高校物理 熱力学 等温変化の熱と仕事—温度一定でも熱が出入りする理由を収支で示す｜武蔵野個別指導塾

ピストンの膨張と圧縮を比べ、温度が一定の気体に出入りする熱を仕事の符号から読み解く等温変化。

よくあるのは、高校生がピストンの動く容器を見て、温度計が動かなければ熱も入っていないと考える場面です。気体をゆっくり膨張させて温度が一定に保たれたとき、気体は外へ仕事をします。その分のエネルギーがどこから来たのかを、気体を境界で囲んで考えてみます。温度計の表示と、境界を通るエネルギーの流れは別の量です。

温度が一定の問題で何を読むか

出方の1つは、膨張または圧縮の仕事が与えられ、出入りした熱の向きと大きさを求める型です。もう1つは、圧力と体積の図から仕事を近似し、その値を熱収支に移す型です。さらに、同じ温度の前後の状態を比べて、内部エネルギーと熱の違いを説明する型もあります。いずれも最初に、気体が理想気体として扱えることと、物質量が一定であることを確認します。

温度が一定という情報は、熱の出入りがないという情報ではありません。熱は境界を通るエネルギーの移動であり、温度は気体の状態を表します。例えば膨張して外に仕事をしたのに内部エネルギーが変わらないなら、仕事に等しいエネルギーが熱として入る必要があります。圧縮では逆に、外から仕事を受けた分を熱として外へ渡します。

気体の境界で収支をつける

系を容器内の気体とし、漏れのない一定量の理想気体を考えます。圧力pは絶対圧、体積をV、物質量をn、絶対温度をTとすると、状態方程式はpV = nRTです。Rは気体定数です。等温変化ではnとTが一定なのでpVも一定です。膨張すれば圧力は下がり、圧縮すれば圧力は上がります。

系に入る熱をQ、気体が外へする仕事をWとし、どちらもその向きを正とします。内部エネルギーの変化をΔUとすると第一法則はΔU = Q − Wです。したがってQ = ΔU + Wと書けます。Qが負なら気体から外へ熱が出ており、Wが負なら外部が気体に仕事をしています。

理想気体の内部エネルギーは一定量なら温度で決まります。単原子理想気体なら、分子間の相互作用を無視してU = (3/2)nRTです。この式の係数をすべての気体に使うわけではありません。等温なら始点と終点のTが等しいのでΔU = 0です。第一法則に戻せばQ = Wとなります。これは熱も仕事も0という意味ではなく、符号を含めた両者が等しいという意味です。

図1のように気体を系に取ると、熱が入る矢印と仕事が出る矢印を別々に描けます。ピストンが動き、気体が外部を押す場合にはWが正です。温度を一定に保つには、周囲との熱のやり取りが必要です。温度差が小さくなるように十分ゆっくり進めるモデルでは、その熱の移動と仕事が釣り合う過程を考えられます。

一方、断熱はQ = 0という境界の条件です。等温は温度の条件なので、両者を同義にできません。等温の理想気体で、さらに断熱なら第一法則からW = 0です。仕事のある等温膨張を、熱の出入りのない過程と同時に扱うことはできません。温度計の変化が小さいだけでは、完全な等温か、測定器が変化を捉えられなかったかも区別できません。

仕事が与えられた膨張

例題1

密閉した一定量の理想気体を、温度を一定に保ちながら膨張させます。気体が外へした仕事は240 Jです。内部エネルギーの変化と気体が受け取った熱を、符号付きでそれぞれ有効数字2桁で求めてください。

気体は理想気体で温度が変わらないので、ΔU = 0 Jです。気体が外へ仕事をするためW = 240 Jです。第一法則から次のようになります。

Q = ΔU + W
Q = 0 + 240
Q = 2.4 × 10² J

答えはΔU = 0 J、Q = +2.4 × 10² Jです。正の熱は吸熱を表します。図2のように、入った熱と出た仕事を同じ大きさにすると気体に残る増分は0です。逆に数値を収支へ戻せば240 J − 240 J = 0 Jで、与えられた等温条件と一致します。

仕事が与えられているから熱の数値まで決まります。温度と始終点の体積だけを見て、仕事をpΔVとすることはできません。等温膨張中の圧力は変化するからです。どの圧力を使うかを明記せず、始点の圧力を全区間に掛ければ過大に数えます。

