【小5算数】平均を図解で総まとめ—ならして考える・平均から合計を求める｜武蔵野個別指導塾

ならす図と4つの例題で、平均の求め方、0の数え方、平均から合計を求める方法をたどります。歩はばから道のりを見積もる考え方も、親子で話しながら使える考え方です。

よくあるのは、公園のベンチで歩いた記録を見ながら、「歩はばは毎回ちがうのに、1歩の長さをどう決めるのですか」と手が止まる場面です。長い1歩だけを選べば道のりを長く見積もり、短い1歩だけなら短く見積もってしまいます。ばらばらの長さをひとまとめにして、同じ長さにならして考えるときに役立つのが平均です。

「全部たして、わる」と覚えていても、0が出てきたり、平均から合計を求めたりすると迷うことがあります。計算を始める前に、「何を集めて、いくつ分にならすのか」を言葉にすると、式の意味がつながります。平均を学ぶと、毎日の読書のページ数や、容器ごとの水の量などを、1日分、1個分の大きさで表せます。まずは量を移してそろえる図から、平均のしくみを確かめましょう。

この単元で身につけること

• 平均の意味を説明します。大きいものから小さいものへ量を移し、合計を変えずに等しくそろえることを「ならす」といいます。
• 平均を計算で求めます。量の合計を出し、その合計に含まれる個数や人数、日数などでわります。何でわるかまで説明できることが目標です。
• 0の記録も正しく数えます。調べた結果が0だった場合、その回やその日も、平均を求めるための個数に含めます。
• 平均から合計を求めます。ならした1個分の量に個数をかけると、もとの合計に戻せます。平均と合計のちがいも確かめます。
• 歩はばの平均を使います。歩いた道のりと歩数から1歩分を求め、その値を使って別の道のりをおよそ見積もります。

これまで学んだ「等しく分けるわり算」と「同じ量のいくつ分を求めるかけ算」が土台です。平均は新しい計算の種類ではなく、この2つをばらばらの量に使う考え方です。

基本の考え方

ならしても合計は変わりません

3つの容器に、水がそれぞれ200mL、400mL、600mL入っているとします。600mLの容器から200mLを取り、200mLの容器へ移すと、全部が400mLになります。水を加えたり捨てたりしたわけではないので、水の合計は変わりません。このように、いくつかの量を同じ大きさにならしたときの1つ分の量を平均といいます。

図1のように、もとの量の高さはばらばらでも、ならしたあとはそろいます。左と右では、水の合計も容器の数も同じです。図の横線1区切りは200mLを表し、200mLの分を低いほうへ動かす様子を考えられます。

計算なら、まず200 + 400 + 600 = 1200で合計を求めます。次に1200 ÷ 3 = 400とすれば、1つ分の量がわかります。平均を求める式は「平均 = 合計 ÷ 個数」です。この個数は、問題によって人数、回数、日数などに読みかえます。3つの容器なら3でわり、5日分の記録なら5でわります。

ならすとは、必ず実物を動かすという意味ではありません。読んだページ数や走った回ごとの記録も、数の上でならせます。「どれも同じ量だったと考えると、1つ分はいくつか」と問い直すと、水を移す図と結びつきます。

平均は実際にあった数とは限りません

2日間に読んだページ数が5ページと8ページなら、合計は13ページです。1日平均は13 ÷ 2 = 6.5で、6.5ページとなります。実際には6.5ページ読んだ日がなくても、平均として表してよいのです。2日とも6.5ページだったと考えた場合の合計が、もとの13ページにそろうからです。

人数や個数でも、平均では小数になることがあります。実際の人や物を小数の個数に分けるのではなく、合計を等しく分けた数を表しています。答えを整数にする指定がなければ、「個数だから」と勝手に小数を切り捨てないようにします。

平均は、調べた量のうち最も小さい値より小さくなったり、最も大きい値より大きくなったりしません。5ページと8ページなら、平均はその間にあります。ただし、最も小さい値と最も大きい値だけで平均を決めることはできません。間にある記録も含めて、すべての合計を使います。

