高校物理 熱力学 ストッパー付き気体の加熱—動き始める境界で定積と定圧の式を切り替える｜武蔵野個別指導塾

下限から動き出し上限で止まるまで、境界温度と段階ごとの熱・仕事を追うストッパー付き気体の加熱。

よくあるのは、加熱で上昇したピストンが上限に接した後も、体積が温度に比例すると考える場面です。動いている間はその比例が使えても、止まった後には圧力が変わります。ピストンの位置と力のつり合いを先に描けば、式を切り替える温度が見えてきます。

どの瞬間に式が変わるか

典型的な問いは、まず下限で支えられたピストンが動き出す温度を求める型です。次に上限へ到達する温度を求め、指定温度がどの区間に属するか判定する型があります。さらに加えた熱や外へした仕事を区間別に求める型では、境界をまたぐ計算を分割する必要があります。

状態方程式は各平衡状態で使えますが、それだけでは圧力と体積の両方を決められません。固定中は体積が一定、摩擦なくゆっくり動く間は内圧が一定という、装置から得た条件を組み合わせます。上限に達する前に加熱を終える場合もあれば、下限から動き出す前に終える場合もあります。初めから3区間全部を計算せず、求める温度と境界を比較しましょう。

支える力が消える点を境界にする

図1のように、鉛直な断面積Sのピストンの下に、一定物質量nの理想気体を封入します。ピストンと上の重りの合計質量をM、上側の一定の外圧をp外、重力加速度をgとします。p内とp外はいずれも絶対圧です。気体の圧力は下から上向きにp内S、外圧と重力は下向きにp外S + Mgを及ぼします。摩擦はなく、各状態は平衡に十分近いものとします。

図1の下限では、支えがピストンを上向きに押せます。支えの力をN下とすると、静止中のつり合いはp内S + N下 = p外S + Mgです。N下は負になれないので、内圧が小さい間は支えが不足分を担います。加熱で内圧が上がり、N下が0になった境界で、ピストンはそれ以上の加熱によって上昇し始めます。境界では速度は0とみなし、圧力は次の値です。

p動 = p外 + Mg/S

下限体積をV下、初めの温度と圧力をT₀、p₀とすれば、固定中はp内/Tが一定です。動き出す温度はT動 = T₀・p動/p₀、またはT動 = p動V下/(nR)です。ここでTはKで表した絶対温度、Rは問題で与える気体定数です。p₀ < p動が、下限で支えが正の力を出している初期条件です。p₀ = p動なら初めが境界で、p₀ > p動なら下限での静止という設定と両立しません。

上昇中は支えから離れ、ピストンに働く力がつり合うためp内 = p動です。一定nの状態方程式からV/Tが一定となります。上限体積をV上とすると、到達温度はT上 = T動・V上/V下です。上限に達した瞬間までは同じ圧力です。その後はストッパーが下向きの力を担い、体積一定のまま内圧が上がります。上限での反力をN上とすればp内S = p外S + Mg + N上です。N上が正になっても、内圧をp動に固定することはできません。

これらはゆっくり加熱し、摩擦や慣性を無視するモデルの話です。急に動くと内圧と外側の荷重がつり合わない時間があり、途中を平衡状態の定圧経路として扱えません。境界点では隣り合う式が同じ状態を与えます。境界ちょうどの温度はどちらの式で代入してもよく、境界を越えた区間にまで同じ条件を延ばさないことが大切です。

熱は3つの区間で帳簿を作る

系を封入気体とし、気体が受け取る熱をQ、気体が外へする仕事をWとします。第一法則はΔU = Q − Wです。単原子理想気体を仮定した場合、内部エネルギーはU = (3/2)nRTです。この式は単原子という条件に依存し、種類を指定しない気体にはそのまま使えません。

固定中はピストンが動かないのでW = 0です。移動中は一定の荷重に抗して膨張するので、準静的ならW = p動ΔV = nRΔTです。したがって単原子気体の熱は、固定中にQ = (3/2)nRΔT、移動中にQ = (5/2)nRΔTとなります。上限で止まった後は再びW = 0です。気体がする仕事の符号を使っているため、圧縮ならWは負になります。

同じ温度上昇でも移動中は仕事の分だけ多く熱が必要です。ただし境界をまたぐ全体に移動中の式を適用することはできません。各区間の温度差と仕事を求めてから足します。熱Qも仕事Wも経路に対応する量で、始点と終点の温度から直ちにわかるのは、この気体のΔUです。

基本例題：2つの境界を決める

密閉された単原子理想気体について、nR = 10 J/Kとします。初めは下限体積0.020 m³、温度200 K、絶対圧1.0 × 10⁵ Paです。摩擦のないピストンにかかる一定の荷重から、動いているときの内圧は2.0 × 10⁵ Paです。上限体積は0.030 m³です。ゆっくり加熱し、動き出す温度と上限に達する温度、700 Kでの圧力と体積を求めてください。温度は整数K、圧力と体積は有効数字2桁で答えます。与えた値は計算用の仮定です。

