高校物理 熱力学 断熱曲線とポアソンの関係—適用条件を確かめて等温線と傾きを比べる｜武蔵野個別指導塾

同じ出発点から膨張する気体について、圧力の低下と仕事を比べ、適用条件から読み解くポアソンの関係。

よくあるのは、高校生が同じ出発点から伸びる2本の膨張曲線を見て、終点の体積が等しければ温度も等しいと考える場面です。出発点では圧力も体積も温度も一致します。しかし、その後に気体へ熱が出入りするかどうかで、同じ体積に達したときの圧力は変わります。グラフの点は状態を表し、点を結ぶ線はそこへ至る過程を表します。まず両者を分けて読みましょう。

曲線から何を問われるか

出方の1つは、共通の出発点から準静的に膨張する等温線と断熱線を見分ける問題です。体積を同じだけ増やすと、断熱線は等温線より下に来ます。圧力だけでなく、状態方程式から終点の温度も比較します。

もう1つは、断熱変化の前後の体積比から温度比や圧力比を求める問題です。比熱比と適用条件を確かめてから、ポアソンの関係を使います。さらに、温度変化から内部エネルギーの差を求め、第一法則で仕事を計算する問題もあります。曲線の下の面積を直接計算できなくても、断熱の熱収支が手がかりになります。

どの型でも、点の位置から読み取る量と、経路について与えられた条件を別々に整理します。断熱という語を見ただけで温度一定と置くと、熱の出入りと温度の変化を取り違えてしまいます。

関係式が使える道筋

閉じた容器内の一定物質量nの理想気体を考えます。圧力pは絶対圧、体積V、絶対温度Tは正の量です。気体への吸熱をQ、気体が外部にする仕事をWとし、どちらもその向きを正に取ります。内部エネルギーUの変化はΔU = Q − Wです。圧縮で気体が仕事を受けるとき、Wは負になります。

断熱とは境界を通る熱の移動がないという条件で、Q = 0です。したがってΔU = -Wです。膨張して外に仕事をすれば、内部エネルギーは減ります。理想気体の内部エネルギーは温度で決まるため、膨張後の温度は下がります。単原子理想気体ではU = (3/2)nRTですが、この係数を他の気体へ無条件に使うことはできません。

図1のように同じ出発点から膨張するとき、等温過程では温度が一定なのでpVも一定です。一方、断熱膨張では温度が下がるため、同じVでpV = nRTの値が小さくなります。よって断熱線の圧力は等温線より小さくなります。この比較は状態方程式と熱収支の意味からできます。

図1では圧力を縦軸、体積を横軸に取り、矢印は膨張の向きを示します。線は概形で、目盛りから数値を読む図ではありません。原点からの長方形の面積pVは温度に対応しますが、曲線の下の面積は準静的過程の仕事に対応します。同じ面積という言葉でも、囲む領域が違います。

可逆準静的な断熱変化で、モル比熱が一定の理想気体には、ポアソンの関係が成り立ちます。Cᵥを定積モル比熱、Cₚを定圧モル比熱とし、いずれも単位はJ/(mol・K)、比熱比をγ = Cₚ/Cᵥとします。関係は次の形です。

pVᵞ = 一定
T・(Vの(γ-1)乗) = 一定

2つ目は、状態方程式からp = nRT/Vを1つ目に代入し、一定のnRを取り除いて得ます。始点と終点ではT₁・V₁の(γ-1)乗 = T₂・V₂の(γ-1)乗です。単原子理想気体ならCᵥ = (3/2)R、Cₚ = (5/2)Rなのでγ = 5/3です。

ここで「準静的」は各時点を平衡状態に近い状態として扱えることです。「可逆」は摩擦などによる不可逆性を無視し、つり合いに近い操作を逆向きにもたどれることを要求します。断熱であっても急な自由膨張や摩擦のある変化にこの式をそのまま使うことはできません。速く操作すれば必ず断熱、ゆっくりなら必ず等温という判定もできません。周囲との熱のやり取りに必要な時間と操作にかかる時間を比べ、装置の条件を確認します。

体積が8倍になる膨張

例題1。断熱されたピストン内に単原子理想気体1.0 molがあり、初めの温度は400 Kです。摩擦を無視し、可逆準静的に体積を8.0倍にします。比熱は一定、R = 8.31 J/(mol・K)を計算用に用います。終温と気体の仕事を有効数字2桁で求めてください。

