大学入試数学 因数分解と零積の場合—積が零になる枝も分けて整数解を尽くす｜武蔵野個別指導塾

定数項を移して積に直し、0で割って失う解と正負の約数の組を調べ、零積を追う。

よくあるのは、高校生が演習の解き直しで、式の両辺を因子で割った後、その因子が0になる解を消していたと気づく場面です。計算は滑らかでも、割る前に0かどうかを調べなければ、答案には穴が残ります。積の形が見えたときは、まず右辺を見て、0とそれ以外を分けましょう。整数解を求める問題では、変形後の候補を元の式へ戻すところまでが一続きです。

どの条件を最初に見るか

2つの整数 x, y を含む式に xy と一次の項が並ぶとき、定数を移し、両側に同じ数を加えると積に直せることがあります。例えば xy + ax + by = c なら、展開を確かめて

xy + ax + by + ab = c + ab
(x + b)(y + a) = c + ab

とします。ここで a, b, c は整数です。右辺が0なら、どちらかの因子が0となる場合を分けます。右辺が0でなければ、2つの因子はともに0でなく、その積に等しい数の正負の約数の組を調べます。

設問には、整数の順序対をすべて求める形と、正整数や範囲などの条件を追加する形があります。後者でも最初に元の条件を書き留め、積の候補を作ってからその条件を使うと、除外の理由を示せます。順序対では、先に書く数と後に書く数を入れ替えたものは一般に別の答えです。

積が0かどうかで何が変わるか

整数 A, B について AB = 0 なら、A = 0 または B = 0 です。実際、A が0でない場合は、積が0になるには B = 0 でなければなりません。「または」は両方が0の場合も含みます。その重なりを別々に書いても同じ順序対を重複して数えないようにします。

一方、AB = N で N が0でないとき、A は N を割る整数です。正の約数だけでなく負の約数も考えます。N が正なら因子の符号は同じ、負なら異なります。A を1つ選べば B = N/A は定まり、有限個の候補を尽くせます。約数を列挙する方法は N = 0 には使えません。0はすべての非零整数で割り切れ、因子が0の枝にはもう一方の整数が自由に動く場合があるからです。

図1のように、右辺の条件と候補の作り方を対応させます。どちらの枝でも、x, y が整数という元の条件と、変形前の等式を最後に確認します。

積を作るために加えた数は、左辺と右辺の両方に加えます。片方だけに加えると別の方程式です。また、因子が整数であることが約数列挙の前提です。因子から x, y に戻すときに割り算が必要な形では、得られた値が整数かも調べます。

基本例題：0になる因子を残す

【例題1・標準】整数 x, y の順序対で、xy + 2x − 3y = 6 を満たすものをすべて求めてください。整数 t を使う形で答えます。

左辺の xy + 2x − 3y は (x − 3)(y + 2) の定数項を除いた部分です。両辺から6を引くと、次の同値変形になります。

xy + 2x - 3y - 6 = 0
(x - 3)(y + 2) = 0

図2のように、左の因子が0になる場合と右の因子が0になる場合を両方調べます。どちらか一方を割ってはいけません。

x - 3 = 0 のとき x = 3
y + 2 = 0 のとき y = -2

したがって答えは (x, y) = (3, t) または (t, -2) です。ただし t は任意の整数です。(3, -2) は両方に含まれますが、解の集合としては重複を1つに扱います。

元の式へ戻します。x = 3 なら左辺は 3y + 6 − 3y = 6、y = -2 なら左辺は -2x + 2x + 6 = 6 です。いずれも任意の整数を代入でき、逆に零積の性質から他の解はありません。必要性と十分性が両方そろいました。

図2の2本の枝は、左の因子が0で右は任意、右の因子が0で左は任意、という意味です。両方が0になる交点も含みます。有限個の候補を並べようとするとこの自由な変数を見落とすので、文字で表します。

零積の答えを2本の式で表すとき、片方の変数が自由である理由も確認しましょう。x = 3 の枝では x − 3 が0なので、y + 2 がどんな整数でも積は0です。y = -2 の枝も同様です。自由に動く文字を特定の数に固定すると、その数に対応する解しか表せません。反対に、両方の変数を無条件に自由とすれば、どちらの因子も0でない組まで含めてしまいます。

