【小5算数】分数のたし算とひき算を図解で総まとめ—約分と通分のしくみ｜武蔵野個別指導塾

同じ長さのテープ図で約分と通分の意味を確かめ、分母のちがう計算から帯分数のくり下がりまで練習できます。リボンの文章題も、単位に注目して順に解けば、通分の手順が自然に身につくはずです。

よくあるのは、休日に工作用のリボンを並べた机で、1/2 mと1/3 mをつなぐ長さを求めようとして、ノートに「2/5 m」と書いて手が止まるという場面です。分子も分母もたせばよさそうなのに、つないだリボンが、もとの1/2 mより短い答えになってしまいます。どこを直せばよいのでしょうか。

分数の計算では、「何個あるか」の前に「何を1個として数えているか」を確かめます。半分の大きさと3分の1の大きさは、そのままでは同じ1個として数えられません。同じ大きさに分け直せば、整数のたし算やひき算で考えられます。

ここでは、分数の大きさを変えずに表し方を変えるところから始めます。図と式を結びつけて、約分、通分、分母のちがう計算、帯分数の計算へ進みましょう。答えを出すだけでなく、その答えがもとの量に合っているかも確かめられるようにします。

この単元で身につけること

• 等しい分数を見つけます。分母と分子に同じ数をかけたり、共通の約数でわったりすると、大きさを変えずに表し方を変えられます。
• 約分で分数を簡単にします。分母と分子を共通の約数でわり、1以外に共通の約数がなくなるまで確かめます。
• 通分で分母をそろえます。分母の公倍数を使うと、異なる大きさの区切りを同じ大きさにそろえられます。
• 分母のちがう分数をたしたりひいたりします。通分のあとは分子を計算し、最後に約分できるか調べます。
• 帯分数を計算します。整数部分と分数部分に分ける方法と、仮分数に直す方法を使い、くり上がりやくり下がりも扱います。

これまで学んだ分母の同じ分数の計算と、倍数・約数の考え方を結びつける単元です。多くの教科書では5年生で学びますが、分数の意味があいまいなときは、1を等しく分ける図に戻って考えられます。

基本の考え方

分け方が変わっても大きさは同じ

3/4の分母4は、もとにする1を4等分したことを表します。分子3は、そのうちの3個分という意味です。図で比べるときは、もとにする1の大きさをそろえます。長いリボンの半分と短いリボンの半分では、同じ1/2でも実際の長さは異なるからです。

図1のように、同じ長さのテープを2等分、4等分、6等分してみます。色のついた部分は、それぞれ1/2、2/4、3/6ですが、右端は同じ位置にあります。区切りを増やしても、色のついた長さそのものは変わっていません。

1/2の分母と分子に2をかけると2/4に、3をかけると3/6になります。1つの区切りをさらに細かく分けたので、全体の区切りの数も、色のついた区切りの数も、同じ倍になります。分母だけを2倍にした1/4は、色のついた長さまで半分になり、もとの1/2とは等しくありません。

このきまりを逆に使うと、細かい区切りをまとめられます。6/8なら、分母と分子を2でわって3/4です。小さな区切り2個ずつを1組と見るので、全体は4組、色のついた部分は3組になります。分母と分子を同じ数でわって分数を簡単にすることを、約分といいます。使う数は、両方をわり切れる共通の約数です。

約分と通分は何のためにするのか

12/18を約分してみましょう。2でわると6/9になり、さらに3でわると2/3になります。最初から最大公約数の6でわっても2/3です。途中で小さな約数を使ってもかまいませんが、6/9で止めず、まだ両方をわり切れる数がないか確かめます。

約分は1つの分数を簡単に表すための操作です。一方、いくつかの分数を同じ分母の分数に直すことを通分といいます。たとえば1/2と1/3を通分すると3/6と2/6になり、どちらも1/6をもとにして数えられます。

通分に使う分母は、もとの分母の公倍数です。2の倍数は2、4、6、8、10、12と続き、3の倍数は3、6、9、12と続きます。共通する6や12を使えますが、最小公倍数の6なら数が小さく、計算しやすくなります。12を使って6/12と4/12にしても、まちがいではありません。

分母が4と8のように、一方がもう一方の倍数なら、大きいほうの8にそろえられます。いつでも分母どうしをかける必要はありません。まず倍数の関係を見て、見つからなければ倍数を書き並べると、通分する数を落ち着いて選べます。

