【小5算数】平均を図解で総まとめ—合計÷個数・平均から合計・0 を含む平均｜武蔵野個別指導塾

ばらばらな量をならす図から、平均の意味を確かめます。0を含む記録、平均から合計を戻す問題、歩幅で距離を見積もる問題を、例題と家庭での声かけで順にたどれます。

よくあるのは、祖父母の家の客間で玉入れ遊びの記録を見ながら、「4回の平均」を求めようとして、1個も入らなかった回を数えるかどうかで手が止まるという場面です。記録は3個、5個、0個、4個です。全部で12個入ったことはわかっていても、12 ÷ 3と12 ÷ 4のどちらなのかが決まりません。たし算では0を足しても答えが変わらないため、わり算の回数からも0の回を外したくなるのです。

平均の学習では、計算の前に「何を集めて、いくつに分けるか」をそろえます。大きい数と小さい数があっても、全部を同じ大きさにならして考えると、1回分や1個分の見当をつけられます。逆に、平均と回数がわかれば、全体の量も求められます。

歩くときの1歩の長さにも、少しずつ違いがあります。その違いを平均でまとめれば、歩数からおよその距離を求められます。式を覚えるだけでなく、記録の数え方や単位の読み方まで、順に確かめていきましょう。

この単元で身につけること

• 平均の意味を説明します。ばらばらな量を、合計を変えずに同じ大きさにならしたときの1つ分が平均です。実際に全ての量が同じだったという意味ではありません。
• 合計と個数から平均を求めます。平均 = 合計 ÷ 個数という関係を使います。個数に当たるものは、問題によって人数、日数、回数などに変わります。
• 平均から合計を求めます。合計 = 平均 × 個数という関係を使います。平均が1つ分の大きさであることを、かけ算につなげます。
• 0を含む記録を正しく数えます。0も結果の1つなので、対象の回数に含めます。記録がない場合と、記録が0の場合を区別します。
• 平均の歩幅から距離を見積もります。何歩分の長さを測ったのかを確かめ、1歩分を求めてから歩数をかけます。cmとmの換算も合わせて扱います。

これまで学んだ「全部を同じ数ずつ分けるわり算」と「1つ分の数 × いくつ分」が土台になります。計算ができても文章題で迷うときは、その式の数が何を表すのかを言葉にすると、選ぶ計算が見えてきます。

基本の考え方

平均は、合計を変えずにならした1つ分です

4個の容器に、水がそれぞれ2 dL、4 dL、6 dL、8 dL入っているとします。水をこぼさずに移して、どの容器にも同じ量が入るようにすると、1個分は何dLになるでしょうか。初めに全体の量を求めると、2 + 4 + 6 + 8 = 20で、合計は20 dLです。これを4個に等しく分けるので、20 ÷ 4 = 5となります。この5 dLが、水の量の平均です。

図1のように、高さの違う棒を同じ高さにならして考えます。図の棒は同じ幅で、高さが水の量に比例しています。左側でも右側でも、棒4本分の量を合わせると20 dLです。ならす前の違いはなくなりますが、全体の量と容器の個数は変わりません。

図1の赤い点線は、平均の5 dLを表します。2 dLの容器は5 dLまで3 dL足りず、4 dLの容器は1 dL足りません。一方、6 dLの容器は1 dL多く、8 dLの容器は3 dL多くなっています。足りない量を合わせた4 dLと、多い量を合わせた4 dLが等しいので、多いほうから移せば全て5 dLにできます。

家庭で伝えるなら、「水を増やしたり捨てたりせず、どれにも同じ量を入れるとしたら、いくつになるかな」と声をかけるとよいでしょう。「真ん中の数を選ぶ」という説明だけでは、記録を並べた中央の値を選ぶ方法と混ざってしまいます。平均では、全ての量を使って合計を求めることが必要です。

