高校物理 熱力学 外圧とピストンのつり合い—重りと断面積から状態方程式の圧力を決める｜武蔵野個別指導塾

大気圧と重りが及ぼす力を分け、荷重変更前後の圧力と体積を追いながら理解を深めるピストンのつり合い。

よくあるのは、鉛直な筒のピストンに重りが載った図を見て、重りの重さを面積で割れば中の気体の圧力になる、と考える場面です。ところがピストンの上面には周囲の空気も触れています。重りを取り去っても、空気が押す力まで消えるわけではありません。気体を押すものを一つずつ図に戻し、つり合いから得た圧力を状態方程式につなげましょう。

要点（結論から）

• 静止した滑らかなピストンではp内S = p外S + Mgです。
• 状態方程式には差圧ではなく気体の絶対圧を使います。
• 荷重変更の前後は、それぞれの平衡と温度条件を調べます。

圧力を決める問いはどこから始まるか

出方の1つは、外の圧力、ピストンと重りの質量、断面積から、中の気体の圧力を求める問いです。圧力をそのまま足す前に、上向きと下向きの力を描きます。ピストン自体にも質量があれば、重りと合わせて扱います。

もう1つは、荷重を変える前後の体積や温度を比べる問いです。力のつり合いは各平衡状態の圧力を決めますが、それだけでは体積も温度も決まりません。温度一定などの追加条件を見つけてから、一定量の気体の状態方程式を2つの状態に適用します。

さらに、測った圧力と荷重の関係から断面積を求める問いもあります。直線の切片と傾きはそれぞれ別の物理量に対応します。ここでは静止した前後の状態を扱い、変化の途中の仕事は過程の条件が与えられない限り決めません。

上面と下面に働く力を描く

断面積をS、ピストンと載せた重りを合わせた質量をM、重力加速度をgとします。上面に一様な外圧p外が働き、下面に閉じた気体の圧力p内が働くとします。いずれも真空を基準とする絶対圧です。ピストンは鉛直に動き、壁との摩擦は無視でき、静止していると仮定します。

図1のように、気体は下面を上向きに押し、外の空気は上面を下向きに押します。これにピストンと重りの重力が下向きに加わります。圧力は単位面積あたりの力ですから、各面に働く力は圧力に面積を掛けて求めます。

図1の3本の矢印をピストンと重りの全体に働く外力と見れば、静止の条件は次のようになります。

p内S = p外S + Mg
p内 = p外 + Mg/S

右辺の2項は単位がどちらもPaです。Mg/Sは重さが単位面積あたりに加える圧力であり、気体の絶対圧そのものではありません。外が真空ならp外 = 0となり、初めて重さの項だけで絶対圧が求まります。通常の大気中ではp外を残します。

ピストンだけを対象にして重りから受ける力とピストン自身の重力を別々に描いても、全体を対象にして重力をまとめても、接触面に余分な外力がなければ結論は同じです。重りの質量しか与えられていないときにピストンの質量を勝手にゼロとはできません。質量を無視するという条件があるかを確かめます。

断面積を平方センチメートルで与えられたら、1 cm² = 10⁻⁴ m²を用いて平方メートルに直します。重さは質量そのものではなくMgという力です。PaはN/m²なので、kgのまま面積で割る式には単位の時点で問題があります。

気体が一定量の理想気体で、平衡状態の温度をT、体積をV、物質量をn、気体定数をRとすると、p内V = nRTです。ここに入れるp内は絶対圧であり、外圧との差だけではありません。温度はKで表します。力の式はピストン、状態方程式は気体に適用するという対象の違いを意識すると、2つの式を混ぜずに済みます。

静止は「瞬間の速度がゼロ」と同じ意味ではありません。例えば動いているピストンが折り返す瞬間には速度がゼロでも加速度があり、力がつり合うとは限りません。ここでの平衡は、力がつり合って静止し、気体の温度や圧力が状態として定まった状況です。荷重を急に変えた後は振動などが収まるまで待ち、その前後の平衡を比べます。

外圧と圧力差の見分け方

圧力計の表示を使うときも基準を確かめます。気体の絶対圧を直接示す計器ならその値をp内に使えます。一方、周囲との圧力差を示す計器の値をdとすれば、p内 = p外 + dです。dが負なら気体の絶対圧は外圧より低いことを表します。ただし、この装置で重力以外の鉛直方向の力がなく、正の質量のピストンが摩擦なしに静止しているなら、つり合いからd = Mg/Sなので負にはなりません。負の表示が出たときは、計器の基準、外力、摩擦や固定具などの条件を点検します。

