【小6算数】分数のわり算を図解で総まとめ—逆数をかける・なぜ逆数か・小数混じりの計算｜武蔵野個別指導塾

3/4の中に1/2がいくつ分あるかを図で確かめ、逆数をかける理由をたどります。帯分数や小数が混じる計算、1 mあたりの重さを求める文章題まで、家庭で説明する言葉とともに学べます。

よくあるのは、体育館の隅のタイム表を見ながら、「3/4分を1/2分ずつの区切りで考えると、何区切り分になるか」と聞かれ、3/4 ÷ 1/2と書いたところで手が止まる場面です。「ひっくり返してかける」は覚えていても、どちらをひっくり返すのか、答えがもとの数より大きくなってよいのかが気になります。

分数のわり算は、新しい記号の操作を覚えるだけの学習ではありません。「ある量の中に、基準の量がいくつ分あるか」「同じ割合で増えるとき、1あたりはいくらか」を求める計算です。基準になる量が整数から分数に変わっても、わり算の意味は続いています。

ここでは、図と式を行き来しながら、わる数の逆数をかける理由を確かめます。計算の順序、約分、小数の直し方までつながれば、見た目の違う問題にも同じ手順で取り組めます。お子さまに説明するときも、先に「何を1つ分と見ているか」を確かめると、式の意味を共有しやすくなります。

この単元で身につけること

• 分数でわる意味をとらえます。3/4 ÷ 1/2なら、3/4の中に1/2がいくつ分あるかを考えます。答えの1は、もとの量の1ではなく、基準の量の1つ分です。
• 逆数をかける理由を説明します。わられる数とわる数に同じ数をかけても商は変わらない性質を使い、わる数を1にします。
• 計算をかけ算に直して約分します。逆数にするのはわる数です。わられる数はそのままにし、÷を×に変える操作と組にして書きます。
• 帯分数、整数、小数を分数にそろえます。帯分数は仮分数に、整数は分母が1の分数に、小数は位に合った分数に直せます。
• 答えの大きさと単位を確かめます。計算の前に増減を見積もり、計算の後には「商 × わる数」でわられる数に戻るか調べます。

これまで学んだ分数の性質、分数のかけ算、小数のわり算で使った決まりが土台です。特に約分と通分の違い、かけて1になる数の組を確かめておくと、理由と手順がつながります。

基本の考え方

「いくつ分」と「1あたり」を区別します

12 ÷ 3を「12の中に3が4つ分ある」と考えたことを思い出します。この3が1/2に変わっても、「いくつ分」を求める意味は同じです。3/4 ÷ 1/2では、3/4という量を、1/2という大きさのまとまりで測ります。

図1のように、同じ長さの全体を4等分します。上の色のついた部分が3/4、下の色のついた部分が基準の1/2です。上下で全体の長さをそろえることが、分数を比べるための大事な条件です。

図1の上には1/4が3個あり、下には1/4が2個あります。小さい1/4を共通の単位にすると、「3個の中に2個のまとまりがいくつ分あるか」なので、3 ÷ 2 = 3/2と求められます。つまり3/4 ÷ 1/2 = 3/2 = 1 と 1/2です。

ここで残る1/4は、基準の1/2の半分です。「1つ分と、さらに半分のまとまり」があるので、答えは1 と 1/2になります。「1つ分と1/4」としないよう、残った量そのものと、基準に対して何個分かを区別します。タイム表の場面でも、1/2分の区切りが1つと、その半分の長さがあります。完成した区切りだけの個数を聞いているのではなく、何区切り分の時間かを求めています。

もう1つの使い方が「1あたり」です。たとえば、長さが分数で表された針金の重さから1 mあたりの重さを求めるときにも、重さ ÷ 長さを使います。長さと重さが同じ割合で増える針金なら、長さを1 mに直す操作を重さにも行えばよいからです。何を1にそろえる問題なのかを言葉にしてから式にします。

わる数を1にすると逆数が現れます

逆数とは、かけ合わせると1になる数のことです。1/2の逆数は2、2/3の逆数は3/2です。分数は分母と分子を入れ替えると逆数になります。整数も3 = 3/1と表せば、逆数は1/3だとわかります。なお、0には逆数がなく、0でわる計算はできません。この単元では、わる数が0でない計算を扱います。

わり算には、わられる数とわる数に同じ0でない数をかけても、商は変わらない性質があります。12 ÷ 3 = 4で、両方に2をかけた24 ÷ 6も4です。1つ分の大きさと全体の大きさを同じ割合で広げれば、いくつ分かは変わりません。小数のわり算で、両方を10倍してわる数を整数にしたときにも使った性質です。