計算するのはそろえた大きさの個数

1/2 + 1/3を通分すると、3/6 + 2/6です。これは1/6が3個と2個あるので、合わせて5個、つまり5/6になります。分母の6は1個の大きさを決めているので、そのまま残します。分母までたすと、途中で1個の大きさを変えてしまうことになります。

ひき算も同じ考えです。5/6 – 1/3は5/6 – 2/6に直し、1/6が5個あるところから2個を取るので3/6です。約分して1/2になります。通分は計算の前に大きさをそろえるため、約分は答えを簡単に表すため、と役割を分けて考えましょう。

計算後には、たし算なら合わせる前のそれぞれの量より大きいか、ひき算ならもとの量より小さいかも見ます。ここでは0より大きい量をたしたりひいたりしているので、この見方が使えます。式の決まりだけでなく、量の変化に戻ることが答えの点検につながります。

例題で解き方を確かめる

例題1　分母のちがう分数をたす

1/4 + 1/6を計算しましょう。まず分母を見て、4と6の両方の倍数になる数を探します。4にも6にもそろえられないので、さらに大きい公倍数が必要です。

1. 4の倍数の4、8、12と、6の倍数の6、12を比べ、最小公倍数の12を選びます。両方の分数を1/12何個分で表すためです。
2. 1/4 = 3/12、1/6 = 2/12に直します。分母をそれぞれ3倍、2倍にしたので、分子にも同じ数をかけます。
3. 3/12 + 2/12 = 5/12と計算します。5と12に1以外の共通の約数はないので、これで約分も終わりです。

答え：5/12。

1/6は1/4より小さいので、合わせても1/4を2つ合わせた1/2より小さくなります。5/12は6/12、つまり1/2より小さいので、この見通しにも合っています。

例題2　リボンの残りの長さを求める

長さ5/6 mのリボンから、工作のために1/4 mを切り取ります。残りは何mでしょうか。「切り取る」ので、もとの長さから使った長さをひきます。どちらもmで表されており、長さの単位はそろっています。

1. 5/6 – 1/4と式を書きます。求めるのは残りなので、もとの量を先に置きます。
2. 6と4の最小公倍数12に通分し、10/12 – 3/12に直します。1/12 mずつの区切りで数えられるようにするためです。
3. 10/12 – 3/12 = 7/12と計算します。7と12には1以外の共通の約数がないので、そのまま単位をつけます。

答え：7/12 m。

図2のように、1 mを12等分した目盛りで見ると、もとの10個分のうち3個分を切り取り、7個分が残ります。赤い部分が切り取った長さで、緑の部分が残りです。右側の灰色2個分は、はじめからリボンがない部分を示しています。

残り7/12 mと使った3/12 mをたすと10/12 m、約分して5/6 mです。ひき算の答えは、このようにたし算でも確かめられます。

例題3　帯分数のたし算でくり上がる

1と3/4 + 2と2/3を計算しましょう。帯分数は整数と分数を合わせた表し方です。整数部分どうし、分数部分どうしに分けると、どこで1が増えるかを見つけやすくなります。

1. 整数部分は1 + 2 = 3と計算します。分数部分は3/4 + 2/3として、分けて考えます。
2. 分数部分を通分し、9/12 + 8/12 = 17/12とします。17/12は12/12と5/12に分けられるので、1と5/12です。
3. 整数部分の3に、分数部分からできた1と5/12を合わせます。3 + 1と5/12 = 4と5/12です。

答え：4と5/12。

分数部分の合計が1以上になったとき、そこから整数部分へ1をくり上げます。分数部分だけを5/12にして整数を3のままにすると、1が消えてしまうので気をつけましょう。

例題4　帯分数のひき算でくり下がる

2と1/3 – 1と3/4を計算しましょう。通分すると2と4/12 – 1と9/12です。分数部分の4個分から9個分を取るには足りないので、整数部分から1を分数部分へ移します。

1. 2と4/12を1と16/12に直します。整数の1を12/12として分数部分に加えると、4/12 + 12/12 = 16/12になるからです。
2. 1と16/12 – 1と9/12を、整数部分の1 – 1 = 0と、分数部分の16/12 – 9/12 = 7/12に分けて計算します。
3. 整数部分は0なので、分数部分の7/12だけを書きます。約分できるかも調べて仕上げます。

