大学入試数学 平方数の二つの余り条件—別々の法の必要条件を重ねて候補を削る｜武蔵野個別指導塾

2つの法で候補を絞り、元の式に戻して判定する鍵は平方数の余り条件です。

よくあるのは、高校生が演習の解き直しで、平方数になるための余り条件に合った数をそのまま解と答える場面です。たとえば、ある式の値が複数の法で平方数と同じ余りになっても、その値が実際に整数の平方とは限りません。余りの表は候補を捨てる道具です。最後に元の式へ戻り、平方になるかどうかを整数の計算で判定します。

何を候補として残すのか

平方数を含む問題では、まず文字が整数か、非負整数か、どこまでの範囲にあるかを確認します。ここでは自然数を1以上の整数と呼び、0を含む場合は非負整数と書きます。式の値が平方数であるとは、ある整数の2乗に等しいことです。平方する整数の符号は変えても値が同じなので、平方根の候補は非負に取れます。

問いには、範囲内の整数を全部求める型、条件を満たす整数がないと証明する型、平方数になるために文字が満たす条件を示す型があります。いずれも初めに平方数の余りを調べ、元の式に代入した余りと照合します。法を1つ使って残る候補が多ければ、もう1つの法でさらに削ります。

ただし、調べた法で矛盾が出なかったことと、元の式を満たすことは別です。候補を求める設問なら、必要条件から得た候補の一覧と、その候補を元の条件へ戻した結果を分けて記します。証明問題で候補が空になった場合は、そこで矛盾が完成します。候補が残った場合は別の確認が必要です。

平方の表を重ねると何が言えるか

正の整数 m について、整数 a と b の差が m の倍数であるとき、a と b は m を法として合同といい、a ≡ b（mod m）と書きます。a = b + mk と書けるので、整数 k に対して次が成り立ちます。

a² = (b + mk)²
   = b² + m(2bk + mk²)

したがって a² と b² の差も m の倍数です。整数を m で割った余りは 0 から m − 1 のいずれかなので、その全てを2乗して割った余りを調べれば、平方数の余りを尽くせます。負の整数もこの余りのいずれかに入ります。

4を法とする平方の余りは0か1、3を法とする平方の余りも0か1です。見た目は同じ集合ですが、割る数が異なるため、文字に課される条件は異なります。式をそれぞれの法で調べ、両方を満たす文字だけを残します。

図1のように、別々の表から得た条件は共通部分を取ります。どちらか一方に入る候補を全部集めると、もう一方の条件に反する数が混ざります。

図1の右端に残った候補も、まだ解とは限りません。平方の余りが許されるという情報は、その数の一部分しか見ていないためです。たとえば13は4で割ると1余り、3で割っても1余りますが、3² = 9、4² = 16の間にあり平方数ではありません。

法の選択では、式の係数や定数を見ます。4を使うと偶奇による平方の違いが現れ、3を使うと3の倍数かどうかで平方の余りが変わります。一方、どちらの法でも全ての文字が残る式なら、その表をいくら繰り返しても候補は減りません。別の法を試すか、平方の差の因数分解や範囲の評価へ進みます。

基本例題：残った数を平方の間で調べる

【基本・標準】0以上20以下の整数 n について、n² + 5 が平方数となる n を全て求めてください。答えは整数の一覧で示します。

平方数であると仮定し、ある非負整数 x を用いて x² = n² + 5 と置きます。まず4を法とすると、n が奇数の場合は次のようになります。

n² ≡ 1（mod 4）
n² + 5 ≡ 1 + 1（mod 4）
n² + 5 ≡ 2（mod 4）

平方数の余り0、1のどちらでもないため、n は偶数です。次に3を法とすると、n が3の倍数なら次のようになります。

n² ≡ 0（mod 3）
n² + 5 ≡ 0 + 2（mod 3）
n² + 5 ≡ 2（mod 3）

これも平方数の余りにありません。よって n は3の倍数ではありません。範囲内の偶数から3の倍数を除くと、候補は 2、4、8、10、14、16、20 です。図2のように、範囲を先に示した上で両方の条件を適用します。

候補を元の式へ戻すと、順に 9、21、69、105、201、261、405 です。9 = 3² です。残りはそれぞれ次の連続する整数の平方の間にあります。

4² < 21 < 5²
8² < 69 < 9²
10² < 105 < 11²
14² < 201 < 15²
16² < 261 < 17²
20² < 405 < 21²