平均と合計は行き来できます

平均が400mLで、容器が3つなら、合計は400 × 3 = 1200で1200mLです。ならした後の量を全部集めれば、もとの合計になるからです。「合計 = 平均 × 個数」と書けます。求めたいものが1つ分の平均なのか、全体の合計なのかで、使う計算が変わります。

ただし、平均と個数だけでは、それぞれのもとの量までは決まりません。3つが全部400mLでも、200mL、400mL、600mLでも平均は同じです。平均は全体の大きさを1つ分で表すのに役立ちますが、ばらつきまでは伝えません。また、平均を四捨五入した値から合計を求めると、およその合計になることにも気をつけます。

例題で解き方を確かめる

例題1　4回の記録をならします

輪投げを4回行い、入った輪の数が順に3個、5個、4個、6個でした。1回平均で何個入りましたか。

1. 合計を求めます。4回すべての記録を集めるので、3 + 5 + 4 + 6 = 18となり、合計は18個です。
2. 回数でわります。18個を4回分に等しくならすので、18 ÷ 4 = 4.5とします。
3. 答えの意味を確かめます。4.5 × 4 = 18となり、もとの合計に戻ります。平均4.5個は、3個から6個の間にも入っています。

答え：1回平均4.5個です。

輪を半分に切るわけではありません。平均の4.5個は、4回分を同じ数と考えるための値です。「4回とも4.5個とした合計」と「実際の4回の合計」が一致することを確かめてください。

例題2　0ページの日も含めます

5日間の読書の記録が12ページ、0ページ、8ページ、15ページ、10ページでした。この5日間では、1日平均何ページ読みましたか。

1. 5日分の合計を求めます。読まなかった日の0も記録に入れ、12 + 0 + 8 + 15 + 10 = 45とします。
2. 日数を数えます。問題は5日間の平均を聞いているので、0ページの日を含む5日でわります。
3. 平均を求めます。45 ÷ 5 = 9で、1日分にならすと9ページになります。

答え：1日平均9ページです。

「読んだ日だけの平均」という別の問いなら、読んだ4日を数えます。今回は「この5日間」とあるので5でわります。数が書いてあるかどうかではなく、どの範囲を調べているかが、わる数を決めます。

例題3　平均から全体を求めます

6個のみかんの重さは、1個平均125gでした。この6個の重さの合計は何gですか。平均は丸めていない値とします。

1. 平均が何を表すか確かめます。125gは6個の合計ではなく、同じ重さにならしたときの1個分です。
2. 6個分を求めます。図2のように125gの区切りを6つ並べるので、125 × 6 = 750とします。
3. 逆の計算で確かめます。750 ÷ 6 = 125となり、与えられた平均に戻ります。

答え：合計750gです。

図2の各区切りが同じ長さなのは、ならしたあとの1個分を表すからです。実際のみかんがすべて125gだという意味ではありません。軽いみかんと重いみかんがまじっていても、平均と個数がわかれば合計を求められます。

例題4　歩はばから道のりを見積もります

20歩で12m進みました。このときの歩はばの平均は何mですか。また、同じくらいの歩はばで150歩歩くと、道のりはおよそ何mになりますか。

1. 1歩分の平均を求めます。12mを20歩分にならすので、12 ÷ 20 = 0.6となり、歩はばの平均は0.6mです。
2. 150歩分を求めます。1歩0.6mとして計算するので、0.6 × 150 = 90となります。
3. 単位と答えの表し方を確かめます。0.6mは60cmです。歩はばは少しずつ変わるため、150歩の道のりは「およそ90m」と表します。

答え：歩はばの平均は0.6m、150歩の道のりはおよそ90mです。

1歩だけ測るより、何歩か歩いた道のりを歩数でわると、その間の長短をならせます。測り始めの足の位置から20歩進んだ位置までを測り、足を動かして進んだ回数を20回と数えます。歩数の数え方がずれると、計算が合っていても平均は変わってしまいます。

つまずきやすいところと直し方

0を個数から外してしまいます

間違った書き方は、3回の得点が0点、4点、8点のときに「(4 + 8) ÷ 2 = 6」とする式です。0をたしても合計は変わりませんが、0点だった回も1回に数えます。正しくは「(0 + 4 + 8) ÷ 3 = 4」で、平均4点です。