例題2

一定量の理想気体を温度一定でゆっくり圧縮します。外部が気体にした仕事の大きさは360 Jです。気体のする仕事W、気体の受け取る熱Qを符号付きで有効数字2桁で求め、熱の向きを述べてください。

外部が気体にした仕事は、気体が外へした仕事と向きが反対です。したがってW = -360 Jです。等温の理想気体なのでΔU = 0 J、Q = W = -360 Jです。答えはW = -3.6 × 10² J、Q = -3.6 × 10² Jで、気体から360 Jの熱が出ます。収支に戻すと-360 − (-360) = 0 Jです。

別の考え方では、外部からの仕事360 Jが気体に入ります。内部エネルギーが増えないので、同じ360 Jが熱として外へ出ます。この説明でも、符号付きのQは負です。仕事を受ける量の正値と、気体がする仕事Wを途中で取り違えないよう、矢印を描いてから符号を付けます。

曲線の下の面積を見積もる

例題3

一定量の理想気体が準静的に等温膨張し、体積が1.0 × 10⁻³ m³から3.0 × 10⁻³ m³になります。各平衡状態でpV = 300 Jです。体積を1.0 × 10⁻³ m³ずつ2区間に分け、それぞれの左端と右端の圧力を使った長方形で仕事の上限と下限を求めてください。熱Qの範囲もJ単位、有効数字2桁で示します。

状態式から、各体積での圧力は順に3.0 × 10⁵ Pa、1.5 × 10⁵ Pa、1.0 × 10⁵ Paです。いずれもpV = 300 Jに戻ります。圧力は膨張に伴って連続的に下がるので、各区間の左端の高さを使う長方形は曲線より上、右端を使うものは下にあります。

上限 = (3.0 × 10⁵ + 1.5 × 10⁵) Pa・1.0 × 10⁻³ m³ = 450 J
下限 = (1.5 × 10⁵ + 1.0 × 10⁵) Pa・1.0 × 10⁻³ m³ = 250 J

準静的なので、各瞬間の内圧と外圧がほぼ等しく、p-V図の曲線下の面積を仕事として読めます。よって250 J < W < 450 Jです。等温でQ = Wなので、熱も2.5 × 10² J < Q < 4.5 × 10² Jの範囲です。どちらの端点も同じpVを満たし、体積は正です。長方形の上下の評価は近似の幅を示しており、真の面積を450 Jや250 Jと断定するものではありません。

別解として区間をさらに細かく分ければ、それぞれの左端と右端による合計の差を縮められます。幅を細かくするほど、各区間での圧力の変化が小さくなるからです。始点と終点の圧力の平均を全幅に掛ける台形も見積もりには使えますが、曲線が直線とは限らないため、厳密値とは区別します。急激な膨張では途中の気体全体に1つの内圧を割り当てられないことがあり、この面積の読み方をそのまま使えません。一般に境界の仕事を考える際には外圧と境界の変位を確認します。

高校の範囲を超える補足

準静的な理想気体の等温変化では、圧力を体積について積分するとW = nRT ln(V₂/V₁)です。lnは自然対数です。膨張では比が1より大きくWは正、圧縮では比が1より小さく負です。この式は高校の答案で必須とせず、与えられた仕事や面積の評価から収支を立てます。

測定で等温の条件を点検する

学校の指導の下で、密閉した気体の量を一定に保ち、体積を段階的に変え、圧力と温度を読む測定を考えます。温度を一定に保つ周囲の条件を整え、各位置で温度と圧力の変化が落ち着くまで待ちます。固定するのは封入量と周囲の温度、変えるのは体積、測るのは圧力と気体の温度です。危険な加圧や急な操作を家庭で再現する手順として扱いません。

待ち時間が短いと、圧縮直後の温度上昇が残り、平衡後より圧力が高く出ることがあります。温度計の応答が遅ければ、その上昇を表示が追えない場合もあります。圧力計の零点がずれると、全測定点に系統的な偏りが生じます。体積の読み取りには目盛りの幅によるばらつきがあり、接続部の見落とした体積は読み取った体積を小さくします。

熱量を周囲の温度変化から推定するなら、気体だけでなく容器の熱容量や外部への熱損失も収支に入れます。ピストンの摩擦があれば気体の境界での仕事と外側で取り出した仕事を同一視できません。測定が予定どおりにいかなかったときは、値を無理に等温線へ合わせず、温度の記録、零点、漏れ、摩擦を順に点検します。温度や圧力の記録が欠けた区間は、等温かどうかを判定できない区間として残します。