解が存在することは、各枝に整数を代入して確認できます。解がこの形以外にないことは、零積の性質が保証します。いくつかの値を試して枝を予想することはできますが、試した値以外を排除する理由にはなりません。有限の表と一般の証明の役割を区別して書きます。

非零の積では約数の組を尽くす

【例題2・やや難】整数 x, y の順序対で、xy − x + 2y = 4 を満たすものをすべて求めてください。

両辺に -2 を加えると、積が現れます。

xy - x + 2y - 2 = 2
(x + 2)(y - 1) = 2

右辺は非零なので x + 2 は2の整数の約数です。符号を含めると 1, 2, -1, -2 の4つです。それぞれに対応する y − 1 を計算し、元の変数に戻します。

(x + 2, y - 1) = (1, 2) のとき (x, y) = (-1, 3)
(x + 2, y - 1) = (2, 1) のとき (x, y) = (0, 2)
(x + 2, y - 1) = (-1, -2) のとき (x, y) = (-3, -1)
(x + 2, y - 1) = (-2, -1) のとき (x, y) = (-4, 0)

この4組が答えです。変形した積に戻すと順に 1・2、2・1、(-1)・(-2)、(-2)・(-1) となり、すべて2です。変形は両辺に同じ数を加えた等式なので、元の式にも戻ります。例えば (-1, 3) では -3 + 1 + 6 = 4 です。

別の見方は、x + 2 = d と置き、d を2の整数の約数として y − 1 = 2/d とする方法です。この置き方は候補が多いときに便利です。ただし d = 0 は許されず、2/d が整数になる d に限ります。右辺が0の例題1に同じ割り算を適用すると、x + 2 に相当する因子が0となる枝を落とします。

係数があるときは整数に戻せるか

【例題3・難】整数 x, y の順序対で、2xy + 3x − 2y = 9 を満たすものをすべて求めてください。

両辺を2倍し、積の形に必要な定数を加えます。2倍する前後は等式として同値です。

4xy + 6x - 4y = 18
4xy + 6x - 4y - 6 = 12
(2x - 2)(2y + 3) = 12

2x − 2 は偶数、2y + 3 は奇数です。積が12なので、後者は12の奇数の整数約数 1, 3, -1, -3 のいずれかです。積から前者を定め、各組を戻します。

(2x - 2, 2y + 3) = (12, 1) のとき (x, y) = (7, -1)
(2x - 2, 2y + 3) = (4, 3) のとき (x, y) = (3, 0)
(2x - 2, 2y + 3) = (-12, -1) のとき (x, y) = (-5, -2)
(2x - 2, 2y + 3) = (-4, -3) のとき (x, y) = (-1, -3)

答えはこの4組です。積の値は順に 12, 12, 12, 12 です。元の式でも順に -14 + 21 + 2、0 + 9 − 0、20 − 15 + 4、6 − 3 + 6 となり、いずれも9です。奇数の約数を尽くしたため、他の整数解はありません。

ここでは偶奇で候補を減らしました。約数の組を全部列挙してから x = (A + 2)/2、y = (B − 3)/2 が整数か調べても同じ結論です。積が12という条件だけでは、例えば B = 2 に対する y は整数になりません。因子の組が見つかったことと、元の変数が整数であることは別の確認です。

右辺が文字で、値によって0にも非零にもなりうる場合は、文字の値を固定する前に約数で割ってはいけません。まず積の右辺が0となる値を分け、それ以外の値で約数を用います。さらに、追加の大小条件があれば、各枝から得られる順序対にその条件を適用します。因数分解だけで大小条件が自動的に満たされるわけではありません。

因数分解の形が複数見つかる場合でも、元の等式と同値な変形でつながっていれば答えは一致します。見比べるときは、各因子の符号を同時に変えると積が変わらない点にも注意します。符号を一方だけ変えた式では積の符号が反転するため、そのまま同じ右辺に結びつけることはできません。

また、積の右辺が非零なら解の数が有限になるのは、固定された非零整数の約数が有限個だからです。各約数について相手の因子は1つに定まります。ただし、元の変数が整数に戻らない候補を除く必要があるため、約数の個数と解の個数が常に等しいとは限りません。候補を作る段階と、条件に合うと確かめる段階を分けておきます。