単原子気体のγは5/3です。体積比を温度の関係へ入れると、8の2/3乗は4なので、次のようになります。

T₂/T₁ = (V₁/V₂)の2/3乗
T₂ = 400/4 = 100 K
ΔU = (3/2)・1.0・8.31・(100 - 400) J
W = -ΔU = 3739.5 J

答えは100 K、3.7 × 10³ Jです。仕事は正で、気体が外部を押しています。図2のように、温度が4分の1、体積が8倍なので、状態方程式から圧力は初めの32分の1です。逆に終点のpVは初めの4分の1となり、終温と一致します。

図2の比はこの例題の条件に対応します。終点の圧力比が小さい理由には、体積が増えたことと温度が下がったことの両方が含まれます。体積比だけから圧力を8分の1にすると、等温変化を仮定したことになります。

例題2。一定量の理想気体が、同じ始点から体積を4.0倍にする可逆準静的な2つの経路をたどります。一方は等温、他方は断熱で、断熱経路では一定のγ = 3/2とします。始点をp₁、T₁とし、各終点の圧力と断熱終点の温度を始点の量を用いて表してください。

等温ではp₂ = p₁/4です。断熱ではγ − 1 = 1/2なのでT₂ = T₁/2です。状態方程式からp₂/p₁ = (T₂/T₁)/(V₂/V₁) = 1/8です。終点を元の式へ戻すと、断熱側のp₂V₂はp₁V₁/2で、温度比1/2に対応します。等温側はp₂V₂ = p₁V₁のままです。

圧力比を直接求める別の方法では、p₂/p₁ = (1/4)の3/2乗 = 1/8とします。2つの方法が一致するのは、どちらも一定量の状態方程式を満たすからです。グラフ上では、等温の点より断熱の点が低い位置にあり、その差は出発点から体積を増やした後に生じます。

圧縮の仕事と測定の読み方

例題3。単原子理想気体2.0 molを、初温300 Kから可逆準静的に断熱圧縮します。終体積は初体積の1/8、比熱は一定、R = 8.31 J/(mol・K)とします。終温と気体が外部にする仕事を有効数字2桁で求めてください。

体積が1/8になると温度は4倍なので、終温は1200 Kです。ΔU = (3/2)・2.0・8.31・(1200 − 300) = 22437 J、Q = 0ですからW = -22437 Jです。答えは1.2 × 10³ K、-2.2 × 10⁴ Jです。負号は気体が外部から仕事を受けたことを表します。

別解として、受けた仕事を正の大きさAと名付ければ、断熱の収支はΔU = Aです。A = 22437 Jを得てからW = -Aと戻します。終点を確認すると、温度が4倍、体積が1/8なので圧力は32倍です。圧力比と体積比の積は4であり、求めた温度比に一致します。終温や圧力はともに正で、圧縮による温度上昇という収支とも整合します。

学校の指導の下で行う測定を考えます。密閉した一定量の気体をピストンに入れ、体積を変えて圧力と温度を記録します。気体の種類と量、装置、外部条件をそろえ、体積を変える量、圧力と温度を測る量として区別します。静止した読みを取る際には圧力や温度の落ち着きを確認しますが、長く待てば周囲との熱交換が進むこともあります。平衡を待つ必要と断熱性の維持は同じ要求ではありません。

温度計の応答が遅いと、変化中の気体温度に表示が追いつかず、直後の値を低く読んだり高く読んだりします。周囲へ熱が漏れればQ = 0からずれ、ピストンの摩擦があれば内圧と外圧がほぼ等しいという扱いが崩れます。圧力計の零点のずれは点全体を同じ方向へ動かす系統誤差になり、目盛りの読み取りのばらつきとは区別します。これらがある測定曲線から、指数の違いを直ちに比熱比の違いと決めることはできません。

グラフの傾きも条件と結びつけて考えます。共通点の近くで体積を少し増やすと、等温では体積増加による圧力の低下が起こります。断熱ではそれに加えて温度が下がるため、圧力の低下がさらに大きくなります。したがって、その点で断熱線は等温線より急に下がります。線が急という表現は、同じ体積の増加に対する圧力の減少を比べたものです。軸の縮尺を変えると見た目の角度は変わりますが、同じ図に描いた2本の上下関係は変わりません。

