【小5算数】分数と小数・整数の関係を図解で総まとめ—わり算の答えを分数で表す｜武蔵野個別指導塾

2Lを3人で分ける図やリボンの文章題を使い、わり算の商を分数で表す理由、小数・整数との直し方、何倍かの求め方を順に解いて、分数と小数を行き来できるようにします。

よくあるのは、休日の公園のベンチで、持ってきた2Lの水を3人で同じ量ずつ分けようとして、ノートの「2÷3」の先で手が止まるという場面です。小数で計算すると6が続きます。「わり切れないから答えが出ない」と感じるかもしれませんが、分数なら1人分をちょうど表せます。

分数は、ケーキをいくつかに切ったときだけに使う数ではありません。わり算の答えを表すこともでき、小数や整数ともつながっています。0.5と1/2は見た目が違っても、同じ大きさです。表し方を変えても量が変わらないとわかると、計算や比べ方を自分で選べるようになります。

ここでは「何を1と見るか」を確かめながら、わり算と分数を結びつけます。分数から小数へ、小数や整数から分数へと行き来し、最後には「何倍か」という答えも分数で表してみましょう。

この単元で身につけること

• わり算の商を分数で表します。わられる数を分子、わる数を分母にすると、わり切れない場合も正確な答えを書けます。
• 分数を小数に直します。分子÷分母を計算し、小数が途中で終わる場合と、数字が続く場合を見分けます。
• 小数や整数を分数で表します。小数の位に注目して分母を決め、整数も分母が1の分数と見られることを確かめます。
• 何倍かを分数で表します。比べる量をもとにする量でわり、1倍より小さい関係も表せるようにします。
• 分数と小数の大小を比べます。同じ表し方にそろえたり、数直線の位置を見たりして判断します。

これまでに学んだ「1を等しく分けた数」と「わり算で同じ量ずつ分けること」が、この単元でつながります。多くの教科書では5年生で学ぶ内容ですが、小数の位や分母・分子の意味を確かめながら進めれば大丈夫です。

基本の考え方

わり算の答えが分数になる理由

2Lの水を3人で等しく分ける式は2÷3です。そこで、2Lを1Lずつの2つに分け、それぞれの1Lを3等分してみます。1人は、最初の1Lから1/3L、次の1Lからも1/3Lを受け取ります。合わせると1/3Lが2つなので、1人分は2/3Lです。

図1のように、2本の帯をそれぞれ1Lとして、同じ色の部分を1人が受け取ると考えます。赤い部分は全部の水の1/3に当たりますが、量をLで表すと2/3Lです。「全体の何分のいくつ」と「何Lか」は、もとにしている大きさが違うことに注意しましょう。

このことから、2÷3=2/3と表せます。分数の横線には、分子を分母でわるという意味もあります。たとえば3÷4=3/4、5÷2=5/2です。ここで、わる数に0は使えないので、分母にも0は使えません。

分数の商は、必ず1より小さくなるわけではありません。5Lを2人で分ければ、1人分は2Lより多くなります。5/2は1/2が5つある数で、2と1/2と同じ大きさです。分子が分母より大きくても、わり算の答えとして自然な表し方です。

小数と分数を行き来する

分数を小数に直すときは、分子÷分母を計算します。3/4なら3÷4=0.75です。3のほうが4より小さいので、答えは1より小さくなるはずだと、計算前に見通せます。分母÷分子にしないよう、「3を4でわる」と声に出すと確かめやすくなります。

一方、1/3を小数で表そうとすると、1÷3=0.333…となり、3がどこまでも続きます。ここで0.33とだけ書けば、1/3より少し小さい数になってしまいます。「小数第2位までの概数で」という指定があれば約0.33としますが、正確な値が必要なら1/3のまま残せます。

小数を分数に直すときは、その数がどの位まであるかを見ます。0.7は1/10が7つなので7/10、0.25は1/100が25こなので25/100です。分母と分子を同じ数でわっても分数の大きさは変わりません。25/100の両方を25でわると1/4になります。このように、分母と分子を小さい整数にすることを約分といいます。