同じ重さなら断面積が小さいほど重さによる圧力差は大きくなります。これは重力が増えたからではなく、同じ力を受け持つ面積が小さくなったからです。逆に、同じ圧力差でも面積の大きなピストンには大きな力が働きます。圧力と力を比較する問いでは、どちらが一定かを先に書きます。

面積の変換には長さの変換を2回使います。例えば1 cm = 10⁻² mなので、1 cm² = 10⁻² m × 10⁻² m = 10⁻⁴ m²です。長さの換算係数を1回しか掛けないと圧力差を100分の1にする誤りにつながります。式を立てた後に単位を追い、計算結果を力へ戻すと、換算の誤りを発見しやすくなります。

基本と標準：力から状態へ

例題1　上面の空気を忘れない

外圧が1.00 × 10⁵ Paの場所に、摩擦のない鉛直ピストンがあります。断面積は2.00 × 10⁻² m²、ピストンと重りの合計質量は4.00 kgです。静止しているときの気体の絶対圧をPaで有効数字3桁に求めてください。計算用にg = 10.0 m/s²とします。

図2のように、外圧の力と重力は同じ下向きです。気体の上向きの力と比較すると、次のようになります。

Mg/S = (4.00 × 10.0)/(2.00 × 10⁻²) Pa
Mg/S = 2.00 × 10³ Pa
p内 = 1.00 × 10⁵ + 2.00 × 10³ Pa
p内 = 1.02 × 10⁵ Pa

答えは1.02 × 10⁵ Paです。図2の気体が押す力は、1.02 × 10⁵ Paと面積の積で2.04 × 10³ Nです。外圧の力2.00 × 10³ Nと重力40.0 Nを足した値に戻るので、力のつり合いも確認できます。重さによる増分だけを見ると2.00 × 10³ Paですが、それは絶対圧ではありません。

例題2　荷重を替えた前後の体積

断面積2.00 × 10⁻² m²のなめらかな鉛直ピストンが、一定量の理想気体を閉じています。外圧は常に1.00 × 10⁵ Pa、ピストンと重りの合計質量は初め4.00 kg、変更後8.00 kgです。両方の平衡状態の温度は同じで、初めの体積は1.04 × 10⁻² m³です。変更後の体積をm³で有効数字3桁に求めてください。計算用にg = 10.0 m/s²とします。

まず平衡ごとに力を考えます。圧力は順に1.02 × 10⁵ Paと1.04 × 10⁵ Paです。温度と物質量が同じなので、状態方程式の右辺は等しく、p₁V₁ = p₂V₂が成り立ちます。

V₂ = (p₁/p₂)V₁
V₂ = (1.02/1.04) × 1.04 × 10⁻² m³
V₂ = 1.02 × 10⁻² m³

荷重が増えた分だけ圧力が上がり、同じ温度で体積は小さくなります。答えを戻すと、両状態のpVはともに1.0608 × 10³ Jです。圧力だけを重さの比で2倍とすれば体積が半分になると誤りますが、圧力の大部分は両状態に共通の外圧です。

温度が同じという条件は、初めと終わりの状態を結ぶために使いました。途中もずっと同じ温度だったか、ゆっくり動いたかは指定されていません。したがって、この2点から移動途中の仕事や熱を数値で決めることはできません。両端の状態がわかることと、経路がわかることは別の情報です。

荷重と圧力の関係を逆に読む

例題3　測定値から面積を求める

ある装置で、ピストンと重りの合計質量Mを変え、そのつど十分に静止した後の気体の絶対圧pを測ります。計算用のデータとして、M = 2.00 kgでp = 1.01 × 10⁵ Pa、M = 6.00 kgでp = 1.03 × 10⁵ Paを得たとします。摩擦はなく、外圧は一定、g = 10.0 m/s²です。断面積をm²、外圧をPaでそれぞれ有効数字3桁に求めてください。

両方のつり合いの式を書き、差を取ると一定の外圧が消えます。

p₂ - p₁ = (M₂ - M₁)g/S
S = (6.00 - 2.00) × 10.0/(2.00 × 10³) m²
S = 2.00 × 10⁻² m²
p外 = 1.01 × 10⁵ - 2.00 × 10.0/(2.00 × 10⁻²) Pa
p外 = 1.00 × 10⁵ Pa

答えは断面積2.00 × 10⁻² m²、外圧1.00 × 10⁵ Paです。2つ目の状態へ戻しても、外圧に6.00 × 10.0/(2.00 × 10⁻²) Paを足すと1.03 × 10⁵ Paとなり、与えた圧力に一致します。

別解として、横軸に合計質量M、縦軸に絶対圧pを取ったグラフを考えます。p = p外 + (g/S)Mなので直線の傾きがg/S、M = 0への延長の切片がp外です。2点間の傾きは500 Pa/kgであり、gを割ると同じ面積になります。切片はピストンと重りの合計質量をゼロへ延長した値です。重りだけの質量を横軸にした場合、切片にはピストン自身の重さによる圧力も含まれます。

