大学入試数学 合同式の法の選択—係数と平方の余りを見て調べる法を決める｜武蔵野個別指導塾

平方の余りと係数を比べ、法を変えると整数解の候補がどう絞れるかを追う合同式の法の選択。

よくあるのは、高校生が演習の解き直しで思いついた法を変えずに計算を続けるという場面です。余りの表は正しく作れていても、両辺の候補が重なったままで先に進まないことがあります。そのときは計算を長くする前に、式の係数と平方の余りを見直します。法を変えると、同じ等式から別の必要条件を取り出せます。

どの条件を残したいか

整数の方程式では、解が存在しないことの証明、解の候補を絞ること、ある整数の組が満たす条件の証明という問いがあります。最初に見るのは、文字が整数であることと、平方の前にある係数です。係数の倍数を法にすれば、その項が余りの上で消えます。残った項の取りうる余りと定数の余りが食い違えば、解はありません。

ただし、食い違わないときに言えるのは、その法では矛盾が出なかったということまでです。解があるかどうかは別に調べます。解を求める問題では、残った候補を元の式に戻し、必要なら大小や別の条件も使います。以下では自然数を1以上の整数としますが、平方の余りの議論は負の整数と0にも適用します。

余りの表から法を選ぶ

正の整数 m に対し、整数 a と b の差 a − b が m の倍数であるとき、a と b は m を法として合同といい、a ≡ b と書いて法を添えます。負の整数でも、m で割った余りを 0 以上 m 未満に取れます。差が倍数という定義を使えば、同じ法について合同な式を足したり、整数倍したりできます。

積についても、a ≡ b、c ≡ d なら ac − bd = (a − b)c + b(c − d) は m の倍数です。したがって ac ≡ bd です。特に同じ整数の平方も合同です。これが元の等式を余りの表へ移せる理由です。元の等式なら必ず合同式が成立しますが、逆に合同式が成立しても差が0とは限りません。

例えば整数の平方を 4 で調べると、元の整数の余り 0、1、2、3 に対応する平方の余りは順に 0、1、0、1 です。平方の余りは 0 または 1 に限られます。一方、3 で調べると余り 0、1、2 の平方は順に 0、1、1 です。どちらも表は小さいものの、係数や定数に合うかで有効性が変わります。

図1のように、まず候補の集合を作り、式の左右で重なるかを見ます。表は負の整数も含めて全余りを尽くしているため、表にない余りを持つ平方はありません。反対に、表の中にある余りなら実際にその余りを持つ平方がありますが、それが元の方程式の解を作るとは限りません。

法の選択には二つの目印があります。一つは、係数の倍数を法にして項を消すことです。もう一つは、平方の余りが少ない法を使うことです。両方の目印が同じ法を指せば試しやすくなります。小さい法で比較しても候補が重なる場合には、より細かい余りを見るか、係数を消せる別の法を試します。

たとえば法を係数そのものに選んでも、残った平方が右辺の余りを取れるなら、その一手では矛盾しません。そこで得られた偶奇や倍数の条件を記録し、元の式に戻して使います。逆に、表のどの行も右辺と合わなければ、個々の整数の大きさを調べる必要はありません。どちらの結果も次の行動を決める情報になります。

法を大きくすれば常に良いわけではありません。表が長くなるうえ、不要な区別も増えるからです。逆に小さすぎる法では、異なる整数が同じ余りにまとまり、違いを検出できない場合があります。目的は法そのものを決めることではなく、元の条件から答案に使える制限を引き出すことです。

基本例題：消える係数を利用する

例題1（標準）　整数 x、y について、x² + 4y² = 7 を満たす組が存在しないことを証明してください。

4y² の係数に注目し、まず法を4にします。右辺の余りは3で、平方の余りの一覧にはありません。図2のように、y の値にかかわらず 4y² は 4 の倍数です。

仮に整数解があるとします。等式を法4で見ると、

x² + 4y² ≡ 7
x² ≡ 3

ここで各合同式の法は4です。しかし整数 x の余りを 0、1、2、3 と分けると、x² の余りは 0、1、0、1 です。3 にはならないため矛盾します。したがって整数解は存在しません。