3/4 ÷ 1/2では、両方に2をかけます。すると、(3/4 × 2) ÷ (1/2 × 2) = 3/2 ÷ 1 = 3/2です。わる数が1になったので、わられる数に2をかけた結果がそのまま商になります。この2が、もとのわる数1/2の逆数です。

わる数が2/3なら、両方に3/2をかければわる数が1になります。したがって、分数でわる計算は、わる数の逆数をかける計算に直せます。これは「÷を見たら数字を入れ替える」という見た目だけの決まりではありません。商を変えずにわる数を1へ直すための手順です。

図1で使った通分からも確かめられます。3/4 ÷ 1/2 = 3/4 ÷ 2/4で、同じ大きさの1/4を単位にすると3 ÷ 2になります。ただし、毎回通分してから計算する必要はありません。意味を確かめるための方法と、手早く計算するための逆数の方法をつなげておきます。

計算の前に商の大きさを考えます

わられる数が正の数のとき、1より小さい数でわると、商はわられる数より大きくなります。1/2でわることは2をかけることなので、3/4 ÷ 1/2の答えが3/4より大きくなるのは自然です。「わり算なら小さくなる」という整数の計算からの思い込みを、ここで見直します。

反対に、1より大きい数でわると商は小さくなり、1でわると変わりません。ただし、「わられる数より大きい」と「1より大きい」は別です。1/4 ÷ 1/2 = 1/2は、もとの1/4より大きいものの1には届きません。基準の1/2が全部は入らないので、いくつ分かという答えは1未満です。

保護者からは、「何を1つ分にしているかな。今ある量には、そのまとまりが1つ分より多く入るかな」と声をかけてみてください。正しい計算手順をすぐ伝える前に、答えの方向をお子さまと確かめられます。

例題で解き方を確かめる

例題1　分数どうしのわり算

2/3 ÷ 4/5を計算します。わる数4/5は1より小さいので、答えは2/3より大きくなるはずです。一方、2/3は4/5より小さいので、4/5のまとまりは1つ分に届きません。この2つから、答えは2/3より大きく1より小さいと見通せます。

1. わる数4/5の逆数を5/4とします。わる数を1にするために使う数なので、2/3のほうは変えません。
2. 2/3 ÷ 4/5 = 2/3 × 5/4と書きます。逆数に直したのと同時に、わり算をかけ算に変えます。
3. 分子の2と分母の4を2で約分します。かけ算に直した後なので、別の分数の分子と分母の間でも約分できます。
4. 1/3 × 5/2 = 5/6と求めます。分子どうし、分母どうしをかけ、これ以上約分できないことを確かめます。

答え：5/6です。

5/6は見通しどおりの大きさです。さらに、5/6 × 4/5 = 2/3となるので、わられる数に戻ります。約分せずに先にかけた10/12から5/6に直しても同じ答えですが、途中で約分すると扱う数を小さくできます。

例題2　帯分数を含むわり算

1 と 1/2 ÷ 2 と 1/4を計算します。ここでは帯分数全体がそれぞれ1つの数です。整数部分だけ、分数部分だけを別々にわることはしません。わる数は2より大きいので、商はもとの1 と 1/2より小さくなります。

1. 1 と 1/2 = 3/2、2 と 1/4 = 9/4と直します。帯分数を仮分数にすると、分母と分子だけで1つの数を表せます。
2. 3/2 ÷ 9/4 = 3/2 × 4/9とします。9/4の逆数は4/9であり、帯分数の分数部分だけを入れ替えるわけではありません。
3. 分子の3と分母の9を3で、分子の4と分母の2を2で約分します。両方の約分が済むと、1/1 × 2/3になります。
4. 1/1 × 2/3 = 2/3と計算します。最後に分母と分子に共通の約数が残っていないかを見ます。

答え：2/3です。

2/3 × 9/4 = 3/2なので、もとの1 と 1/2に戻ります。帯分数が2つあると、逆数にする前の直し方で間違いが起こりやすくなります。初めのうちは、帯分数を仮分数にする行と、わり算をかけ算に変える行を分けて書くと、どこまで正しくできているかが見えます。

例題3　小数と整数が混じる計算

0.6 ÷ 3/4 × 2を計算します。かけ算とわり算が続く式は、左から順に計算します。右側の3/4 × 2を先に1つの数にまとめると、もとの式とは違う計算になるので注意します。