延長した切片は実際に質量ゼロのピストンを用意した測定値ではありません。直線関係と一定の外圧を仮定した推定値です。また、気体の温度が荷重ごとに異なっていても、各点が平衡で力の条件が同じなら、この圧力と質量の関係は使えます。体積を予測するには各点の温度や物質量を別途知る必要があります。

同じ状態に届いても経路は別

例えば例題2の初めと終わりを指定しても、重りの置き方や周囲との熱のやり取りは指定されていません。細かい荷重の変化を経て平衡に近い状態を保つ場合と、荷重を一度に変えて振動が収まるのを待つ場合では、移動中の力の状況が異なりえます。最終的な温度が同じになるように調整したとしても、その情報だけでは仕事を一意に計算できません。

気体が単原子の理想気体なら内部エネルギーはU = (3/2)nRTです。この場合、例題2の前後では温度が等しいためΔU = 0となります。しかし第一法則から言えるのはQ = Wという関係であり、QとWの個々の数値までは決まりません。単原子という条件がない理想気体について、ここでこの内部エネルギーの式をそのまま使ってはいけません。

もし過程が準静的で、各瞬間の圧力と体積の関係が別に与えられれば、p-V図でその経路を描いて仕事を考えられます。軸は縦が圧力、横が体積です。圧縮では体積が減る方向へ進むため、気体が外へする仕事Wは負になります。圧力の高い領域を通る圧縮と低い領域を通る圧縮を比べると、同じ体積差でも仕事の大きさが異なります。経路が不明なのに端点を直線で結ぶことは、その経路を勝手に仮定することです。

測定を設計するときの条件

装置を使う実験は学校の指導の下で行います。密閉した気体の加熱や加圧には危険があるため、ここでは具体的な操作手順ではなく、測定の設計を考えます。変える量は合計質量、固定したい量は断面積と外圧、測る量は静止後の気体の絶対圧です。温度と体積の関係も調べるなら、物質量を一定に保ち、温度を測って平衡を待つ条件を加えます。

圧力計の零点がずれると切片に系統的なずれが生じます。外圧を測る計器にも同じ確認が必要です。目盛りの読み取りのばらつきは、複数の荷重で繰り返して点の散らばりとして調べます。2点だけでは直線からのずれを評価できません。

ピストンと壁の摩擦は、上昇後と下降後で静止位置や圧力の差を生む場合があります。上向きに動かした後と下向きに動かした後を区別して記録すれば、その影響を見分ける手がかりになります。熱が容器や周囲へ移ると変化直後の温度は平衡時と異なりえます。容器の熱容量も温度が落ち着く速さや、熱量を測る場合の収支に影響します。静止したという見かけだけで温度まで平衡に達したと判断しないことが必要です。

答えがずれたら力の向きへ戻る

図3は、上面の外圧を落とした誤答と、2種類の下向きの力を戻した修正を並べています。誤答では気体が重りだけを支える図になり、周囲の空気が消えています。

例えば図3の左のようにp内 = Mg/Sとしたとします。原因は、重りが目に見える一方で、空気による押す力が見えないことです。修正するときはピストンを取り出し、上面にp外S、下向きの重力にMg、下面にp内Sを書きます。圧力差p内 − p外 = Mg/Sは正しくても、差と絶対圧は異なります。

もう1つの誤りは、圧縮後の圧力を求めるために初めのpVだけを使い、温度を確認しないことです。温度が変わればpVも変わります。圧力は各状態の力のつり合いで求め、体積は温度などの条件を加えて決めます。必要な条件がない場合は、数値を無理に一つに絞らないことも正しい判断です。

荷重を取り替えるとき、力のつり合いを変化の全瞬間に当てはめる誤りにも注意します。外荷重を急に変えるとピストンが加速し、気体の圧力も場所や時間によって一様とみなせない場合があります。平衡の前後に式が使えても、途中の気体の圧力を結ぶ曲線や仕事はそこからは定まりません。

第一法則を使うなら、系への吸熱をQ、気体が外へする仕事をWとしてΔU = Q − Wです。Wを出すには、動いている境界に働く外側の力と移動の仕方が必要です。準静的につり合いを保つ過程で初めて、気体のp-V図の経路の下の面積を仕事として扱えます。両端のpとVだけで面積を決めることはできません。

練習：条件を拾い、平衡へ戻す

以下はすべて自作の計算条件です。各問題で、重力加速度はg = 10.0 m/s²とし、気体は一定量の理想気体、外圧と気体圧は絶対圧です。指定のない摩擦は無視し、求める状態は静止した平衡状態とします。途中では丸めず、最後に指定された形で答えてください。

