高校物理 熱力学 熱効率と吸熱区間の判定—正味の仕事と加えた熱を別々に合計する｜武蔵野個別指導塾

圧力と体積の図で囲む面積が等しい場合も、区間ごとの吸熱を数え直すと異なる熱効率にたどり着きます。

よくあるのは、圧力と体積の図に描かれた2つのサイクルを見て、囲まれた面積が同じなら熱効率も等しいと考える場面です。面積が表す正味の仕事は、効率を決める材料の半分です。もう半分の、外から加えた熱は経路ごとに調べる必要があります。気体に入る熱と出る熱を打ち消してから分母に入れると、どれだけ熱を受け取った機関なのかが見えなくなります。

面積が同じでも何が違うのか

問題の出方には、各区間の熱が与えられて効率を計算する型と、状態図から仕事と内部エネルギーの変化を求めて吸熱区間を判定する型があります。さらに、同じ仕事を取り出す異なる経路を比較し、分母まで等しいかを問う型もあります。どの場合も、まず一周の向きと、何を系に取るかを決めます。

以下では容器内の一定物質量の理想気体を系とし、圧力pは絶対圧、体積Vは気体の体積です。Qは気体に入る熱を正、Wは気体が外へする仕事を正とします。圧縮で外から仕事を受けるとWは負です。気体の内部エネルギーをUとすると、第一法則は次のようになります。

ΔU = Q - W
Q = ΔU + W

熱と仕事は過程を通じて出入りするエネルギーであり、状態に蓄えられた量ではありません。Uは状態量なので一周後には元に戻りますが、途中の区間ごとのΔUが0とは限りません。各区間のQの符号がわかって初めて、熱効率の分母を数えられます。

入った熱と出た熱を分ける

図1のように、1周の間に気体が吸収した熱の正の値の合計をQ吸熱、外へ放出した熱の大きさの合計をQ放熱とします。いずれも正の量です。Qが0の区間はどちらにも加えません。正味の仕事W正味が正で、Q吸熱が正の熱機関では、熱効率ηは次の比です。

W正味 = Q吸熱 - Q放熱
η = W正味 / Q吸熱
  = 1 - Q放熱 / Q吸熱

最初の式は、1周でΔUの合計が0になる第一法則から出ます。図1では、外に捨てた熱を差し引く前の吸熱が分母です。正味熱Q吸熱 − Q放熱を分母にすると、第一法則によって仕事と同じ量になり、放熱があっても効率を1と誤ります。

準静的な過程では、各瞬間の気体の内圧と外圧がほぼつり合うため、p-V図の曲線の下の面積が仕事に対応します。膨張では正、圧縮では負に数えます。定積では体積が変わらず仕事は0です。一周の正味仕事は、向きを考慮した囲みの面積になります。この読み方は、平衡状態をたどる準静的過程に対するものです。急激な変化に描いた線の面積を、条件なしで仕事とすることはできません。

単原子理想気体ではU = (3/2)nRT = (3/2)pVです。これは単原子という条件を使った式で、任意の気体にそのまま広げません。温度の変化は状態方程式pV = nRTから判定できます。ただし温度が上がることと吸熱は同義ではありません。圧縮では外から受ける仕事が内部エネルギーを増やすこともあるので、Q = ΔU + Wまで計算します。

直線の区間でも、端点だけで熱の符号が区間全体にわたって一定とは限りません。例えば膨張しながら圧力が下がる場合、pVが途中で増加から減少に転じることがあります。熱の出入りも途中で変わる可能性があり、そのときは符号の変わる点で区間を分け、それぞれの正の熱を合計します。以下の斜線ではpとVが同時に増減するので温度は単調で、仕事とΔUの符号もそろい、熱の符号が一定です。

基本例題：斜線を含む一周

一定量の単原子理想気体が準静的にA→B→C→Aと変化します。p₀ = 1.0 × 10⁵ Pa、V₀ = 1.0 × 10⁻³ m³とし、Aは(V₀, p₀)、Bは(V₀, 2p₀)、Cは(2V₀, 2p₀)です。C→Aはp-V図上の直線です。各区間のQ、正味仕事、熱効率を求めてください。熱量と仕事は有効数字2桁、効率は既約分数で答えます。p₀V₀ = 1.0 × 10² Jとして計算します。

図2のように縦軸を絶対圧、横軸を体積として点を置きます。A→Bは定積、B→Cは定圧、C→Aは直線に沿う圧縮です。点の温度は一定のnとRに対してpVに比例するので、TをAの温度としてA、B、Cの順にT、2T、4Tです。いずれも正の温度で、各点は状態方程式と両立します。