平方する非負整数は、隣り合う整数の間にありません。したがって答えは n = 2 です。元の式に戻すと 2² + 5 = 9 = 3² で、範囲にも入ります。

別の方法として、x² − n² = 5 を因数分解できます。x > n ≥ 0 なので、x − n と x + n は正の整数です。積が5になる組は (1, 5) に限られ、x = 3、n = 2 が得られます。範囲が広いときにはこの方法が短くなりますが、2つの法を使う方法では、平方条件がどの候補を排除するかを明示できます。

条件が重なった後の判断を変える

【標準・やや難】0以上30以下の整数 n について、n² + 7 が平方数となる n を全て求めてください。答えは整数の一覧で示します。

n² + 7 = x² とし、x を非負整数とします。4を法とすると、n が偶数なら n² + 7 の余りは3で、平方数になりません。n は奇数です。3を法とすると、n が3の倍数でない場合は平方の余りが1なので、式の余りは2です。これも不可能です。したがって n は3の倍数でもあります。

この範囲で条件を満たす候補は 3、9、15、21、27 です。しかし、ここからさらに一覧で平方を調べなくても、正の因数に分けられます。

x² - n² = 7
(x - n)(x + n) = 7

x² = n² + 7 > n² で、x と n は非負ですから x > n です。よって両因数は正の整数で、積が7です。7の正の約数を調べると次の組に限られます。

x - n = 1
x + n = 7
2x = 8
x = 4
n = 3

必要条件から得た候補のうち、因数分解で実際に成立する数を絞りました。逆に 3² + 7 = 16 = 4² で、3は指定範囲に入るので、答えは n = 3 です。正の因数の組を尽くしたため、他の候補に解がないことも示せます。

この解法で x > n を書く理由は、因数の符号を決めるためです。符号を確かめずに正の約数だけを並べると、負の因数の組を除いた根拠が残りません。また、余り条件を使う前に因数分解しても解けますが、係数が異なる平方の差では同じ形に分けられないことがあります。その場合は範囲内で残った候補を直接調べる方法が使えます。

【発展・難】0以上12以下の整数 n について、2n² + 3 が平方数となる n を全て求めてください。答えは整数の一覧で示します。

2n² + 3 = x² とし、x を非負整数とします。n が偶数なら n² は4の倍数なので、右辺の式は4で割って3余ります。平方数の余りに3はありませんから、n は奇数です。次に3を法とし、n が3の倍数でないと仮定すると、n² の余りは1です。

2n² + 3 ≡ 2・1 + 0（mod 3）
2n² + 3 ≡ 2（mod 3）

平方数は3で割って2余らないため、この場合も不可能です。n は3の倍数で、かつ奇数です。0以上12以下では n = 3、9 が残ります。元の式を計算します。

2・3² + 3 = 21
4² < 21 < 5²
2・9² + 3 = 165
12² < 165 < 13²

どちらも平方数ではないので、求める整数はありません。空の答えも、候補を尽くした後にそれぞれが不適であることを示せば確定します。余りの表に矛盾がないという理由で3や9を解にしてはいけません。

2n² + 3 は、整数係数の2つの一次式の差の平方として基本例題と同じようには扱えません。無理に平方の差へ変えず、与えられた範囲で候補が有限になったことを利用します。範囲が与えられていなければ、3と9の確認だけで全てを判定したことにはならず、別の論証が必要です。

余りが合う候補を解とした答案を直す

発展例題で「n は奇数かつ3の倍数だから、答えは 3、9」と書いたとします。条件の重ね方は正しくても、結論が早すぎます。余りの表は、元の式が平方数なら候補がその条件を満たす、としか述べていません。逆向きに、条件を満たせば平方数になるとは言えません。

図3のように候補を元の式へ戻す行を挿入します。3に対して21、9に対して165となり、いずれも隣り合う平方数の間です。

図3の矢印は、候補を検証する順序を表します。元の式を調べた結果が不適でも、表の計算が失敗したわけではありません。表は解でない候補を残すことがあり、その役割は必要条件による絞り込みです。

別の誤りは、4の条件から残る数と3の条件から残る数を足し合わせることです。求める数は両条件を同時に満たすので、一覧の共通部分を取ります。さらに、範囲の端を落とす誤りにも注意します。0を含む問題では、0が各条件に合うかを他の数と同じように調べます。

平方の表は正の余りだけで作っても負の整数を排除しません。負の数を正の法で割った余りも0以上、法未満に取れるからです。一方、問題が非負整数に限られていれば、負の候補を答えに加えてはいけません。余りの議論と、文字に与えられた範囲の確認は別々に行います。

