高校物理 熱力学 熱サイクルの状態表—各区間の熱と仕事を並べて一周の収支を検算する｜武蔵野個別指導塾

定圧と定積を組み合わせた矩形で、状態点の温度と各区間の熱・仕事を照合し、一周の収支を読み解く熱サイクル。

よくあるのは、一周して温度が元に戻るのだから、途中のどの区間でも内部エネルギーの変化は0だと書いてしまう場面です。坂を上って元の場所に戻れば全体の高さの差は0ですが、上り坂の高さの差まで0にはなりません。気体の状態を点ごとに調べ、区間ごとに増減を記録すると、この違いが見えてきます。

表が必要になる問い

矩形の経路では、横向きの辺が定圧、縦向きの辺が定積です。問題の型には、各状態の温度を求めるもの、区間ごとの熱と仕事を埋めるもの、一周の収支と図形の面積を照合するものがあります。矢印の向きが逆になれば、同じ矩形でも仕事の符号が逆になります。

先に一周の面積を求める方法は便利ですが、それだけでは途中の吸熱や放熱は決まりません。各区間の温度差を調べて内部エネルギーの変化を出し、仕事を加えて熱を求めます。表の縦方向の合計と、図の面積を別々に計算することで、符号や辺の読み違いを発見できます。

状態と移動を別の欄に置く

系は密閉された一定量の単原子理想気体とします。圧力pは絶対圧、体積V、絶対温度T、物質量n、気体定数Rとすると、各平衡状態でpV = nRTです。したがってnが一定なら、温度は各点のpVに比例します。圧力だけ、あるいは体積だけの大小を見て温度を決めることはできません。

単原子理想気体の内部エネルギーはU = (3/2)nRT = (3/2)pVです。分子の並進運動を扱うモデルの結果であり、種類を問わずすべての気体にこの係数を使うわけではありません。始点と終点が同じならUも同じです。一方で、途中の状態が異なれば、その間の変化量ΔUは0とは限りません。

図1のように、状態点の欄と、点を結ぶ区間の欄を分けます。系へ入る熱Qを正、気体が外へする仕事Wを正とする約束では、第一法則はΔU = Q − W、すなわちQ = ΔU + Wです。熱と仕事は区間で移動したエネルギーを表し、状態点に貯まった量として扱いません。

図1では始点と終点のUが同じでも、往路と復路のΔUが互いに打ち消すことを示しています。一周の合計が0という条件は、表の全行を足した結果に適用します。途中の行を0にする根拠にはなりません。

仕事をp-V図の面積で読むには、経路が準静的で、内圧と外圧がほぼつり合うことが必要です。摩擦を無視し、十分ゆっくり進むとします。定圧区間ではW = pΔVで、膨張なら正、圧縮なら負です。定積区間はΔV = 0なのでW = 0です。急激な変化では、平衡状態の曲線として描かれた内圧をそのまま仕事に使えません。

基本例題：4点から4区間へ

一定量の単原子理想気体が、図2のA→B→C→D→Aを準静的に進みます。圧力は絶対圧で、Aはp = 1.0 × 10⁵ Pa、V = 1.0 × 10⁻³ m³、Bは同じ圧力でV = 2.0 × 10⁻³ m³です。CはBと同じ体積でp = 2.0 × 10⁵ Pa、DはCと同じ圧力でAと同じ体積です。nR = 1.0 J/Kと仮定し、各点の温度、各区間のΔU、W、Qと一周の仕事を求めてください。計算結果は有効数字2桁で表します。

図2の縦軸はp、横軸はVです。Aから右に進んで低圧で膨張し、高圧で左へ圧縮するため、経路は反時計回りです。pVの単位はPa・m³ = Jです。各点の積を順に求めると100、200、400、200 Jとなります。nR = 1.0 J/Kを用いると温度は順に100、200、400、200 Kです。いずれも正であり、元の状態方程式へ戻すと各点のpVに一致します。

内部エネルギーは各点で150、300、600、300 Jです。隣り合う値の差を取ればΔUが出ます。横向きの仕事は低圧で100 J、高圧で-200 J、縦向きは0 Jです。以下の数値はJ単位で、正負を含みます。