各状態のUはpVの3/2倍です。単位をJとして、Aで150、Bで300、Cで600となります。定積区間の仕事は0で、定圧区間の仕事は圧力と体積増加の積です。斜線の下は台形なので、圧縮の仕事は平均圧力に負の体積変化を掛けます。

A→B: ΔU = 150 J, W = 0 J, Q = 150 J
B→C: ΔU = 300 J, W = 200 J, Q = 500 J
C→A: ΔU = -450 J, W = -150 J, Q = -600 J

A→BとB→Cが吸熱、C→Aが放熱です。C→Aでは圧力と体積がともに減り、温度も単調に下がります。各小区間でΔUとWがともに負なので、途中で熱の符号が変わる心配はありません。A→Bでも温度は単調に上がり、B→Cでも温度と体積が単調に上がるため、それぞれQは正です。

Q吸熱 = 150 J + 500 J = 650 J
Q放熱 = 600 J
W正味 = 0 J + 200 J - 150 J = 50 J
η = 50 / 650 = 1/13

一周のΔUは150 + 300 − 450 = 0 Jです。図の三角形の面積も(1/2) × 1.0 × 10² J = 50 Jとなり、時計回りの正味仕事に一致します。650 Jを受け取り600 Jを放出すれば差は50 Jで、元の場面に戻しても収支が合います。

標準例題：同じ面積を別の経路で囲む

基本例題と同じp₀、V₀、気体を使い、A(V₀, p₀)→B(V₀, 2p₀)→D(1.5V₀, 2p₀)→E(1.5V₀, p₀)→Aを準静的にたどります。各辺は定積または定圧です。効率を既約分数で求め、基本例題との違いを述べてください。仕事と熱量はJで求め、最後に有効数字2桁で表します。

各点のpVは順に100、200、300、150 Jです。温度はそれぞれT、2T、3T、1.5Tで、状態方程式に合います。内部エネルギーは順に150、300、450、225 Jです。各辺でΔUとWを別に数えます。

A→B: ΔU = 150 J, W = 0 J, Q = 150 J
B→D: ΔU = 150 J, W = 100 J, Q = 250 J
D→E: ΔU = -225 J, W = 0 J, Q = -225 J
E→A: ΔU = -75 J, W = -50 J, Q = -125 J

吸熱は400 J、放熱は350 J、正味仕事は50 Jです。矩形の面積も高さp₀と幅0.5V₀の積で50 Jとなります。よって効率は50/400 = 1/8です。基本例題と仕事は等しいのに、吸熱が650 Jから400 Jに変わるため、効率も変わります。放熱と仕事を合わせると400 Jなので、分母の熱も元の収支に戻ります。

比較するときに面積だけを見てはいけない理由は、図形の周囲をたどる途中の温度変化と仕事の配分が異なるためです。仕事の差し引きが同じでも、外から受け取る熱の総量が同じとは限りません。逆に、異なる面積の図でも分母が比例して変われば効率が等しくなる場合があります。

発展例題：吸熱区間を先に決めない

ある周期機関で、3区間の気体の内部エネルギー変化が順に120 J、-40 J、-80 J、気体が外へする仕事が順に30 J、70 J、-60 Jと与えられています。各区間の熱の符号は区間内で一定とします。仕事と熱は有効数字2桁、熱効率は既約分数で求めてください。

第1区間: Q = 120 J + 30 J = 150 J
第2区間: Q = -40 J + 70 J = 30 J
第3区間: Q = -80 J - 60 J = -140 J

第2区間は内部エネルギーが減っていますが、外へする仕事がそれ以上なので吸熱です。したがってQ吸熱 = 180 J、Q放熱 = 140 J、W正味 = 40 J、η = 2/9です。ΔUの和は0 Jで、受け取る180 Jから放出する140 Jを引いた40 Jが仕事に戻ります。

別解では最初に各Qから放熱量を140 Jと判定し、η = 1 − 140/180 = 2/9とします。どちらも区間別の熱を求める段階を省けません。区間内で熱の符号が変わり得る場合、各区間の正味Qだけでは吸熱の総量を決められません。たとえば正味が正でも途中に放熱があれば、その放熱を打ち消す前の吸熱を数える必要があります。

記録から仕事を読むときの限界

学校の指導の下で、閉じた一定量の気体を使い、平衡に近い複数の圧力と体積の組を記録する測定を考えます。物質量と装置の設定を固定し、外からの荷重を変え、各点の圧力、体積、温度を測ります。読み取る前に値の変化が落ち着くのを待つのは、各点を平衡状態として扱えるかを確かめるためです。経路に沿う熱の出入りも別に評価しなければ、p-V図だけから効率は決まりません。