0.05は5/100であって5/10ではありません。5があるのは小数第2位、つまり百分の一の位です。途中にある0も、5がどの位にあるかを知らせています。小数第3位までなら分母は1000として表せます。

整数も分数の仲間として見る

整数の3は、3÷1の答えなので3/1と書けます。また、1は2/2と同じなので、3は6/2とも表せます。3=3/1=6/2=9/3というように、分母と分子の組み合わせが違っても同じ数になります。

分数の大小を比べるときは、まず同じ大きさの1をもとにしているか確かめます。小さいパンの1/2個と大きいパンの1/2個では、食べる量まで同じとは限りません。数としての1/2を数直線で比べるときは、0から1までの長さを共通にします。

分母が同じなら、同じ大きさの部分が多いほうが大きい数です。分母が違うときは小数に直すか、分母をそろえて比べます。分母をそろえることを通分といいます。計算が長くなる場合は、どちらが簡単かを選んでよいのです。

例題で解き方を確かめる

例題1　商を分数と帯分数で表す

7÷4の商を分数で表し、さらに帯分数に直しましょう。わり切れない部分を切り捨てずに表す問題です。

1. わられる数は7、わる数は4なので、7÷4=7/4と書きます。商を分数にするときの並びをそのまま使います。
2. 7/4は1/4が7つある数と見ます。そのうち4つで1になるので、整数部分は1です。
3. 残りは1/4が3つです。したがって7/4=1と3/4と直せます。

答え：7/4、帯分数では1と3/4です。

7÷4を整数のわり算として計算すると、商が1であまりが3です。ただし、帯分数の分数部分は3ではなく3/4です。残った3をさらに4等分するため、あまりが分子、わる数が分母になります。4÷4=1、8÷4=2なので、答えが1と2の間にあることも確かめられます。

例題2　分数と小数を直す

3/8を小数に直し、0.35をできるだけ分母の小さい分数で表しましょう。それぞれ直す向きが違うので、最初に使うきまりを選びます。

1. 3/8は3÷8として計算します。3.000と考えてわり進めると0.375になり、あまりは0になります。
2. 0.35は1/100が35こなので、35/100と書きます。小数第2位まであることが分母100の理由です。
3. 35と100をともに5でわります。35/100=7/20となり、7と20には1以外の公約数がないので、これで約分が終わります。

答え：3/8=0.375、0.35=7/20です。

3÷8の筆算では、最初に30÷8で3が立ち、あまりは6です。次に60÷8で7が立ってあまりは4、最後に40÷8で5が立ちます。商の小数点を先にそろえておくと、0.375の位を取り違えにくくなります。直したあとは0.375×8=3になるかを確かめる方法もあります。

例題3　何倍かを分数で表す

赤いリボンは3m、青いリボンは4mです。赤いリボンの長さは、青いリボンの長さの何倍でしょうか。図2では、上下の帯を同じ縮尺で描いています。

1. 「青いリボンの長さの何倍」と聞かれているので、青い4mをもとにする量にします。もとにする量を1倍と見ます。
2. 比べる量÷もとにする量で、3÷4と式を書きます。長さの単位は両方ともmなので、そのまま比べられます。
3. 3÷4=3/4と分数で表します。図2でも、青の4等分のうち3つ分が赤の長さに当たります。

答え：3/4倍です。

赤いリボンは青いリボンより短いので、答えは1倍より小さくなるはずです。3/4倍は0.75倍とも書けます。「倍」という言葉は2倍、3倍だけに使うものではありません。また、求めたのは長さそのものではないので、答えにmは付けません。

例題4　分数と小数の大小を比べる

2/3と0.65では、どちらが大きいでしょうか。小数に直すと数字が続く分数なので、ここでは分数にそろえて正確に比べます。

1. 0.65を65/100と書き、両方を5でわって13/20にします。まず表し方を分数にそろえます。
2. 3と20の公倍数60を分母にします。2/3=40/60、13/20=39/60です。分母を20倍したら分子も20倍するように、両方を同じ数倍します。
3. 1/60が40こある数と39こある数を比べます。40/60のほうが大きいので、2/3のほうが大きいと判断できます。

答え：2/3のほうが大きいです。

通分では、新しい分母だけを書き換えてはいけません。1つ分を細かく分けたぶん、数える個数も増やします。この問題なら、2/3の大きさを保ったまま40/60へ直すことが大事です。

