余りがあるわり算で箱を1つ足すのはいつ？｜武蔵野個別指導塾

余りがあるわり算で箱を1つ足すのは、余ったものも入れて、全部を収めるための箱を数えるときです。満杯の箱だけを数えるなら商のまま、外に残ったものを数えるなら余りを答えます。計算が終わったら、「箱を数えるのか、カードを数えるのか」と「最後の箱は満杯でなくてもよいのか」を問いに戻って確かめます。

「4余り5」の4と5は、同じものを数えていない

よくあるのは、29枚のカードを6枚ずつ箱に入れる問題で「29 ÷ 6 = 4余り5」まで書けたのに、答えの欄には4と5のどちらを置けばよいかで手が止まるという場面です。式の数字だけを見ると、4は4、5は5としか見えません。何を数えた数字なのかを添えると、最後の問いに合うほうを選びやすくなります。

6枚入った箱を4つ作ると、入ったカードは6 × 4 = 24枚です。29枚から24枚を引くと、まだ外に5枚残ります。だから、4は「6枚ずつ入った箱が4箱」、5は「外に残ったカードが5枚」です。「4箱余り5箱」ではありません。箱の数とカードの枚数を足して「9箱」ともしません。答えを書く前に、計算の下へ「4箱」「5枚」と別々に記します。

わり算を式で確かめるときには、6 × 4 + 5 = 29と戻せます。ただし、この式が正しいのは、29枚が「6枚ずつ入った箱4つの分」と「余った5枚」に分かれたということです。これだけでは、必要な箱が4箱か5箱かはまだ決まっていません。式が合っているかと、箱をいくつ用意するかは、別々に確かめます。

「商」と「余り」という言葉をまだすぐ思い出せなくても、紙に箱を4つ描き、外にカードを5枚描ければ先に進めます。反対に、数字の名前は答えられても、5が箱かカードかわからないときは、言葉だけ覚えて図のどこを指すかがつながっていません。次の問いを読む前に、「4はどっちを指す？」と図の中で確かめます。

問いの最後の1行を替えると、答えが替わる

カード29枚と、最大6枚入る同じ形の箱を使います。数字は変えず、最後に聞くことを3通りに替えます。「全部を入れるのに、箱は少なくともいくつ要りますか」「6枚ずつ入った箱は何箱できますか」「6枚ずつ入った箱をできるだけ多く作ったとき、箱の外には何枚残りますか」です。どの場合も、6枚ずつ入れた箱4つの外に、カードが5枚あるところから考えます。

最初の問いで5箱になるのは、外に残った5枚にも置き場所が必要だからです。2つ目の問いで4箱になるのは、5枚しか入っていない箱を作っても「6枚ずつ入った箱」には数えないからです。3つ目は箱の数を聞いていません。余りを答えから消すのではなく、外にあるものを「5枚」と書きます。

最初と3つ目の答えはどちらも数字が5です。それでも「5箱」と「5枚」は入れ替えられません。必要な5箱には、すでに満杯になった4箱も入っています。一方、外にある5枚には、すでに箱へ入れた24枚は入っていません。「同じ5だから、どちらでも丸」とせず、答えを「何がいくつ」と声に出して読みます。何を聞かれたかが曖昧で計算の前から迷うなら、文章題で数字だけを拾わずに場面を読む手順も手がかりになります。

全部を入れるなら、1箱少ないと何が起こるかを見る

29枚を残さず片付ける場面を考えます。「5箱なら全部入る」は、4箱に6枚ずつ入れ、最後の1箱に5枚入れれば確かめられます。もう一つ、「4箱では全部入らない」も示すと、なぜ5箱がいちばん少ないのかまでわかります。4箱には最大でも6 × 4 = 24枚しか入らず、29枚には足りません。

「5箱にすると6 × 5 = 30枚になるから、カードが1枚足りない」と思ったら、30枚は「5箱に必ず入れる枚数」なのか、「5箱に入れられる上限」なのかを区別します。この問題で必要なのは29枚が入る場所です。最後の箱が満杯でなくてもよいので、1枚分の空きがあってかまいません。式で書けば24枚では不足し、30枚まで入る箱なら29枚を収められます。

残りが5枚でなくても、考え方は変わりません。カードが25枚なら、25 ÷ 6 = 4余り1です。6枚ずつ入れた4箱の外に、たった1枚だけ残ります。それでも全部入れる問いなら、最後の1枚を入れる箱がもう1箱必要です。四捨五入のように「余りが半分より小さいからそのまま」にするのではありません。置き場所が必要なのは、余りが1枚でも5枚でも同じです。