平均が、もとの記録に出てこない数になる場合もあります。今の水の量は2 dL、4 dL、6 dL、8 dLで、5 dLの容器はありません。それでも平均は5 dLです。平均は記録の中から代表を1つ選び出すのではなく、全体をならして新しく求める値だからです。

合計と個数を対にして読みます

平均を求める式は、平均 = 合計 ÷ 個数です。この「個数」は、いつも「個」という単位になるわけではありません。4回の玉入れなら4回、5日間の読書なら5日、3人の記録なら3人が、いくつ分に当たります。合計に入れた範囲と、分ける数の範囲が一致していることを確かめます。

たとえば、月曜日から金曜日までに読んだページ数を足したのなら、5日分として5でわります。その中に読書をしなかった日があっても、「月曜日から金曜日までの1日平均」を求めるなら5日で考えます。「読書をした日の平均」を求める問題なら対象が変わるので、読んだ日だけを数えます。数字だけを見て決めず、何の平均を求めるのかを先に読み取ります。

平均の単位は、何をならしたかによって決まります。水の量をならせばdL、読んだページ数をならせばページ、歩幅をならせばcmです。合計の単位と平均の単位は同じでも、意味には違いがあります。「合計20 dL」と「1個当たりの平均5 dL」を、言葉を添えて区別すると読み違いを防げます。

平均と個数が先にわかっているときは、合計 = 平均 × 個数を使います。平均5 dLの容器が4個あるなら、5 × 4 = 20で、全体は20 dLです。全ての容器に実際に5 dL入っていると断定はできませんが、ならした状態で考えた合計は、もとの合計と一致します。ここが、平均から全体を求められる理由です。

小数の平均と、およその平均を区別します

物の個数の平均でも、小数で表すことがあります。2回の玉入れで、入った数が2個と3個なら、合計は5個です。5 ÷ 2 = 2.5なので、1回の平均は2.5個になります。実際の玉を半分に切るわけではありません。「2回分を同じ大きさにならすと、1回分は2.5個に当たる」という意味です。

平均だから必ず整数にする、という決まりはありません。答えが小数になっただけで、勝手に切り捨てたり四捨五入したりしないようにします。問題に「小数第1位まで」などの指示があるときは、その指示に合わせます。指示がなく割り切れる場合は、求めた値をそのまま使います。

また、正確な平均と、丸めた平均から求めた合計は区別します。平均そのものが正確にわかっていれば、個数をかけると正確な合計になります。一方、「約」と付いた平均から出す合計は、原則としておよその量です。歩幅のように実際に測った値を使う場面では、この見方が特に役立ちます。

例題で解き方を確かめる

例題1　4日間の読書の平均

4日間で読んだページ数は、順に12ページ、18ページ、15ページ、19ページでした。1日平均で何ページ読んだことになりますか。

1. 4日間のページ数を全て足します。12 + 18 + 15 + 19 = 64で、合計は64ページです。平均では、少ない日の記録も多い日の記録も同じように合計へ入れます。
2. 合計を日数でわります。64 ÷ 4 = 16なので、1日当たりにそろえると16ページです。4日分の合計を求めたため、わる数も4になります。
3. かけ算で元に戻して確かめます。16 × 4 = 64なので、ならす前後の合計が一致しています。平均16ページは、最も少ない12ページと最も多い19ページの間にも入っています。

答え：1日平均16ページです。

「16ページ読んだ日がないから違う」と感じたら、平均は全ての日を同じ量にしたときの数だと説明します。12ページの日には4ページ足りず、15ページの日には1ページ足りません。18ページの日の2ページ分と19ページの日の3ページ分を合わせると、ちょうどその不足を補えることも確かめられます。

平均が最小の値より小さくなったり、最大の値より大きくなったりしたら、合計か日数の読み取りを見直します。ただし、その間に収まっているだけで正解とは限りません。かけ戻して合計を確かめるところまで行うと、計算の見直しが具体的になります。