符号が崩れた答案を直す

図3のように圧縮では外から仕事が入って、熱は気体から出ます。「温度一定だからQ = 0」と書いた答案は、状態量の変化と移動量を混同しています。ΔU = 0を先に書き、Q = ΔU + Wに戻せば、圧縮の負のWに対応する負のQが得られます。

「圧縮だからWは正」とする誤りは、外部が気体にした仕事の大きさを、そのまま気体が外へした仕事に入れることから生じます。矢印の向きで定義を確かめ、Wを負に直します。「pV一定だから仕事も0」とする誤りは、状態量の積と経路中の仕事を混ぜています。体積が変化する間に境界が動くので、仕事は一般に0ではありません。

また、圧縮後の温度が始めと同じという条件だけで、途中もずっと等温だったとは限りません。始終点の温度が等しい理想気体ならΔU = 0ですが、途中の圧力や仕事は経路によって変わります。前後の温度と過程全体の条件を分けて読みます。問題が仕事も経路も与えないとき、熱の符号や大きさを勝手に数値化せず、求められるのはQ = Wという関係までです。

練習問題

いずれも密閉された一定量の理想気体とし、Qは気体への熱、Wは気体が外へする仕事を正とします。数値の答えは有効数字2桁で示し、0は0 Jと書いてください。

1. 等温膨張で気体が外へ150 Jの仕事をしました。ΔUとQを符号付きで求めてください。
2. 等温圧縮で外部が気体に520 Jの仕事をしました。WとQを符号付きで求め、熱の向きを答えてください。
3. 等温変化で気体から外へ80 Jの熱が出ました。WとΔUを求め、膨張と圧縮のどちらかを答えてください。
4. 温度一定の準静的膨張でpV = 200 J、体積が2.0 × 10⁻³ m³から4.0 × 10⁻³ m³へ変わります。全区間について始点と終点の圧力を使った長方形でWの上下限を求め、Qの範囲を示してください。
5. 気体の始点と終点の温度は等しいものの、途中が等温かどうかも仕事も示されていません。ΔUとQ、Wの間に必ず成り立つ関係を答え、Qの数値が決まるか説明してください。

練習問題の答えと考え方

1. ΔU = 0 J、Q = +1.5 × 10² Jです。等温なのでΔU = 0、膨張のW = +150 JをQ = ΔU + Wに入れます。戻して150 − 150 = 0 Jです。
2. W = -5.2 × 10² J、Q = -5.2 × 10² Jです。気体は520 Jを放熱します。外部がする正の仕事を気体のする仕事に直すと負で、-520 − (-520) = 0 Jです。
3. W = -8.0 × 10¹ J、ΔU = 0 J、圧縮です。放熱なのでQ = -80 J、Q = WからWも負です。外部が80 Jの仕事をして、同じ大きさを放熱する収支に戻ります。
4. 始点の圧力は1.0 × 10⁵ Pa、終点は5.0 × 10⁴ Paです。両点のpVは200 Jとなります。幅2.0 × 10⁻³ m³をそれぞれの圧力に掛けると上限200 J、下限100 Jです。したがって1.0 × 10² J < W < 2.0 × 10² Jで、Qも同じ範囲です。準静的な等温膨張の圧力は単調に下がるため、長方形は面積を上下から挟みます。
5. ΔU = 0、Q = Wです。一定量の理想気体の内部エネルギーは温度で決まり、始終点の温度が等しいからです。ただし途中の経路と仕事が不明なので、Qの数値は決まりません。Q = 0とも断定できません。

要点

等温の一定量の理想気体ではΔU = 0です。 第一法則よりQ = Wで、膨張は吸熱、仕事のある圧縮は放熱です。 p-V面積を仕事に使う前に準静的条件を確かめます。 温度の一致だけでは、熱や仕事の数値は決まりません。

どこで迷ったかを見分ける

温度一定からすぐQ = 0と書く人には、気体の境界を描き、仕事が外へ出たときに内部エネルギーを一定に保つ流入を説明してもらいます。圧縮の符号で止まる人には、外部から気体への矢印と、定義したWの正方向を比べてもらいます。

個別指導で確かめる箇所は、理想気体と一定量の仮定、始終点の温度と過程全体の等温の違い、そして面積を読む前の準静的条件です。答えを収支に戻してΔUが条件に合うかを言葉で点検すると、温度計の表示と熱の流れを切り分けられます。等温変化の収支は、境界を越える向きから読めます。