図2のように、初期状態はp₀V下 = 2000 J = nRT₀を満たします。下限では体積が一定なので、圧力が2倍になる温度を求めます。

T動 = 200 × (2.0/1.0) = 400 K
T上 = 400 × (0.030/0.020) = 600 K

700 Kは600 Kを超えます。上限で体積が固定され、圧力が絶対温度に比例するので、p = 2.0 × 10⁵ × (700/600) = 2.3 × 10⁵ Pa、V = 0.030 m³です。途中で丸めずに戻すとpV = 7000 J = nRTです。仮に700 Kまで定圧とすると体積は0.035 m³となり、上限を越えてしまいます。式の計算ができても装置に戻して検査しないと、この矛盾を見落とします。

標準例題：境界を越える熱と仕事

直前の装置を初期状態から700 Kまでゆっくり加熱します。気体が外へする仕事と気体への熱を、区間別および合計で求めてください。答えはJ単位で有効数字2桁とします。

下限から400 KまではΔT = 200 Kです。ΔU = (3/2) × 10 × 200 = 3000 J、W = 0、Q = 3000 Jです。400 Kから600 Kは定圧ですから、ΔT = 200 K、ΔU = 3000 J、W = 2000 J、Q = 5000 Jです。600 Kから700 Kは上限で定積となり、ΔU = 1500 J、W = 0、Q = 1500 Jです。

よって合計はW = 2.0 × 10³ J、Q = 9.5 × 10³ Jです。全体のΔUは温度差500 Kから7500 Jとなり、Q − W = 7500 Jと一致します。別の確認として、移動中の仕事は2.0 × 10⁵ × (0.030 − 0.020) = 2000 Jです。初めと終わりの温度差だけで熱を定めず、ピストンが動いた体積幅を帳簿に入れます。

発展例題：加えた熱から終点を探す

別の単原子理想気体装置ではnR = 8.0 J/K、初期状態は200 K、1.0 × 10⁵ Pa、0.016 m³です。下限で静止し、動くときの内圧は1.5 × 10⁵ Pa、上限体積は0.024 m³です。ゆっくり加熱して気体に4.8 × 10³ Jの熱を加えます。熱は気体に入った量とし、最終温度を整数K、圧力と体積を有効数字2桁で求めてください。

まず境界はT動 = 200 × 1.5 = 300 K、T上 = 300 × (0.024/0.016) = 450 Kです。下限から動き出すまでに必要な熱は(3/2) × 8.0 × 100 = 1200 Jです。移動中に上限まで必要な熱は(5/2) × 8.0 × 150 = 3000 Jです。合計4200 Jで上限に達するため、残り600 Jは上限での定積加熱に使われます。

ΔT = 600/((3/2) × 8.0) = 50 K
T終 = 450 + 50 = 500 K
p終 = 1.5 × 10⁵ × (500/450) = 1.7 × 10⁵ Pa
V終 = 0.024 m³

丸め前の圧力は5/3 × 10⁵ Paで、これと体積の積は4000 Jです。nRT終も4000 Jとなります。仕事は移動中の1.5 × 10⁵ × 0.008 = 1200 Jで、ΔU = (3/2) × 8.0 × 300 = 3600 Jです。熱4800 Jから仕事1200 Jを引くと一致します。

別解では、上限に達したと仮定して全体の仕事を先に1200 Jとし、第一法則からΔU = 4800 − 1200 = 3600 J、T終 = 500 Kと求めます。その後に500 Kが上限温度450 Kを超えることを確認すれば、仮定が成立します。反対に450 K未満なら、上限までの仕事を全額入れた仮定は失敗です。その場合は下限までの必要熱と比較し、移動中か下限固定中かを改めて決めます。仮定の検査を省くと、存在しない経路の仕事を足すことになります。

測定記録とずれの見方

学校の指導の下で、密閉容器と荷重を備えた装置の加熱記録を考えます。気体の量、荷重、外圧とストッパー位置を固定し、温度を変えて圧力と体積を測ります。各点では温度と圧力が落ち着くのを待ちます。急な移動直後の値を平衡値と混ぜると、定圧部分が傾いたように見えることがあるからです。密閉加熱や加圧には危険があり、実施は学校の指導の下で行います。

横軸を絶対温度、縦軸を体積とすると、下限では水平、移動中は原点を通る直線の一部、上限では再び水平です。原点へ延ばした線は移動中の比例関係の確認用であり、実際にピストンが下限より下へ移動した記録ではありません。圧力を縦軸にすれば固定中は温度に比例し、移動中は水平です。温度軸に摂氏を使う場合は、比例の直線をその原点に通してはいけません。