練習：条件と原式の両方を確かめる

次の5問は、いずれも指定された範囲の整数を全て求め、整数の一覧で答えてください。該当する整数がない場合は、そのことを示してください。平方数は0を含む整数の2乗とします。

1. 【標準】0以上20以下の整数 n で、n² + 11 が平方数となるもの。
2. 【標準】0以上20以下の整数 n で、n² + 15 が平方数となるもの。
3. 【やや難】0以上18以下の整数 n で、2n² + 5 が平方数となるもの。
4. 【やや難】0以上15以下の整数 n で、3n² + 7 が平方数となるもの。
5. 【難】0以上30以下の整数 n で、n² + 21 が平方数となるもの。

練習の答えと考え方

1. 答えは 5 です。4を法とすると、偶数の平方に11を足した余りは3なので、n は奇数です。3を法とすると、3の倍数では式の余りが2になるため、n は3の倍数ではありません。残る候補は 1、5、7、11、13、17、19 です。x² = n² + 11 と置けば x > n ≥ 0 で、次のように正の因数に分けられます。

(x - n)(x + n) = 11
x - n = 1
x + n = 11
x = 6
n = 5

11の正の約数は1と11です。逆に 5² + 11 = 36 = 6² で、範囲と両方の余り条件にも合います。

2. 答えは 1、7 です。4を法とすると n は奇数です。3を法とすると n² + 15 は n² と同じ余りなので、どの n も排除されません。2つ目の表が候補を減らさない場合です。x² = n² + 15 として正の因数に分けます。

(x - n)(x + n) = 15
(x - n, x + n) = (1, 15), (3, 5)

前者から (x, n) = (8, 7)、後者から (x, n) = (4, 1) です。1² + 15 = 16、7² + 15 = 64 です。どちらも平方数で範囲内にあり、正の因数の組を尽くしたので他にはありません。

3. 答えはありません。4を法とすると、n が奇数なら 2n² + 5 の余りは3なので、n は偶数です。3を法とすると、n が3の倍数なら式の余りは2なので、n は3の倍数ではありません。範囲内の候補は 2、4、8、10、14、16 です。

2・2² + 5 = 13
2・4² + 5 = 37
2・8² + 5 = 133
2・10² + 5 = 205
2・14² + 5 = 397
2・16² + 5 = 517

順に 3² と4²、6² と7²、11² と12²、14² と15²、19² と20²、22² と23² の間です。候補のどれも元の平方条件を満たしません。

4. 答えはありません。4を法とすると n が偶数なら余りは3なので、n は奇数です。ところが3を法とすると、どの n でも 3n² + 7 の余りは1であり、この条件は候補を減らしません。奇数の平方は8で割ると1余ることを確かめます。奇数を 2k + 1 とすると、k と k + 1 の一方は偶数です。

(2k + 1)² = 4k(k + 1) + 1
(2k + 1)² ≡ 1（mod 8）
3n² + 7 ≡ 3 + 7（mod 8）
3n² + 7 ≡ 2（mod 8）

8を法とする平方の余りは、0から7を2乗して調べると 0、1、4 です。2は含まれないので、残った奇数も不適です。したがって範囲内に解はありません。

5. 答えは 2、10 です。4を法とすると、n が奇数なら n² + 21 の余りが2なので n は偶数です。3を法とすると n² + 21 は n² と同じ余りであり、候補は減りません。x² = n² + 21 と置き、x > n ≥ 0 を使って次の正の因数の組を尽くします。

(x - n)(x + n) = 21
(x - n, x + n) = (1, 21), (3, 7)

それぞれ (x, n) = (11, 10)、(5, 2) です。逆に 10² + 21 = 121 = 11²、2² + 21 = 25 = 5² です。いずれも指定範囲に入り、元の式を満たします。

答案に残す要点

• 平方の余り表は、法ごとに余りを全て2乗して作ります。
• 各法の必要条件を同時に満たす候補を残します。
• 条件が候補を減らさない法もあります。
• 残った候補は元の式に戻し、平方かどうかを示します。
• 範囲と端点を明記し、候補を尽くした理由を書きます。

どの行で止まっているかを見分ける

余り表は作れるのに答えが増えすぎるときは、候補の行と元の式の行を分けて書いてみます。個別指導で式を確かめるなら、まず「この候補は両方の条件を満たすか」、次に「代入後の値はどの2つの平方の間か」と順に尋ねると、必要条件と十分性の区別を追えます。候補が空なら、どの法のどの余りが矛盾したかを言葉で示します。

余りの表が与えるのは候補の境界であり、元の式への代入が答えを決めます。平方数かどうかを最後の整数計算まで追うことで、残った数と解との違いが明確になります。