例題2　平均から合計と、残りの量を求める

5個のみかんの重さの平均は120 gです。そのうち4個の重さは、110 g、125 g、115 g、130 gでした。残りの1個の重さは何gですか。

1. 5個全体の重さを平均から求めます。120 × 5 = 600なので、合計は600 gです。120 gは1個分にならした重さなので、5個分を求めるには5をかけます。
2. わかっている4個の重さを足します。110 + 125 + 115 + 130 = 480なので、その4個の合計は480 gです。ここでは4個だけの平均を求める必要はなく、重さの合計を出します。
3. 全体から、わかっている部分をひきます。600 – 480 = 120なので、残りの1個は120 gです。全体600 gが「わかっている4個」と「残りの1個」に分かれるため、ひき算で求められます。
4. 5個分に戻して確かめます。480 + 120 = 600、600 ÷ 5 = 120となり、問題にある平均と一致します。平均と同じ重さの1個になりましたが、これは今回の数の場合です。

答え：残りの1個の重さは120 gです。

図2のように、全体600 gの線分を、わかっている480 gと残り120 gに分けて考えます。下の5等分は、1個平均120 gとして全体を見たものです。実際のみかん5個がどれも120 gだったという図ではありません。

図2の上の区切りと下の4個分の区切りがそろうのは、わかっている4個の合計が480 gだからです。問題を解くときは、まず「平均120 gは5個全部についての数」と押さえましょう。残りの重さをすぐに120 gと決めず、全体から求める手順なら、残りが平均と違う問題でも解けます。

例題3　0個だった回を含む平均

玉入れを4回行い、入った玉の数が3個、5個、0個、4個でした。4回を通した1回の平均は何個ですか。

1. 入った玉の合計を求めます。3 + 5 + 0 + 4 = 12なので、合計は12個です。0個の回も記録に含めて書くと、数え落としに気づきやすくなります。
2. 行った回数を数えます。記録は4つあるので、わる数は4です。玉が入った回だけでなく、玉入れを行った全ての回が対象です。
3. 合計を回数でわります。12 ÷ 4 = 3なので、1回の平均は3個です。0個だった回にも、ならした後には3個分を配ると考えます。

答え：1回の平均は3個です。

0を足さずに3 + 5 + 4としても合計は12のままですが、だからといって回数が3回になるわけではありません。式だけで迷うときは、4つの枠をかき、それぞれに3、5、0、4と書きます。わる数を決めるときに枠を数えると、合計と回数を別々に確かめられます。

例題4　平均の歩幅から距離を求める

ふだんの歩き方で20歩進んだ距離を3回測ると、11.8 m、12.2 m、12.0 mでした。この結果から1歩の長さの平均を求め、その歩幅で750歩進むときのおよその距離を求めましょう。ここでは、1歩進むごとの長さを歩幅とします。

1. 測った距離の合計を求めます。11.8 + 12.2 + 12.0 = 36.0なので、3回分の距離は36 mです。それぞれ20歩ずつ歩いているので、合わせて20 × 3 = 60歩分の長さになります。
2. 1歩分にならします。36 ÷ 60 = 0.6なので、平均の歩幅は0.6 mです。mをcmに直すと、0.6 × 100 = 60で60 cmとなります。
3. 750歩分の距離を求めます。0.6 × 750 = 450なので、およそ450 mです。1歩分の長さに歩数をかけることで、全体の距離になります。
4. 単位を変えた計算でも確かめます。60 × 750 = 45000で45000 cm、45000 ÷ 100 = 450で450 mです。同じ距離になるので、単位の換算も確かめられます。

答え：平均の歩幅は60 cm、750歩の距離はおよそ450 mです。

36 ÷ 3 = 12と計算してから、12 ÷ 20 = 0.6としても求められます。ただし、12 mは「20歩分の距離の平均」であって、1歩の平均ではありません。計算の横に「20歩分」「1歩分」と書くと、途中で止めてしまう誤りを防げます。