割り算で消えた枝をどう直すか

例題1で (x − 3)(y + 2) = 0 の両辺を x − 3 で割ると、y = -2 だけが残ります。しかし x − 3 = 0 の場合には、その割り算は定義されません。例えば (3, 0) は元の式を満たしますが、y = -2 の枝には入りません。

図3のように、割る前に因子が0の場合と0でない場合に分けると、この欠落を防げます。0でない場合に限って割れば y = -2 を得ますが、0の場合にも x = 3 という枝が必要です。

逆の失敗は、積が非零なのに一方の因子を0とすることです。その場合、積は必ず0なので元の等式に反します。さらに、正の約数だけを調べると、負の因子どうしの組を落とします。右辺が負なら片方ずつ符号が異なる2方向を調べてください。候補を出した後に原式へ戻すと、符号や移項の誤りも見つけやすくなります。

練習問題

いずれも x, y は整数です。順序対をすべて求め、無限にあるときは任意の整数 t を用いて表してください。

1. 【標準】xy − 4x + y = 4 を満たす (x, y) を求めてください。
2. 【標準】xy + 3x − y = 3 を満たす (x, y) を求めてください。
3. 【やや難】xy + x + 2y = 1 を満たす (x, y) を求めてください。
4. 【やや難】xy − 2x − y = 4 を満たす (x, y) を求めてください。
5. 【難】2xy + x + 2y = 2 を満たす (x, y) を求めてください。

答えと解き方

1. 両辺から4を引きます。

xy - 4x + y - 4 = 0
(x + 1)(y - 4) = 0

答えは (-1, t) または (t, 4) です。元の左辺はそれぞれ -y + 4 + y = 4、4x − 4x + 4 = 4 となります。両方の枝を尽くし、重なる (-1, 4) も含みます。

2. 両辺から3を引きます。

xy + 3x - y - 3 = 0
(x - 1)(y + 3) = 0

答えは (1, t) または (t, -3) です。元の左辺はそれぞれ y + 3 − y = 3、-3x + 3x + 3 = 3 です。

3. 両辺に2を加えます。

xy + x + 2y + 2 = 3
(x + 2)(y + 1) = 3

因子の組は (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1) です。答えは (-1, 2), (1, 0), (-3, -4), (-5, -2) です。それぞれの因子の積は3で、定数2を戻すと元の左辺は1です。

4. 両辺に2を加えます。

xy - 2x - y + 2 = 6
(x - 1)(y - 2) = 6

因子の組は (1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1), (-1, -6), (-2, -3), (-3, -2), (-6, -1) です。答えは (2, 8), (3, 5), (4, 4), (7, 3), (0, -4), (-1, -1), (-2, 0), (-5, 1) です。各因子の積は6なので、加えた2を引けば元の左辺は4です。

5. 両辺を2倍してから2を加えます。

4xy + 2x + 4y = 4
4xy + 2x + 4y + 2 = 6
(2x + 2)(2y + 1) = 6

後ろの因子は奇数なので 1, 3, -1, -3 です。対応する因子の組は (6, 1), (2, 3), (-6, -1), (-2, -3) となります。答えは (2, 0), (0, 1), (-4, -1), (-2, -2) です。原式の左辺は順に 0 + 2 + 0、0 + 0 + 2、8 − 4 − 2、8 − 2 − 4 で、すべて2です。奇数の約数を尽くしているので他の整数解はありません。

覚えておくこと

• 積を作るときは、両辺に加える定数をそろえます。
• 右辺が0なら、各因子が0の枝を調べます。
• 右辺が非零なら、正負の約数の組を尽くします。
• 因子から戻した変数が整数か、元の条件と式で確かめます。

手が止まったときの点検

積の形を作れないときは、展開して xy と一次の項が元の式に戻るかを見ます。因子で割りたくなったときは、その因子が0の行を先に書きます。個別指導で答案を確認するなら、右辺が0の場合に自由に動く変数を指し、非零の場合には負の約数の行と原式への代入を一緒に確かめると、抜けた推論の位置が見えます。零積の2つの枝を残すことで、解の集合は初めて尽くされます。