答え：7/12。

仮分数に直す方法でも確かめられます。2と1/3 = 7/3、1と3/4 = 7/4なので、7/3 – 7/4 = 28/12 – 21/12 = 7/12です。仮分数にするときは、整数部分に分母をかけて分子をたします。7/3なら1/3が7個分、と読めることも確認しましょう。

つまずきやすいところと直し方

分母までたしてしまう

間違った書き方は「1/2 + 1/3 = 2/5」です。どこが違うかというと、半分と3分の1という異なる大きさを、そのまま同じ1個として数えています。分母の2と3をたしても、共通の区切りは作れません。

正しい書き方は「1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6」です。最初に「1/6が何個分か」と声に出すと、分子だけをたす理由がはっきりします。また、2/5は1/2より小さいため、量が増えるたし算の答えとしても合いません。

通分で分子を変え忘れる

間違った書き方は「1/4 + 1/6 = 1/12 + 1/12」です。分母だけを変えると、1/4も1/6も、もとより小さい量になってしまいます。通分では、同じ量を別の分け方で表す必要があります。

正しい書き方は「1/4 + 1/6 = 3/12 + 2/12」です。4を12にするには3倍、6を12にするには2倍なので、分子にもそれぞれ同じ数をかけます。慣れるまでは、分母と分子の横に「×3」「×2」をそろえて書きましょう。

くり下げたあとの整数を減らし忘れる

例題4で、間違った書き方は「2と4/12 = 2と16/12」です。分数部分に12/12を加えたのに、整数部分を2のままにすると、全体が1増えてしまいます。くり下がりは、量を増やす操作ではありません。

正しい書き方は「2と4/12 = 1と16/12」です。図3のように、上段の整数2個分のうち1個分を、下段では分数の区切りに入れ直します。色のついた部分の右端は変わらず、量が等しいことを確かめられます。

分数部分を増やしたら整数部分を1減らしたか、式を左右に見比べましょう。くり下がりが続けて難しく感じるときは、いったん仮分数に直す方法で解き、同じ答えになるか照らし合わせてもよいです。

練習問題

練習1　18/24を約分しましょう。何でわったかも書きましょう。

練習2　2/3 + 1/6を計算しましょう。使う分母を先に決めてください。

練習3　1と1/4 – 2/3を計算しましょう。くり下がりか、仮分数に直す方法を選びましょう。

練習4　容器に3/4 Lの水があり、さらに5/8 Lを入れました。合わせて何Lですか。帯分数で答えましょう。

途中式には、通分したあとの分数を残してください。間違えたときに、通分・計算・約分のどこを直すとよいか見つけられます。

答えと解説

練習1の答えは3/4です。18と24の最大公約数6でわると、18 ÷ 6 = 3、24 ÷ 6 = 4です。2でわって9/12にし、そのあと3でわっても同じ答えになります。

練習2の答えは5/6です。6は3の倍数なので、2/3を4/6に直せば、4/6 + 1/6 = 5/6と計算できます。

練習3の答えは7/12です。1と1/4 = 5/4より、5/4 – 2/3 = 15/12 – 8/12 = 7/12です。帯分数のままなら1と3/12を15/12に直してひきます。

練習4の答えは1と3/8 Lです。3/4 + 5/8 = 6/8 + 5/8 = 11/8で、8/8が1 Lなので1と3/8 Lになります。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

等しい分数を作る考え方は、この先の分数のかけ算やわり算でも使います。計算の種類が変わっても、もとの量を変えずに表すことや、最後に約分することは共通です。

家庭では5分ほどで、次の2つを試せます。1つ目は、同じ長さの紙テープを2本用意し、一方の半分と、もう一方の4等分した2個分を重ねることです。2つ目は、料理の計量カップを思い浮かべ、1/2カップと1/4カップを合わせる図をかき、1/4カップ何個分か説明することです。

お子さまが通分で止まる場合、個別指導では倍数の探し方まで戻り、分子を変え忘れる場合は等しい分数の図まで戻って確かめます。答えだけを直すのではなく、どの区切りを1個として見ているかを言葉で確かめます。

まとめ

ノートに通分の式を書けたら、その横に小さなテープ図を添えてみましょう。式の分母が図の区切りに、分子がその個数に対応していれば、数字の動かし方だけに頼らずに計算できています。違う答えが出たときも、区切りの大きさと個数のどちらが変わったかを見れば、戻る場所を探せます。

半分のリボンと3分の1のリボンを合わせるとき、まず必要なのは同じものさしです。分数のたし算とひき算を支えるのは、同じ大きさにそろえてから数えるという約束です。