各行について熱から仕事を引けば、左欄のΔUに戻ります。一周の仕事は-100 Jです。矩形の幅1.0 × 10⁻³ m³と高さ1.0 × 10⁵ Paの積は100 Jで、反時計回りなので符号は負です。面積の大きさと表の和が一致しました。負の正味仕事は、外部が気体に正味100 Jの仕事をしたことを意味します。

標準例題：向きを逆にして確かめる

上と同じ4点をA→D→C→B→Aの順に、同じ条件で準静的に進めます。各区間のΔU、W、Qと一周の正味仕事をJで、有効数字2桁で求めてください。4点の圧力、体積、nRは基本例題の値です。

状態点は変わらないため、内部エネルギーはA、D、C、Bの順に150、300、600、300 Jです。A→DのΔUは150 J、仕事は0 J、熱は150 Jです。D→CはΔU = 300 J、W = 200 J、Q = 500 Jです。C→BはΔU = -300 J、W = 0 J、Q = -300 Jです。B→AはΔU = -150 J、W = -100 J、Q = -250 Jです。

合計はΔU = 0 J、W = 100 J、Q = 100 Jです。時計回りでは高圧の膨張による正の仕事が、低圧の圧縮による負の仕事より大きくなります。各区間は基本例題の対応区間を逆にたどり、それぞれの量の符号も逆になっています。圧力と体積を各点に戻しても、状態方程式は変わりません。

発展例題：表の欠けた欄を復元する

一定量の単原子理想気体がA→B→C→D→Aと準静的に進みます。AのpVは120 J、Bは360 J、Cは600 J、Dは200 Jです。A→BとC→Dは定圧、B→CとD→Aは定積で、BとCの体積はAとDの3倍です。Aの圧力を1.0 × 10⁵ Pa、nRを2.0 J/Kとします。各点の温度、各区間のΔU、W、Q、一周の仕事を有効数字2桁で求めてください。

まずT = pV/(nR)より、A、B、C、Dの温度は60、180、300、100 Kです。Aの体積は120/(1.0 × 10⁵) = 1.2 × 10⁻³ m³、BとCは3.6 × 10⁻³ m³です。Cの圧力は600/(3.6 × 10⁻³) Paで、Dに同じ圧力を掛けるとpV = 200 Jへ戻ります。つまり与えられた4点は矩形の条件を満たします。

各点のUは180、540、900、300 Jです。定圧区間の仕事はpΔV = Δ(pV)なので、A→Bは240 J、C→Dは-400 Jです。定積区間の仕事は0 Jです。

別解では、高圧と低圧の差に体積差を掛け、仕事の大きさを求めます。高圧側の圧力は低圧側の5/3倍なので、圧力差は低圧の2/3です。低圧と体積差の積240 Jの2/3は160 Jです。高圧で圧縮する反時計回りなので-160 Jとなり、表と一致します。合計が一致しても各行の符号が正しい保証にはならないため、各行でQ − W = ΔUも調べます。

測定値の図から考える

学校の指導の下でピストンを用いる測定を考えます。密閉した気体の量を固定し、外荷重と熱のやり取りを調整して状態を変え、各状態で圧力と体積を測ります。各点で値が落ち着くのを待つのは、状態方程式に入れる圧力と温度を、同じ平衡状態の値として扱うためです。加熱や加圧を伴う装置は指導者が管理します。

圧力計の零点がずれていると、矩形の高さで差を取る際には一定のずれが相殺される場合があります。しかし各点のpVや温度にはずれが残るため、仕事の面積が合っただけで状態表全体を正しいとはできません。体積の零点のずれも同様に、幅に現れなくても各点のpVに影響します。

摩擦があれば、膨張と圧縮で内圧と外圧の差が異なり、内圧で描いた図の面積と外部への仕事が一致しないことがあります。外への熱損失や容器の熱容量を無視すると、熱源から供給した熱を気体のQと取り違えます。目盛りの読み取りのばらつきは繰り返しで調べられますが、零点や熱損失のような偏りは繰り返すだけでは消えません。

温度が戻ったことは一周のΔUが0である根拠ですが、第一法則の収支が合うことだけで、任意の熱機関が実現するとは結論できません。熱の移動方向にも制約があります。矩形の面積は正味仕事を示し、各区間の熱を示すものではありません。