図2の左側にある二つの候補は、x が偶数か奇数かに対応します。右側の3はどちらにも一致しません。y の値をいくら試しても結果が変わらない理由は、消えた項が常に4の倍数だからです。表を用いる代わりに、偶数を 2k、奇数を 2k + 1 と置いて平方しても同じ結論になります。

一方、法2では右辺は1、左辺は x² と同じ余りなので、x が奇数という必要条件が残ります。これは正しい観察ですが、矛盾ではありません。法2の計算が失敗したのではなく、元の条件の差を識別するには情報が粗かったのです。法4へ変えて初めて、奇数の平方が 4 で割ると1余ることが効きます。

法を比較し、候補を元の式に戻す

例題2（やや難）　整数 x、y について、x² + 3y² = 14 を満たす組が存在しないことを証明してください。法2と法3の排除力も比較してください。

法2では平方の余りは0または1です。右辺は0なので、x と y がともに偶数、またはともに奇数なら余りの条件が合います。この段階では排除できません。法3では係数3の項が消えるため、

x² + 3y² ≡ 14
x² ≡ 2

となります。ここで法は3です。整数の余り 0、1、2 の平方は順に 0、1、1 なので、平方の余りが2になることはありません。よって整数解は存在しません。

この例では法3が係数と平方の両方に合っています。法2で候補が残ったことは、法3による矛盾と食い違いません。解があるなら法2の条件と法3の条件を両方満たす必要がありますが、後者を満たせないためです。法2で見つけた余りの組は、元の等式の解ではなく必要条件を満たす組です。

例題3（難）　整数 x、y が x² + 4y² = 20 を満たすとき、整数の順序対 (x, y) をすべて求めてください。

例題1と同じく法4を使います。ただし今度は右辺が4の倍数なので矛盾は出ません。平方の表から、x² が4の倍数なら x は偶数です。そこで整数 a を用いて x = 2a と置きます。これを元の式に代入すると、

4a² + 4y² = 20
a² + y² = 5

となります。ここでは等式の両辺を0でない整数4で割っています。合同式の両辺だけを割って法を変えずに残す操作とは異なります。

平方は非負なので a² ≤ 5、y² ≤ 5 です。3² = 9 > 5 より |a| ≤ 2、|y| ≤ 2 です。この有限範囲で平方に使える値は0、1、4です。和が5となるのは 1 + 4 と 4 + 1 ですから、

(a, y) = (1, 2), (1, -2), (-1, 2), (-1, -2)
(a, y) = (2, 1), (2, -1), (-2, 1), (-2, -1)

です。x = 2a に戻し、答えは

(x, y) = (2, 2), (2, -2), (-2, 2), (-2, -2)
(x, y) = (4, 1), (4, -1), (-4, 1), (-4, -1)

です。各組は x² が4または16、4y² が16または4なので、元の左辺は20になります。逆に、どの解も偶数の x から始めた有限の一覧に入るため、漏れはありません。

別の進め方として、最初から x² ≤ 20、4y² ≤ 20 として有限個を調べることもできます。その場合も各上限の根拠を先に書きます。合同式は偶数という絞り込みを与えますが、それだけでは候補を解と断定できません。実際、x = 0 は偶数でも、元の式には整数 y を与えません。法によって得た条件の役割を明確にすると、必要性と十分性を混同せずに済みます。

余りが合ったところで止めない

誤答として、例題1を法2で調べ、「x が奇数なら両辺の余りが一致するので解がある」と結論したとします。例えば x = 1、y = 0 では左右の余りは一致しますが、元の左辺は1であって7ではありません。合同は差が2の倍数という意味であり、差が0という意味ではないためです。

図3のように、余りが一致した枝は「未判定」として残します。解なしを示したいなら別の法で矛盾を探し、解を求めたいなら残った整数の候補を元の等式に代入します。法4では平方の余りと右辺の余りが一致せず、この枝を閉じられます。