つまずきやすいところと直し方

わる数とわられる数を逆にする

間違った書き方は「3÷4=4/3」です。どこが違うかというと、分母と分子が反対になっています。3Lを4人で分けると1人分は1Lより少ないはずですが、4/3Lでは1Lを超えてしまいます。

正しい書き方は「3÷4=3/4」です。式の左の数が分子、右の数が分母になります。順番だけでなく、「4人分を合わせて3Lに戻るか」と場面に戻してみると、式と答えのつながりを確かめられます。

小数の位を見ずに分母を決める

間違った書き方は「0.08=8/10」です。どこが違うかというと、8が百分の一の位にあるのに、十分の一の位として扱っていることです。8/10を小数に戻すと0.8となり、もとの数の10倍になってしまいます。

正しい書き方は「0.08=8/100=2/25」です。まず位に合った分母で書き、そのあとで約分します。0.8と0.08を迷ったら、「1/10が8つ」なのか「1/100が8つ」なのかを言葉で添えてください。

分母が大きいほど大きな数だと思う

間違った書き方は「1/4は1/2より大きい」です。どこが違うかというと、分母の4と2だけを比べ、1つ分の大きさを見ていないことです。同じ1をより細かく分けるほど、1つ分は小さくなります。

正しくは「1/4は1/2より小さい」です。図3のように、0から1までを4等分すると1/4は最初の目盛り、1/2は2つ目の目盛りに来ます。小数でも1/4=0.25、1/2=0.5です。数直線では右にある数ほど大きく、分子が同じ分数では分母が大きいほうが小さくなります。

練習問題

ノートには答えだけでなく、直すときに使った式も残しましょう。何倍かの問題では、もとにする量に丸を付けてから式を作ると、わる順番を確かめられます。

練習1

9÷5の商を分数と帯分数で表しましょう。

練習2

7/20を小数に、0.45をできるだけ分母の小さい分数に直しましょう。また、整数の2を分母が5の分数で表しましょう。

練習3

黄色のひもは5m、白いひもは8mです。黄色のひもの長さは、白いひもの長さの何倍でしょうか。

練習4

3/5と0.58では、どちらが大きいでしょうか。比べた方法も書きましょう。

答えと解説

練習1の答えは9/5、帯分数では1と4/5です。1/5が5つで1になり、残りは4つです。

練習2の答えは0.35、9/20、10/5です。7÷20=0.35、0.45=45/100=9/20と直せます。整数の2は2/1なので、分母と分子を5倍すると10/5になります。

練習3の答えは5/8倍です。もとにする白の8mで黄色の5mをわり、5÷8=5/8とします。黄色のほうが短いので、1倍より小さい答えで合っています。

練習4の答えは3/5のほうが大きいです。3/5=0.6=0.60なので、0.58より大きいとわかります。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

同じ数を違う分数で表せると、次に学ぶ分母の違う分数のたし算・ひき算につながります。何倍かを分数で表す考え方は、割合や分数のかけ算・わり算でも使います。まずは表し方を変えても、数の大きさは変えないことが土台です。

家庭では5分ほどで、次の2つを確かめられます。紙に1mのひもを表す帯をかき、半分の長さを0.5mと1/2mの両方で書いてみます。次に料理で使う0.25Lを、分数では何Lか説明してみましょう。「1/100Lが25こ」と言えれば、1/4Lへ直す理由も追えます。

お子さまが迷うときは、個別指導でも筆算を増やす前に、1をいくつに分けたか、小数の数字がどの位にあるかまで戻って確かめます。図を指して言えたことを式に移すと、どこで取り違えたかが見えてきます。

まとめ

わり算が途中でわり切れなくても、そこで考えることを止める必要はありません。分数にすれば、等しく分けた1つ分を正確な数で持っておけます。小数に直したり、分母をそろえたりするのは、その数を比べやすくするためです。

答えの形に迷ったときは、もとの量と、何等分したかを図に戻してみましょう。2÷3の答えに残る2/3は、計算の途中ではなく、1人分の量をぴったり表した完成した答えです。