ただし、カードが24枚なら、24 ÷ 6 = 4で余りは0です。4箱で全部が入るので、さらに1箱は必要ありません。「全部入れる」という言葉を見つけたら必ず足すのではなく、「4箱に入れたあと、外にカードが残るか」を見ます。数を変えて25枚と24枚を比べると、1箱増える境目がはっきりします。

満杯の箱だけなら、半端に入った箱は数えない

「6枚ずつ入った箱はいくつ作れますか」と聞かれたら、答えは4箱です。5箱目に余った5枚を入れることはできますが、その箱は満杯ではありません。「箱にカードが入っている」と「箱に6枚入っている」は違う状態です。問題が数えたいのは後のほうです。

確かめるときは、満杯の箱が5箱作れるかを逆に考えます。5箱を6枚ずつにするには30枚が必要ですが、29枚しかありません。したがって、満杯の箱は5箱にはできません。4箱なら24枚で作れるので、「満杯の箱が最大でいくつか」にも4箱と答えられます。満杯の箱の数を決める条件と、全体を収める箱の数を決める条件は、どちらも6枚を使うけれど逆向きです。

問いによっては「満杯の箱はいくつでき、外には何枚残りますか」と、2つを一緒に尋ねます。「4箱」で終えると、余りを聞かれた部分に答えていません。「満杯の箱は4箱、外には5枚残ります」と、別々の単位をつけて書きます。余りを捨てるという表現は、5枚を実際に捨てる意味ではありません。満杯の箱の数を出すときに、5枚を新しい1箱としては数えないという意味です。

同じ29枚でも、問いが「もう何枚あれば満杯の箱が5箱になりますか」なら、答えは5枚ではなく1枚です。外に残った5枚を、箱いっぱいの6枚にするにはあと1枚です。これは余りをそのまま読むのではなく、不足分を6 – 5 = 1と求める問いです。「残り」と「あと」を丸で囲むだけで済ませず、「いま外にあるもの」なのか「次の満杯に足りないもの」なのかを言い直します。

残ったものを分けられる問題かどうかも見直す

よくあるのは、余りが出たとき「全部使う」とあればどの問題でも商に1を足す、と決めてしまう場面です。たとえば29個の同じ大きさの磁石を6人に、切ったり分解したりせず、同じ数ずつ配ります。全員に4個ずつなら24個で、5個が余ります。全員に5個ずつ配るには30個が必要なため、29個では足りません。この問いの答えは1人4個で、商に1は足しません。

「29枚を全部箱へ入れる」では、最後の箱に5枚だけ入れても、ほかの箱と同じ枚数である必要はありません。「29個を6人に同じ数ずつ配る」では、ある人だけに5個配ると条件が変わります。式はどちらも29 ÷ 6ですが、箱を数えることと、1人分を数えることが違います。わる数の6が「1箱に入る枚数」なのか「分ける相手の人数」なのかを横に書けば、似ている問題を区別できます。

長さや水の量のように、残りまで等しく分けられる設定なら、さらに別の考え方になります。たとえば24 cmのひもを5人で等しい長さに切り分け、全部使うなら、4 cmずつのあとに残った4 cmも5等分できます。1人分は4 + 4/5 cmで、4.8 cmです。5 cmずつでは合計25 cmになるので、足りません。小数や分数で残りを分ける考え方は、わり算の答えを分数で表す方法にもつながります。

小数や分数をまだ習っていない段階で、新しい計算まで覚える必要はありません。まず「カードは1枚のまま入れる」「ひもなら残った長さも切って分けられる」と、問題の条件の違いを言葉にできれば十分です。余りが出た場面を見直すのは、余りを毎回同じ方法で処理するためではなく、その問題で何をしてよいかを見落とさないためです。

同じ計算で、最後に書く単位を選び直す

1通りずつ練習するなら、数字を変えずに場面だけ移してみてください。ある集まりに29人いて、1台に最大6人ずつ乗れる車で全員が同時に移動します。4台では24人までなので、5人の席が足りません。全員が乗れる最も少ない台数は5台です。最後の車には5人が乗り、1人分の席が空いています。

では、「6人ちょうど乗った車は何台ですか」と問いだけ替えます。前と同じように4台に6人ずつ乗せ、残った5人が最後の車に乗るなら、6人乗った車は4台です。人を別の組み合わせで乗せる話ではなく、6人ずつ乗せていった結果を数えています。「5台使った」は正しくても、「5台とも6人乗った」は正しくありません。最後の車を絵に描くときは、席を6個示し、5個だけに印をつけると違いが目で追えます。