1. 断面積3.00 × 10⁻² m²の鉛直ピストンと重りの合計質量は6.00 kgです。外圧は1.00 × 10⁵ Paです。気体の圧力をPaで有効数字3桁に求めてください。
2. 面積2.00 × 10⁻³ m²のピストンと重りの合計質量は5.00 kg、外圧は1.00 × 10⁵ Paです。気体は0.500 mol、温度は300 Kです。計算用にR = 8.31 J/(mol・K)とし、体積をm³で有効数字3桁に求めてください。
3. 断面積1.00 × 10⁻² m²、外圧1.00 × 10⁵ Paの装置で、合計質量を2.00 kgから10.0 kgに変えました。前後の温度は等しく、初めの体積は11.0 Lです。後の体積をLで有効数字3桁に求めてください。1 L = 10⁻³ m³です。
4. 断面積2.50 × 10⁻² m²、外圧1.00 × 10⁵ Paの装置で、気体圧は1.08 × 10⁵ Paです。ピストン自身の質量は2.00 kgです。載せた重りの質量をkgで有効数字3桁に求めてください。
5. 断面積2.00 × 10⁻² m²、ピストンと重りの合計質量4.00 kg、外圧1.00 × 10⁵ Paの装置を考えます。この問では壁との静止摩擦力の向きは必要に応じて変わり、その大きさは最大20.0 Nです。気体圧が一様なとき、ピストンが静止できる圧力の範囲を両端を含めてPaで有効数字3桁に求めてください。

練習の答えと道筋

1. 重さの項は6.00 × 10.0/(3.00 × 10⁻²) = 2.00 × 10³ Paです。これに外圧を加え、答えは1.02 × 10⁵ Paです。面積を掛けると気体の上向きの力は3.06 × 10³ Nであり、外圧の力3.00 × 10³ Nと重力60.0 Nの和に戻ります。

2. 力のつり合いからp = 1.00 × 10⁵ + 5.00 × 10.0/(2.00 × 10⁻³) = 1.25 × 10⁵ Paです。状態方程式からV = 0.500 × 8.31 × 300/(1.25 × 10⁵) = 9.972 × 10⁻³ m³です。答えは9.97 × 10⁻³ m³です。丸め前の体積に圧力を掛けると1246.5 Jとなり、nRTに一致します。気体の上向きの力250 Nは外圧の力200 Nと重力50.0 Nの和です。

3. 前後の圧力はそれぞれ1.02 × 10⁵ Paと1.10 × 10⁵ Paです。温度一定なので、後の体積は(1.02/1.10) × 11.0 = 10.2 Lです。答えは10.2 Lです。1.02 × 10⁵ × 0.0110と1.10 × 10⁵ × 0.0102はどちらも1122 Jで、元の一定温度の条件に戻ります。

4. 圧力差が支える全質量は(1.08 × 10⁵ − 1.00 × 10⁵) × 2.50 × 10⁻²/10.0 = 20.0 kgです。ピストン自身の2.00 kgを引いて、重りは18.0 kgです。合計20.0 kgを戻すと重力は200 Nで、圧力差8.00 × 10³ Paに面積を掛けた力と一致します。

5. 重力は40.0 Nです。摩擦力を上向き正でfとすると、静止の条件はp内S + f = p外S + 40.0 N、かつ-20.0 N以上20.0 N以下です。よってp内は1.01 × 10⁵ Pa以上1.03 × 10⁵ Pa以下です。下端では摩擦が上向き20.0 N、上端では下向き20.0 Nとなり、いずれも与えた上限と力のつり合いを満たします。摩擦があるときに単一のp内 = p外 + Mg/Sを無条件に使えないことがわかります。

要点

• 静止した滑らかなピストンではp内S = p外S + Mgです。
• 状態方程式には差圧ではなく気体の絶対圧を使います。
• 荷重変更の前後は、それぞれの平衡と温度条件を調べます。
• 前後の状態だけでは途中の仕事や熱は決まりません。

つまずきを見分けるには

解答の圧力が重りの項だけなら、ピストンの上面に空気が触れているかを図で指さして確認します。数値が合っていても、力の対象と向きを説明できなければ、外圧やピストンの質量が変わったときに式を立て直しにくくなります。

個別指導では、まず対象をピストンと重りに選び、3つの力を矢印で描いてもらいます。次に絶対圧と圧力差を言葉で区別し、荷重を変えた後に温度一定が必要な箇所を確かめます。最後に、途中の条件がないときは仕事を決められない理由を説明できれば、平衡状態と過程の情報を切り分けられています。