圧力計の零点のずれは圧力を一方向にずらす系統誤差になり、体積の目盛りの読み取りには点ごとのばらつきが生じます。ピストンの摩擦があれば内圧と外圧が一致せず、内圧曲線の面積を外への仕事とみなす近似が悪くなります。気体の外への熱損失や容器自身の熱容量を無視して加熱器の供給量をそのまま気体の吸熱とすると、分母を過大に見積もる場合があります。損失の向きや容器の温度変化を調べず、誤差の方向を一律には決められません。

図の読み取りでは、縦横の単位を掛けるとPa・m³ = Jになることを確かめます。目盛りを粗く読めば面積に不確かさが生じます。点を増やしても零点のずれは自動的には消えないので、装置の基準を別に点検する必要があります。

間違えた式を収支へ戻す

図3のように、正味の熱を分母にした式と、吸熱の合計を分母にした式を比べます。誤答は「一周で出入りした熱の差が仕事に等しい」こと自体を、吸熱の定義と混同しています。差を取る前に、正のQと負のQを別々に集計するのが修正の出発点です。

別の誤答は、温度が下がる区間を必ず放熱とするものです。発展例題のように、気体が大きな仕事をする区間では、吸熱しながら内部エネルギーが減ることもあります。ΔUだけでなくWを符号つきで加えます。逆に、温度が上がっても圧縮で十分大きな仕事を受ける場合には、放熱しながら内部エネルギーが増えることがあります。

また、1周でΔU = 0だから各区間でもQ = Wとする誤りがあります。元の状態へ戻るという条件は、区間の増減の合計に適用します。各区間では始点と終点のUを比べてください。第一法則で収支が合ったとしても、その熱の受け渡しを実際に実現できるとは限りません。熱の移動方向については別の条件も必要です。

練習問題

以下は自作の計算条件です。熱量と仕事は有効数字2桁、効率は既約分数で答えてください。Qは吸熱を正、Wは気体が外へする仕事を正とします。各区間で熱の符号は一定です。

1. 周期機関が1周に240 Jを吸熱し、180 Jを放熱します。正味仕事と熱効率を求めてください。
2. 3区間のΔUが順に80 J、-20 J、-60 J、Wが順に20 J、40 J、-30 Jです。吸熱の合計と熱効率を求めてください。
3. 同じ正味仕事60 Jを得る2つの機関が、それぞれ300 J、500 Jを吸熱します。各効率と大小を求めてください。
4. 単原子理想気体が準静的に定圧膨張し、pVが120 Jから200 Jになります。仕事と吸熱を求めてください。
5. ある周期機関は1周に420 Jを吸熱し、正味仕事が70 Jです。放熱量と効率を求め、収支を確認してください。

練習問題の答えと解き方

1. W正味 = 240 − 180 = 60 J、η = 60/240 = 1/4です。吸熱240 Jは放熱180 Jと仕事60 Jに分かれ、与えられた場面に戻ります。
2. Qは順に100 J、20 J、-90 Jです。吸熱の合計は120 J、正味仕事は20 + 40 − 30 = 30 Jなので、η = 1/4です。ΔUの合計は0 Jで、120 Jの吸熱から90 Jの放熱を引くと30 Jです。
3. 効率は順に1/5、3/25です。1/5の方が大きく、同じ60 Jの仕事をより少ない吸熱で得るためです。放熱は順に240 J、440 Jとなり、それぞれ仕事との和が元の吸熱量に戻ります。
4. 定圧なのでW = Δ(pV) = 80 Jです。ΔU = (3/2) × 80 = 120 J、Q = 120 + 80 = 200 Jです。増えた内部エネルギー120 Jと外への仕事80 Jの和は、求めた吸熱に一致します。pVが増えたので状態方程式から温度も上がります。
5. Q放熱 = 420 − 70 = 350 J、η = 70/420 = 1/6です。350 Jと70 Jを足すと420 Jに戻ります。一周の内部エネルギー変化が0という条件を用いた収支です。

要点

熱効率の分母は正の吸熱の合計です。 各区間のQはΔUと符号つきのWから判定します。 準静的な一周の正味仕事は向きを考慮した囲みの面積です。 一周のΔUの合計は0でも、区間ごとのΔUは一般に0ではありません。

説明が止まった箇所を見つける

まず、自分で一周の矢印をたどり、膨張と圧縮の仕事に符号を付けられるかを確かめます。次に、ある区間で温度が下がっても吸熱になり得る理由を、ΔUとWを使って説明します。個別指導では、吸熱を合計する前に正負を分けたか、斜線区間の途中で符号が変わらない根拠があるかを一緒に点検します。面積と吸熱の両方をそろえて初めて、熱効率を比較できます。