次は「5台目には何人乗りますか」と尋ねます。答えは5人で、余りに付く単位は人です。「5台目の空席は何席ですか」に替えれば、6 – 5 = 1で1席です。29人を6人ずつとした同じ式から、「5台」「4台」「5人」「1席」の4種類の答えが出ます。どれも別の量を数えており、問題文の最後を読み違えないかだけを続けて試せます。

別の数字で確かめたいときは、「36枚のカードを8枚ずつ」にしましょう。36 ÷ 8 = 4余り4です。「全部入る箱」は5箱、「8枚入った箱」は4箱、「外に残ったカード」は4枚です。今度は商も余りも4ですが、4箱と4枚は同じ答えではありません。もし子どもが「4」とだけ答えたら、「いま指しているのは箱の絵？ それとも外のカード？」と聞き、数字の後に書く文字を選びます。

「全部で何箱」と「あと何箱」は、同じ数字を書かない

6枚入る箱がすでに4箱机に並び、カードは29枚あります。「カードを全部入れるために必要な箱は全部で何箱ですか」なら、机にある4箱も数えて5箱です。「箱をあと何箱用意しますか」なら、すでにある4箱を数え直す必要はないので、追加する1箱と答えます。どちらにも「箱」という単位が付きますが、全部と追加分は違います。1箱を用意する場面を描くときは、新しく持ってくる箱だけを別の色で囲みます。

次に、同じ大きさの箱が初めから5箱並んでいるとします。29枚なら、6枚ずつ4箱に入れても、残った5枚の置き場所はすでにあります。「使う箱は最も少なくていくつか」は5箱ですが、「あと何箱用意するか」は0箱です。「余りがあるから新しい箱を買う」とは決まりません。計算で出た商・余りが伝えているのは詰め方で、手元にない箱の数は、いま持っている箱の数と比べてから決まります。

さらに、「あと1箱用意する」と「あと1枚必要」は、同じ1でも意味が異なります。前者は机に箱が4箱しかないとき、残った5枚を入れるための箱です。後者は5箱をすべて6枚で満杯にするとき、最後に足すカードです。お子さまが2つの答えを同じ欄に書いたら、「1つ増やすのは入れ物？ それとも中身？」と聞きます。「あと」と書いてあるから引く、と答え方を先に決めず、増やす対象を言葉にしてから式に戻ります。

ノートには「計算」と「答えを決めた理由」を分けて残す

よくあるのは、お子さまが計算を検算して合っていたので丸をつけたのに、文章題の答えだけ直されて戸惑うという場面です。ノートを見ながら「どこから全部やり直す？」ではなく、「計算まで」「問いに合わせるところ」の2つに分けます。計算が合っているなら、式を消して同じわり算をやり直す必要はありません。最後に数えるものと、残りをどうするかだけを確かめます。

ノートの書き方の例は、上から「29 ÷ 6 = 4余り5」「6枚ずつの箱が4箱、外に5枚」「全部入れるので外の5枚用に1箱足して、5箱」です。別の問いに替えたら、上の2行はそのままで、最後だけ「6枚入った箱だけを数えるので4箱」に替えます。どの部分が計算から決まり、どの部分が問いから決まったかが残ります。

保護者の方は、「切り上げるの？」と用語で先に聞く代わりに、「この5は何が5つ？」「5枚を机の上に残したままでも、この答えでいい？」と聞けます。お子さまが「残してもいい」と答えたら、問いの中に「全部」と「満杯」のどちらがあるかを一緒に探します。初めから正しい語が思い出せなくても、「これは全部をしまう問題だから、残したままでは終われない」と言えれば、もう1箱に進む理由になります。

教室で質問するときは、「29 ÷ 6で4余り5になるのはわかります。最後が4箱になる問題と5箱になる問題で、どの文を見ればいいですか」と聞けます。家で問いを読み直しても、商と余りを何として数えたかが混ざるなら、式と箱の絵、それに自分の答えを残しておきましょう。学び方を相談するときの入口は、武蔵野個別指導塾のよくある質問で確認できます。

宮川 涼 Founder

早稲田大学大学院文学研究科哲学専攻修士号修了、同大学大学院同専攻博士課程中退。日本倫理学会員 早稲田大学大学院文学研究科にてカント哲学を専攻する傍ら、精神分析学、スポーツ科学、文学、心理学など幅広く研究に携わっている。

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