実際には、道の様子や歩き方によって歩幅が変わります。平均の歩幅を使うのは、毎回全く同じ長さで歩くと決めつけるためではなく、距離の目安を得るためです。途中で走ったり、意識して大またにしたりせず、同じような歩き方で測った記録を使います。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　0の回を外してわってしまう

誤った書き方：3個、5個、0個、4個の平均を、12 ÷ 3 = 4で4個とします。玉が入った回が3回あることを、そのままわる数にしてしまった書き方です。

どこが違うか：求めるのは「4回を通した1回の平均」です。0個は「その回がなかった」という意味ではなく、「行ったけれど入った数が0だった」という結果です。0個の回を外すと、「玉が入った回だけの平均」という別の問いに答えたことになります。

正しい書き方：3 + 5 + 0 + 4 = 12、12 ÷ 4 = 3とします。図3のように、3回目の棒には高さがなくても、横の位置は残っています。赤い点線の高さ3個までそろえるためには、3回目にも量を配る必要があります。

図3では、5個の回から2個分、4個の回から1個分を移すと、0個の回を3個分にできます。図の中の場所を丸ごと消すのではなく、空の場所も含めてならすのがポイントです。「入らなかった回にも、1回分の席を残そう」と伝えると、回数を意識しやすくなります。

なお、測り忘れなどで空欄になっている記録を、勝手に0としてはいけません。0は結果がわかっている数で、空欄は値がわからない状態です。平均を求める対象が決められない場合は、問題文の条件や記録の意味を読み直します。

誤り2　平均を足して2でわれば、全体の平均になると思う

誤った書き方：2日間の読書の平均が10ページ、続く3日間の平均が20ページだったとき、(10 + 20) ÷ 2 = 15で、5日間の平均を15ページとします。平均が2つあるから2でわる、と考えた書き方です。

どこが違うか：10ページは2日分、20ページは3日分をならした数です。まとめる日数が異なるため、2つの平均を同じ1つ分として扱うことはできません。全体の平均を出すには、どちらも合計へ戻してから合わせます。

正しい書き方：10 × 2 = 20、20 × 3 = 60で、それぞれの合計は20ページと60ページです。全体は20 + 60 = 80ページ、日数は2 + 3 = 5日なので、80 ÷ 5 = 16で1日平均16ページです。平均15ページとすると15 × 5 = 75ページとなり、実際の合計80ページに届きません。

日数が同じ2つのまとまりなら、2つの平均を足して2でわる方法でも求められます。しかし、まずは合計と日数に戻す方法を使うと、日数が同じか違うかにかかわらず扱えます。「平均の後ろに、何日分の記録があるかな」と確かめる習慣をつけます。

誤り3　歩幅の単位を変えずに答えの単位だけ変える

誤った書き方：歩幅60 cmで750歩進む距離を、60 × 750 = 45000として、45000 mと答えます。かけ算自体は合っていますが、cmで計算した結果にmを付けてしまっています。

どこが違うか：60 cmの長さを750個分集めても、求まる長さの単位はcmです。数字が大きくなったからといって、自動的にmへ変わることはありません。1 m = 100 cmという関係を使って換算します。

正しい書き方：60 × 750 = 45000で45000 cm、45000 ÷ 100 = 450で450 mです。または、先に60 cmを0.6 mへ直して、0.6 × 750 = 450と求めます。どちらの方法でも、式の横に単位を残すと変えた場所がはっきりします。

距離を求める前には、「1歩は1 mより短いから、750歩の距離も750 mより短くなりそう」と見当をつけられます。45000 mという答えがその見当と大きく違うと気づけば、筆算を全部やり直す前に単位を点検できます。

練習問題

計算を始める前に、平均を求める問題か、平均から合計を求める問題かを読み分けます。答えの数字だけでなく、何回分、何個分、何歩分を使ったかも書いてみましょう。歩幅の問題では、途中の長さにも単位を付けます。