もう一つの失敗は、平方の表に負の数を別途加えなければならないと思うことです。例えば -1 は4で割ると余り3で、その平方の余りは表の3の行に含まれます。整数の余りを全行挙げたことを示せば、正負を別々に無限個試す必要はありません。

係数を消す法が有効でも、消えた項が元の式で0になったわけではありません。4y² は法4で0と合同ですが、y = 2 なら実際の値は16です。この区別を保つと、例題3で法4の情報から元の等式へ戻る手順が自然になります。

練習：どの法が役立つか

各問で整数を扱い、合同式には用いる法を明記してください。解なしを問う場合は、その証明を答えてください。

1. （標準）整数 x、y について x² + 8y² = 11 を満たす組がないことを証明してください。法4を使います。
2. （標準）整数 x、y について x² + 5y² = 8 を満たす組がないことを証明してください。法5を使います。
3. （やや難）整数 x、y について x² + 6y² = 15 を満たす組が存在するか判定してください。法2で排除できるかを先に調べ、次に法3を試します。
4. （やや難）整数 x、y が x² + 9y² = 18 を満たすとき、整数の順序対をすべて求めてください。
5. （難）整数 n について、n² + 2 が4の倍数にならないことを証明してください。また、法2だけで結論できるか説明してください。

練習の答えと考え方

1. 法4では 8y² ≡ 0、11 ≡ 3 です。したがって解があれば x² ≡ 3 ですが、平方の余りは0または1なので矛盾します。元の等式が成り立つならその合同式も成り立つため、整数解はありません。

2. 法5で整数の余り 0、1、2、3、4 を平方すると、余りは順に 0、1、4、4、1 です。係数5の項は消え、解があれば x² ≡ 3 となります。3 は表にないので矛盾し、元の等式を満たす組はありません。右辺8の法5での余りを3とする点が計算の要です。

3. 法2では右辺は1、6y² は0と合同です。x が奇数なら余りが合うため、この法だけでは排除できません。法3に変えると、解があれば

x² ≡ 15
x² ≡ 0

です。これは矛盾しません。さらに法4では 6y² の余りは y が偶数なら0、奇数なら2です。平方の余り0、1と足すと左辺の候補は0、1、2、3となり、右辺の余り3も残ります。実際に x = 3、y = 1 は 9 + 6 = 15 を満たします。したがって求める組は存在します。解を1組示して元の式へ戻すことが存在の証明です。

4. 法3で x² ≡ 0 なので x は3の倍数です。x = 3a とすると 9a² + 9y² = 18、よって a² + y² = 2 です。両平方は非負で、それぞれ2以下なので、取りうる値は0または1です。和が2になるには両方とも1です。答えは (x, y) = (3, 1), (3, -1), (-3, 1), (-3, -1) です。いずれも元の左辺は9 + 9 = 18です。

5. 法4における n² の余りは0または1なので、n² + 2 の余りは2または3です。どちらも0でないため4の倍数ではありません。法2では n が偶数なら n² + 2 の余りが0となります。この情報だけでは4の倍数である可能性を排除できません。奇数の場合だけ法2で排除できることと、全整数での結論を分けます。

手元に残す判断

• 合同とは差が法の倍数になることです。
• 係数で消える項と、平方の余りの候補を照合します。
• 余りが一致しても元の等式の解とは限りません。
• 法を変えて矛盾を探し、解の候補は元の条件へ戻します。
• 有限に調べるときは範囲の根拠と各候補の確認を示します。

どこで止まったかを見分ける

個別指導で答案を確かめるなら、まず選んだ法の余りを全行書けているかを見ます。次に、消した項が法の倍数である理由と、残った余りが元の式にとって必要条件にすぎない理由を口に出して説明します。表が合っていても結論が出ない場合は、係数を見て別の法を選び直し、候補が残った場合は代入の行まで追います。法の選択は、矛盾を探す道筋と解を確かめる道筋を分けます。