実際の記録を点として整理するときには、始点を一致させた比較かどうかにも注意します。違う温度や圧力から始めた線の位置だけでは、断熱と等温のどちらかを決められません。また、体積の単位を途中で変えると比を読み違えます。前後の体積を同じ単位にそろえてから割れば、比は単位を持たない数になります。観測点が少ない場合は点をなめらかにつないだ曲線を仮定したものと区別し、測っていない部分を精密な結果のように扱わないことも必要です。

間違えた線を直す

図3のように、同じ始点と終体積を使いながら断熱の終点を等温の終点に重ねる誤答を考えます。原因は、断熱のQ = 0をT一定と読み替えることです。膨張でWが正ならΔUは負になり、理想気体の温度は下がります。終体積が同じでもpV = nRTから、断熱側の圧力は低くなります。

図3で修正する順番は、まず熱の条件、次に仕事の符号、最後に温度と圧力です。始点が共通であっても、過程の途中で温度が異なれば終点は分かれます。逆に圧縮では断熱側の温度が上がるので、共通の小さい体積で断熱側の圧力が等温側より高くなります。

別の誤りは、pVᵞ一定を断熱なら常に使うことです。熱移動がないという情報はQ = 0までは確定させますが、摩擦や急激な膨張の有無、比熱が一定かどうかは別途調べなければなりません。過程の条件が足りなければ、指数を入れて終点を計算せず、第一法則と与えられた仕事などの情報を使います。

練習問題

次の各問は一定量の理想気体を扱い、断熱過程は可逆準静的で比熱一定とします。数値の答えは各問の指定に従ってください。温度は絶対温度、圧力は絶対圧です。

1. γ = 3/2の気体を600 Kから断熱膨張させ、体積を9倍にします。終温を整数のKで求めてください。
2. γ = 2の気体を断熱圧縮し、体積を初めの1/3にします。終温と終圧をそれぞれ初めの値の何倍か、整数で答えてください。
3. 同じ始点から体積を2倍にする等温膨張と、γ = 2の断熱膨張を比べます。終圧をそれぞれ初圧の分数で表してください。
4. 単原子理想気体1.0 molが断熱変化し、温度が500 Kから300 Kへ下がります。R = 8.31 J/(mol・K)として気体が外部にする仕事を有効数字2桁で求めてください。
5. ある断熱変化で外部が気体に600 Jの仕事をしました。内部エネルギーの変化と、気体が外部にする仕事をそれぞれ整数のJで答えてください。この問では過程が準静的かどうかは指定しません。

練習の答えと確認

1. 体積比の1/2乗は3ですから、終温は600/3 = 200 Kです。200・3 = 600となり、温度の関係へ戻ります。温度が下がることも膨張時の収支と合います。
2. γ − 1 = 1なので温度は3倍です。圧力比は温度比を体積比で割り、3/(1/3) = 9倍です。9倍の圧力と1/3倍の体積の積は3倍で、温度比に一致します。
3. 等温側は1/2、断熱側は(1/2)² = 1/4です。断熱側のpVは初めの1/2であり、温度も1/2です。同じ体積では断熱側の圧力が低くなります。
4. ΔU = (3/2)・1.0・8.31・(300 − 500) = -2493 Jです。Q = 0なのでW = 2493 J、答えは2.5 × 10³ Jです。丸め前の仕事をΔU = -Wに戻すと、内部エネルギーの減少と一致します。
5. 気体が外部にする仕事は-600 Jです。Q = 0を第一法則に入れてΔU = 600 Jです。600 Jを受けた分だけ内部エネルギーが増え、収支が合います。準静的かどうかの情報がなくても、この熱収支は使えます。

要点

断熱はQ = 0であり、温度一定を意味しません。 可逆準静的・一定比熱の理想気体でポアソンの関係を使います。 共通の始点からの膨張では断熱線が等温線より下です。 仕事の符号はΔU = Q − Wに戻して確かめます。

どこで考えが止まるか

線の上下は言えても理由を説明できないときは、同じ体積の2点を選び、それぞれの温度とpVを言葉で結びます。温度の大小が逆になったら、断熱膨張で外へ出る仕事と内部エネルギーの変化からたどり直します。

個別指導では、ポアソンの式を使う前に可逆準静的、一定比熱、一定量という条件を本人が問題文から示せるかを確かめます。計算後は終点を状態方程式へ戻し、圧縮と膨張で仕事の符号が反転する理由を説明します。曲線の違いは、熱の出入りと仕事の収支から読めます。