間違いを行単位で直す

図3のように、「一周でΔU = 0」から「各行もΔU = 0」と移す誤りがあります。原因は状態量の差を取る始点と終点が、一周と1区間で異なることです。各点のpVを先に並べ、隣同士の差を取ってから合計してください。基本例題では最初の区間だけでも150 J増えています。

別の誤答は、定積で仕事が0だから熱も0とするものです。図3の区間の欄では、W = 0でも温度が変化すればΔUが変わり、Q = ΔUとなります。定積と断熱は異なる条件です。さらに、圧縮の仕事を正と書く誤りには、横軸の移動方向を確認し、ΔVを終点から始点を引いた値として代入します。

面積の計算で低圧の長方形まで含めず、圧縮側の仕事を圧力差だけで計算する誤りもあります。各辺の仕事はそれぞれの絶対圧から計算し、最後に差を取ります。一周の面積は差を取った結果の近道です。表の合計と面積が食い違ったら、経路の向き、単位、圧力の倍率、各辺の符号を順に点検します。

練習問題

次の5問では一定量の単原子理想気体を使い、すべて準静的な定圧または定積の過程とします。pは絶対圧、Qは系への熱、Wは気体が外へする仕事です。結果は指定がない限りJで、有効数字2桁にしてください。

1. ある状態から定積でpVが80 Jから140 Jへ変わりました。ΔU、W、Qを求めてください。
2. 別の装置で定圧膨張し、pVが150 Jから250 Jへ変わりました。ΔU、W、Qを求めてください。
3. 定圧圧縮でpVが420 Jから180 Jへ変わりました。ΔU、W、Qを求めてください。
4. 矩形の4点のpVが順に90、270、450、150 Jです。低圧側で膨張し、高圧側で圧縮する向きに一周します。4区間の正味仕事と熱の和を求めてください。
5. 別の矩形の低圧は2.0 × 10⁵ Pa、高圧は3.0 × 10⁵ Pa、体積は1.5 × 10⁻³ m³と2.5 × 10⁻³ m³です。nR = 1.0 J/Kで、低圧側を膨張してから高圧側を圧縮します。4点の温度と一周の仕事を求めてください。温度はKで有効数字2桁とします。

練習の答えと点検

1. ΔU = (3/2)(140 − 80) = 90 J、W = 0 J、Q = 90 Jです。Q − W = 90 Jに戻り、定積で圧力上昇に伴う温度上昇とも一致します。
2. ΔU = (3/2)(250 − 150) = 150 J、W = 250 − 150 = 100 J、Q = 250 Jです。熱から仕事を引くと150 Jで、膨張の仕事が正です。
3. ΔU = (3/2)(180 − 420) = -360 J、W = 180 − 420 = -240 J、Q = -600 Jです。Q − W = -360 Jであり、圧縮に伴い気体が受ける仕事は240 Jです。
4. 低圧の膨張仕事は270 − 90 = 180 J、高圧の圧縮仕事は150 − 450 = -300 Jです。定積の2区間は0 Jなので、仕事の和は-120 Jです。一周のΔUは0のため熱の和も-120 Jです。各点の積は、体積比3、圧力比5/3の矩形に戻ります。
5. 低圧の小体積から順に、pVは300、500、750、450 Jです。nR = 1.0 J/Kなので温度は300、500、750、450 Kです。低圧での仕事は200 J、高圧での仕事は-300 Jで、和は-100 Jです。圧力差と体積差の積は100 Jで、反時計回りの負符号を付けると同じ答えです。各温度にnRを掛けると各点のpVへ戻ります。

要点

状態点ではpV = nRT、単原子理想気体ではU = (3/2)pVです。 各区間はQ = ΔU + Wで整理し、定積ならW = 0です。 準静的な矩形の一周の仕事は、向きに符号を付けた面積です。 一周のΔUの和は0ですが、各区間のΔUは一般に0ではありません。

つまずきを見分ける

表の合計だけ先に0と書く人には、まず隣り合う2点のpVを比べて温度が増えたかを言葉で説明してもらいます。仕事の符号が曖昧なら、膨張と圧縮の矢印を指し、気体が外へ押すのか外から押されるのかを確かめます。個別指導では、状態点に置くUと区間に記入するQ・Wの違い、準静的という面積の条件、一周の合計と各行の関係を順番に確認します。表の各行をたどれば、一周の収支が途中の変化を隠さずに見えてきます。