図3では、0点の回にも場所があります。棒が見えなくても記録がないわけではありません。平均4点の線までならすと、0点の回に足りない4点を、8点の回の上の4点で補えます。

なお、記録欄が空白のときは、0だったのか、まだ調べていないのかを確認します。わからない値を勝手に0として計算すると、別の平均になってしまいます。

平均どうしをそのままたしてわります

間違った書き方は、2日間の平均が10ページ、続く3日間の平均が20ページのとき、「(10 + 20) ÷ 2 = 15」で5日間の平均とする式です。それぞれの日数がちがうので、2つの平均を同じ1個分として扱えません。

正しい書き方は「(10 × 2 + 20 × 3) ÷ 5 = 16」です。先の2日間は20ページ、後の3日間は60ページで、合計80ページを5日にならします。平均が与えられたときは、一度合計に戻すと、集める量と日数がそろいます。

歩はばの単位を取り違えます

間違った書き方は、「歩はば60cmで150歩だから、60 × 150 = 9000m」です。計算の数は合っていても、cmの量をかけた答えはcmです。正しくは「60 × 150 = 9000」で9000cm、これをmに直して「9000 ÷ 100 = 90」で90mです。

先に60cmを0.6mに直し、0.6 × 150 = 90としてもかまいません。どちらの方法でも、式を書く前に「1歩が何cmか、何mか」を確かめます。単位は最後につけ足す飾りではなく、数が表す長さを決めるものです。

練習問題

練習1　4本のリボンの長さは18cm、22cm、19cm、25cmです。長さの平均は何cmですか。合計と本数を先に書いてから、式にしてください。

練習2　4日間に拾った落ち葉の数は6枚、0枚、10枚、8枚でした。この4日間では、1日平均何枚拾いましたか。何日でわるかも説明してください。

練習3　5袋の砂の重さは、1袋平均240gでした。5袋の合計は何gですか。平均は丸めていない値とします。

練習4　25歩で15m進みました。歩はばの平均は何mですか。その歩はばを使うと、80歩の道のりはおよそ何mですか。

答えと解説

練習1の答えは21cmです。18 + 22 + 19 + 25 = 84で、合計84cmを4本分にならし、84 ÷ 4 = 21とします。

練習2の答えは6枚です。合計は6 + 0 + 10 + 8 = 24で24枚です。0枚の日も含む4日間なので、24 ÷ 4 = 6とします。

練習3の答えは1200gです。1袋分にならした240gが5袋分あるので、240 × 5 = 1200です。合計を求めるため、わり算にはしません。

練習4の答えは0.6m、およそ48mです。15 ÷ 25 = 0.6で1歩分を求め、0.6 × 80 = 48で80歩分を求めます。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

平均の「1つ分にそろえる」見方は、この先の単位量あたりの大きさや速さにつながります。さらに資料を調べるときには、平均だけでなく、個々の値のちがいにも目を向けます。

家庭では5分ほどで、次の2つを試せます。1つ目は、机に積み木を2個、4個、6個と分けて置き、全部が4個になるように移す方法です。移す前後で合計を数え、変わらないことを確かめます。2つ目は、長さがわかる安全な場所を歩き、道のりを歩数でわって歩はばを求める方法です。保護者の方は、お子さまに「何を何個分にならしたの」と尋ねてみてください。

個別指導で式が止まるときは、合計を出せるか、その合計を何個分に分けるかまで戻って確かめます。わる数に迷う場合には、記録を1つずつ指で数えるところから整理します。

まとめ

平均の問題で答えが出たら、平均に個数をかけて、もとの合計に戻るかを確かめてみましょう。式だけでは見えにくかった0の回や、ならした1個分の意味も、その確かめ方の中で見えてきます。

歩はば0.6mという数の後ろには、20歩で進んだ12mがあります。平均を読むことは、その1つの数がどんな記録から生まれたかをたどることでもあります。平均の式には、量の合計と、それを分け合うすべての記録が必要です。