体積の零点がずれると、下限と上限の両方の読みが同じ方向にずれ、境界温度から推測した比にも影響します。圧力計の零点や外圧の測定誤差は、動き出す圧力の推定を系統的にずらします。一方、目盛りを読むばらつきは繰り返しの測定点の散らばりとして現れます。どの誤差も平均すれば消えるとは限りません。

加熱器の供給量をそのまま気体へのQとみなすと、容器やピストンが受け取る熱、周囲へ逃げる熱を含めてしまいます。容器の熱容量や熱損失は測定の設計に含め、気体の熱収支と区別します。摩擦があると上昇時には追加の圧力が必要で、動き出しと下降の境界が一致しないこともあります。摩擦の大きさが不明なら、そのずれから理想モデルの境界を断定しないことが必要です。

誤答から条件を取り戻す

図3のように、上限に達した後もV/T一定とする誤答があります。原因は、動いている間の力のつり合いを上限の反力がある状態へ延ばしたことです。上限接触後はVを固定し、p/T一定へ切り替えます。温度が上がっているのに体積が上限を越える答えは、装置に戻した時点で不適切と判断できます。

もう1つの誤答は、動き出す前にも内圧を一定とすることです。下限の反力があるので、初期の内圧は荷重を面積で割った値より小さくても静止できます。反力が0になる点を先に求めましょう。逆に全区間を定積とすると、移動中の仕事を落とします。温度差だけで式を選ばず、その区間の壁が動くかどうかを確かめます。

練習問題

各問は摩擦なし、漏れなし、一定外荷重で十分ゆっくり変化する単原子理想気体とします。圧力は絶対圧、与えた数値は計算用の仮定です。温度は整数K、圧力・体積・熱・仕事は有効数字2桁で答えてください。途中では丸めません。

1. 下限体積0.010 m³、初期温度250 K、初期圧力1.0 × 10⁵ Pa、nR = 4.0 J/Kです。移動中の圧力が1.2 × 10⁵ Paのとき、動き出す温度を求めてください。
2. 動き出した状態が300 K、体積0.012 m³で、上限体積が0.020 m³です。上限に達する温度を求めてください。
3. 下限から動き出す温度が320 K、上限到達温度が480 K、移動中の圧力が1.5 × 10⁵ Pa、上限体積が0.024 m³です。560 Kでの圧力と体積を求めてください。
4. nR = 6.0 J/Kの気体を、下限の200 Kから動き出す300 Kを経て、移動中の400 Kまで加熱します。上限はまだ先です。気体への熱と気体が外へする仕事を求めてください。
5. nR = 4.0 J/K、初期200 Kの気体は下限で固定されています。動き出す温度は300 K、上限到達温度は450 Kです。気体に1.1 × 10³ Jの熱を加えたときの温度と、動いているかどうかを求めてください。

練習の答えと解き方

1. 定積でp/T一定より250 × 1.2 = 300 Kです。戻して1.2 × 10⁵ × 0.010 = 1200 J、4.0 × 300 = 1200 Jです。初期圧力は荷重に対応する圧力より小さく、下限が支えられます。
2. 定圧でV/T一定より300 × (0.020/0.012) = 500 Kです。300/0.012と500/0.020は等しく、指定された体積にちょうど到達します。
3. 560 Kは上限到達後です。V = 0.024 m³、p = 1.5 × 10⁵ × (560/480) = 1.8 × 10⁵ Paです。丸め前の圧力と体積の積は4200 Jで、上限到達時の積3600 Jの560/480倍です。固定体積の条件に戻ります。
4. 下限区間はQ = (3/2) × 6.0 × 100 = 900 J、W = 0です。移動区間はW = 6.0 × 100 = 600 J、Q = (5/2) × 6.0 × 100 = 1500 Jです。合計Q = 2.4 × 10³ J、W = 6.0 × 10² Jです。差1800 Jは全温度差200 KによるΔUと一致します。
5. 動き出しまでに必要な熱は(3/2) × 4.0 × 100 = 600 Jです。残り500 Jを移動中に使うとΔT = 500/((5/2) × 4.0) = 50 Kなので、350 Kで上昇中です。450 Kより低いため上限には届きません。仕事は4.0 × 50 = 200 J、ΔUは(3/2) × 4.0 × 150 = 900 Jで、Q = ΔU + W = 1100 Jと戻せます。

要点

下限では体積一定、移動中は内圧一定、上限では再び体積一定です。
支えの力が0になる温度と上限到達温度を先に求めます。
仕事は動いた区間で数え、熱はΔU + Wで区間ごとに求めます。
最後に状態方程式と装置の限界へ答えを戻します。

どこで止まったかを説明する

式を選べないときは、温度を1つ示して、ピストンが下限に接するか、途中にあるか、上限に接するかを図に指さして説明してみてください。個別指導では、下限と上限の反力の向き、動き出す境界で反力が消える理由、区間ごとの仕事の符号を順に確かめます。答えが境界ちょうどの場合にも、隣接する式から同じ状態が得られるかを検討します。ストッパーの位置が、適用する式の境目です。