1. 0.6 = 6/10 = 3/5、2 = 2/1と表します。小数を分数にそろえることで、同じ計算方法を使えます。
2. 3/5 ÷ 3/4 × 2/1 = 3/5 × 4/3 × 2/1と直します。÷の直後にある3/4だけを逆数にします。最後の2はかける数なので、そのままです。
3. 分子と分母の3を約分し、1/5 × 4/1 × 2/1 = 8/5と求めます。すべてかけ算になった後は、全体を見て約分できます。
4. 8/5 = 1 と 3/5と直します。答えの形に指定がなければ8/5も同じ値ですが、ここでは帯分数で示します。

答え：1 と 3/5です。

左から1段階ずつ求めても、0.6 ÷ 3/4 = 4/5、4/5 × 2 = 8/5となります。小数で表すと1.6です。小数混じりだからといって、すべてを小数に直す必要はありません。分数には小数で書き終わらないものもあるため、分数にそろえると正確な値のまま計算を続けられます。

例題4　1 mあたりの重さを求める文章題

どの部分も同じ太さで、長さに応じて重さが同じ割合で増える針金があります。3/4 mの重さが2/5 kgでした。この針金1 mの重さは何kgですか。重さを長さでわって、1 mあたりの重さを求めます。

1. 求めるものを「1 mの重さ」と確かめ、2/5 ÷ 3/4と立式します。1にそろえたい量が長さなので、長さを表す3/4がわる数です。
2. 図2のように、3/4 mを3等分して1/4 mの重さを考えます。長さが3等分されると重さも3等分され、2/5 ÷ 3 = 2/15 kgです。
3. 1 mは1/4 mの4つ分なので、2/15 × 4 = 8/15 kgと求めます。3でわって4をかける操作が、4/3をかけることに当たります。
4. 逆数の方法でも、2/5 ÷ 3/4 = 2/5 × 4/3 = 8/15と計算します。2つの方法の答えが一致することを確かめます。

答え：1 mの重さは8/15 kgです。

図2では、上の針金が1/4 mずつの3区画、下が同じ長さの4区画です。下の最後の区画だけを別の色にして、1 mにするために増える部分を示しています。1 mは3/4 mより長いので、答えの重さも2/5 kgより大きくなるはずです。

8/15 × 3/4 = 2/5で、もとの針金の重さに戻ります。文章題で逆の3/4 ÷ 2/5を計算すると、重さ1 kgあたりの長さを求めることになります。数が2つあるから先に出た数をわられる数にするのではなく、どの量を1にするのかで順序を決めます。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　両方の分数を逆数にします

誤った書き方は、2/3 ÷ 4/5 → 3/2 × 5/4 = 15/8です。わられる数まで逆数にしたところが違います。わる数を1にするために必要なのは、両方に5/4をかけることであって、両方を逆数にすることではありません。

正しい書き方は、2/3 ÷ 4/5 = 2/3 × 5/4 = 5/6です。元の式の4/5を丸で囲み、その真下に5/4を書いてから÷を×に変えます。変えない2/3を先に写す方法も、操作する場所をはっきりさせる助けになります。

誤り2　わり算の形のまま約分します

誤った書き方は、2/3 ÷ 5/6 → 1/3 ÷ 5/3 = 1/5です。分子の2と、わる数の分母6を2でわって消したところが違います。わり算の形で斜めにある数字を消しても、かけ算で行う約分と同じにはなりません。この操作では、わられる数を半分にする一方、わる数を2倍にしてしまっています。

正しい書き方は、2/3 ÷ 5/6 = 2/3 × 6/5 = 4/5です。先に逆数をかける式に直すと、6は分子に移ります。そこで分母3と分子6を3で約分し、2/1 × 2/5 = 4/5と計算します。もとの分子2と6は、かけ算に直した式ではどちらも分子なので、その2つの間で約分はできません。

約分は、全体の分子と分母を同じ数でわっても分数の大きさが変わらない性質を使います。位置だけで数字を消すのではなく、まず式をかけ算にそろえると、その条件を見やすくできます。消した数字だけを残さず、約分した後の1や2も書くと、次にかける数を見失いません。

誤り3　わり算なので小さくなると決めます

誤った書き方は、3/4 ÷ 1/2 → 3/8です。これは、わる数を逆数にせず3/4 × 1/2として計算した結果です。「わり算だから小さくなるはず」と考えると、計算を間違えていても気づきにくくなります。

正しい書き方は、3/4 ÷ 1/2 = 3/4 × 2 = 3/2です。図3のように、わられる数3/4を同じにして、2でわる場合、1でわる場合、1/2でわる場合を並べると、わる数と商の関係を比べられます。

