。後の利用者は120人未満なので、減ったことは言えますが、何人減ったかは決まりません。解答欄に書くなら「後の割合は30%で、利用者120人に達するには総数400人が必要です。後の総数は400人未満なので、人数は減りました」と理由までつなぎます。正確な人数がないことと、向きが決まらないことを同じにしません。

家庭で見直すときは、「グラフは上がった？」のあとに「何が上がった？」「前と同じ人数になる総数はいくつ？」「比べる資料には、同じ範囲の総数がある？」と1つずつ聞けます。計算で止まるときと、資料の見出しが合わないときとでは、戻る場所が違います。どの資料のどの数字を使おうとしたかをノートに残せば、学習の相談でも困った箇所を説明しやすくなります。相談の入口は、武蔵野個別指導塾のよくある質問で確認できます。

宮川 涼 Founder

早稲田大学大学院文学研究科哲学専攻修士号修了、同大学大学院同専攻博士課程中退。日本倫理学会員 早稲田大学大学院文学研究科にてカント哲学を専攻する傍ら、精神分析学、スポーツ科学、文学、心理学など幅広く研究に携わっている。

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