練習1

5回の玉入れで、入った数は6個、0個、8個、4個、7個でした。5回を通した1回の平均は何個ですか。わる数を選んだ理由も説明しましょう。

練習2

4個のりんごの重さの平均は150 gです。そのうち3個の重さが140 g、155 g、145 gのとき、残りの1個は何gですか。全体の重さを先に求めましょう。

練習3

ふだんの歩き方で10歩進んだ距離を3回測ると、5.8 m、6.1 m、6.1 mでした。平均の歩幅は何cmですか。また、その歩幅で400歩進むと、およそ何mになりますか。

練習4

2回の玉入れで、入った数は2個と5個でした。1回の平均は何個ですか。また、別の4回の記録で平均が3.5個だったとき、その4回で入った玉の合計は何個ですか。

答えと解説

練習1の答えは5個です。6 + 0 + 8 + 4 + 7 = 25、25 ÷ 5 = 5と計算します。0個の回も玉入れを行った1回なので、全部で5回です。5 × 5 = 25と戻すと、合計も確かめられます。

練習2の答えは160 gです。全体は150 × 4 = 600で600 g、わかっている3個は140 + 155 + 145 = 440で440 gです。残りは600 – 440 = 160となります。残りの1個は平均150 gと同じではありません。440 + 160 = 600、600 ÷ 4 = 150として条件を確かめます。

練習3の答えは、歩幅60 cm、距離およそ240 mです。距離の合計は5.8 + 6.1 + 6.1 = 18で18 m、歩数の合計は10 × 3 = 30で30歩です。18 ÷ 30 = 0.6で1歩分は0.6 m、つまり60 cmです。0.6 × 400 = 240から、およそ240 mと求められます。18 ÷ 3 = 6で出る6 mは10歩分の平均なので、1歩分にするにはさらに10でわります。

練習4の答えは、平均3.5個、合計14個です。2 + 5 = 7、7 ÷ 2 = 3.5で、平均は小数になります。後半は別の4回分なので、3.5 × 4 = 14と計算します。玉そのものは整数で数えても、平均を小数で表すことには矛盾がありません。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

平均の「全体をいくつ分でわって、1つ分を見る」という考え方は、単位量あたりの大きさにつながります。また、記録を1つの数にまとめる見方は、さらに学ぶデータの調べ方の土台になります。同じ平均でも元の記録は違うことがあるため、平均と合わせて元の数にも目を向けることが必要です。

家庭では、次の2つをそれぞれ5分ほどで確かめられます。正解を急がず、お子さまが式に入れた数の意味を説明できるかを見ます。

1. 紙に4つの枠をかき、小さな物を1個、3個、5個、7個ずつ置きます。多い枠から少ない枠へ移し、全部4個になることを確かめます。移す前の合計16個と、4 × 4 = 16が一致するところまで話します。
2. 3枚の紙に「2個」「0個」「4個」と書き、平均を求めます。合計6個を3回でわって2個です。次に平均2個から3回分の合計6個へ戻し、0の紙も回数に含めた理由を説明してもらいます。

個別指導で平均の式が結びつかないときは、同じ数ずつ配るわり算まで戻って確かめます。計算はできるのに答えがずれる場合は、合計に使った記録と、わる回数が対応しているかを一緒に読み直します。

まとめ

祖父母の家の客間で迷った0個の記録には、「確かに1回行った」という意味が残っています。そこを消さずに考えられると、平均は単に数を足してわる計算ではなく、記録全体を公平にならす道具になります。式を立てる前に、何の合計か、いくつ分かを一言ずつ添えてみてください。

答えが合ったときも、かけ算で合計へ戻すと、ならす前後のつながりを確かめられます。平均の式でわるのは、0でない数の個数ではなく、ならす対象の個数です。