図3の横の長さは、同じ尺度で商の大きさを表しています。3/4 ÷ 2 = 3/8は短く、3/4 ÷ 1 = 3/4はそのまま、3/4 ÷ 1/2 = 3/2は長くなります。1/2のような小さな量を1つ分とすると、そのまとまりは多く数えられると考えます。

見積もりは、答えを正確に出す代わりにはなりません。ただ、答えが予想した範囲から外れたときに、逆数、約分、計算順序のどこを見直すかを知らせてくれます。お子さまが答えを直せたら、「なぜその答えならよいと思うか」まで聞くと、直した理由も確かめられます。

練習問題

まず、わる数が1より大きいか小さいかを見てから計算します。文章題では、求めるものに下線を引き、答えに付く単位を先に書いておきます。途中の式は、分数にそろえる行と、逆数をかける行を分けてみてください。

練習1

5/6 ÷ 10/9を計算しましょう。答えは5/6より大きくなるか、小さくなるかも答えましょう。逆数に直した後、どの分子と分母を約分したか説明してみます。

練習2

2 と 1/3 ÷ 1 と 3/4を計算しましょう。まず2つの帯分数を仮分数に直します。計算後は、答えにわる数をかけて確かめましょう。

練習3

1.2 ÷ 3/5 ÷ 2を計算しましょう。÷が2つ続いています。それぞれのわる数を確かめ、左から計算する方法でも答えが一致するか調べます。

練習4

どの部分も同じ太さの針金で、長さと重さが同じ割合で増えるものがあります。5/6 mの重さが3/8 kgです。1 mの重さは何kgですか。式と答えを書き、もとの重さより大きくなる理由も説明しましょう。

答えと解説

練習1の答えは3/4で、5/6より小さくなります。5/6 ÷ 10/9 = 5/6 × 9/10です。5と10を5で、9と6を3で約分すると、1/2 × 3/2 = 3/4になります。わる数10/9は1より大きいため、商はもとの数より小さくなります。3/4 × 10/9 = 5/6でも確かめられます。

練習2の答えは1 と 1/3です。2 と 1/3 = 7/3、1 と 3/4 = 7/4なので、7/3 ÷ 7/4 = 7/3 × 4/7 = 4/3 = 1 と 1/3です。検算では4/3 × 7/4 = 7/3となり、もとの2 と 1/3に戻ります。帯分数のまま分子と分母を入れ替えないことが要点です。

練習3の答えは1です。1.2 = 6/5なので、6/5 ÷ 3/5 ÷ 2 = 6/5 × 5/3 × 1/2 = 1と求めます。2でわるところも、逆数1/2をかけます。左から計算すると1.2 ÷ 3/5 = 2、2 ÷ 2 = 1です。最後を×2と書くと別の計算になるため、符号と逆数を一緒に確認します。

練習4の答えは9/20 kgです。3/8 ÷ 5/6 = 3/8 × 6/5 = 9/20と求めます。1 mは5/6 mより長いので、重さは3/8 kgより大きくなります。9/20 × 5/6 = 3/8となるため、もとの長さに戻したときの重さも合っています。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

分数のわり算は、比べる量が基準の量の何倍かを求める場面や、単位量あたりの大きさ、速さの計算につながります。長さや時間が分数になっても、何を基準にするかを先に決めれば、整数のときと同じ意味で式を立てられます。計算方法だけでなく、答えが何を表すかを説明する練習も続けます。

家庭で5分ほど確かめる方法の1つは、紙に同じ長さの帯を2本かき、両方を4等分することです。一方の3区画、もう一方の2区画を塗り、「下の色の長さを1つ分としたら、上は何個分か」を聞きます。余った1区画が下の半分だと説明できれば、3/4 ÷ 1/2の答えの意味までとらえています。

もう1つは、例題1の式と答えを見せて、検算だけをしてもらう方法です。答え5/6に何をかけると2/3に戻るかを聞き、4/5を選んだ理由を話してもらいます。答えを覚えていても、検算の式を作るにはわられる数とわる数の関係を確かめる必要があります。

個別指導では、逆数を選ぶところで止まるのか、約分で止まるのか、文章から式を作るところで止まるのかを分けて確かめます。必要に応じて、等しい分数の作り方や、整数で「いくつ分」「1あたり」を求める場面まで戻ります。

まとめ

計算の答えが合っていても、「なぜ大きくなったのか」と聞かれて戸惑うことはあります。そのときは、途中式を何度も唱えるより、同じ帯の上で基準の量を取り替えてみます。わる数を変えると、同じ量の中に数えられるまとまりの数が変わることを目で追えます。

図を指して自分の言葉で説明できれば、見慣れない分数や小数が出てきても、意味に戻って考え直せます。逆数は、わる数を1にそろえるための数です。