【小6算数】並べ方と組み合わせを図解で総まとめ—樹形図・表・落ちや重なりなく数える｜武蔵野個別指導塾

順序を変えると別になるかを手がかりに、樹形図と表で数え方を整理します。係の選び方や試合の組み合わせ、0を含む数字カードの例題から、落ちや重なりを自分で確かめる手順を学べます。

よくあるのは、合唱コンクールの練習の合間の音楽室で、3人が並ぶ順番を書き出したお子さまが、「もう全部書いたと思うけれど、同じ並びが混ざっているかもしれない」と手を止める場面です。思いついた順に書くと、まだ書いていないものを探すのが難しくなります。さらに、同じ3人から2人の係を選ぶ問題になると、並ぶ順番と同じ数え方でよいのか迷うことがあります。

並べ方と組み合わせでは、速く計算する前に、「何を1通りと数えるか」を決めます。並ぶ位置が変われば別なのか、選ばれた人が同じなら同じなのか。この区別ができると、樹形図や表のどこを数えるかがはっきりします。

家庭で確かめたいのは、答えの数だけではありません。「ここまでで、先頭がAの並びは全部です」と説明できるかも見てみましょう。順序を決めて調べる習慣がつくと、書き落としや二重に数える誤りを、自分の図に戻って直せるようになります。

この単元で身につけること

• 並べ方と組み合わせを区別します。順序や役割を入れ替えたときに別の結果になるかを、具体的な2通りで比べます。
• 樹形図で順序よく調べます。最初に選ぶものを固定し、残ったものを枝分かれさせると、探す範囲が整理できます。
• 表を使って組み合わせを数えます。行と列に同じ印を並べ、同じものどうしと、入れ替えただけの重なりを見分けます。
• 落ちと重なりを確かめます。落ちは必要な場合を書いていないこと、重なりは同じ場合を何度も数えていることです。
• 条件に合う場合だけを数えます。「同じカードは使わない」「2けたの数にする」など、問題の約束を図や表に反映します。

これまでに学んだ表の整理、かけ算、たし算が土台になります。ただし、数がいくつか見えたからすぐにかけるのではなく、その数が「どの段階で選べる数」なのかを確かめて使います。多くの教科書では小6で、こうした場合を順序よく整理する学習をします。

基本の考え方

「別の1通り」の意味を先に決めます

A、B、Cの3人が横1列に並ぶとします。左からA、B、Cと並ぶ場合と、B、A、Cと並ぶ場合は、左端の人も中央の人も違います。そのため、別の並べ方として数えます。人の名前を短い記号にすると、ABC、BACのように書けます。ここでAなどは人を区別する印です。

一方、この3人から同じ仕事をする係を2人選ぶ場合はどうでしょうか。AとBを選んでも、BとAを選んでも、選ばれた2人は同じです。順序を区別しないので、これは同じ組み合わせとして1通りに数えます。「並べ方は順序を区別する」「組み合わせは順序を区別しない」という違いを、まずこの小さな例で確かめます。

ただし、問題文に「選ぶ」とあれば必ず組み合わせになるわけではありません。進行係を1人、記録係を1人選ぶなら、Aが進行係でBが記録係の場合と、その逆の場合は別です。選ばれた人が同じでも、担当が違うからです。「並ぶ」「選ぶ」という言葉だけを手がかりにせず、完成した結果を見比べます。

保護者からは、「AとBを入れ替えたら、できあがったものは変わりますか」と声をかけてみてください。人数が多い問題でも、まず2人だけを取り出して比べれば、順序や役割を区別する必要があるかを考えやすくなります。説明が難しければ、紙に名前を書き、置き場所を実際に替えて確かめられます。

樹形図は途中の枝ではなく、最後までの道を数えます

選び方が順に枝分かれする様子を表した図を、樹形図といいます。A、B、Cの3人全員を横1列に並べるなら、「1人目」「2人目」「3人目」の順に決めます。1人目がAなら、2人目はBかCです。2人目をBにすると、3人目は残ったCに決まります。

図1のように、1人目をAにした部分を全部調べてから、B、Cへ進みます。図の同じ列は、同じ位置に立つ人を表しています。左から線をたどってA、B、Cと読めばABC、A、C、Bと読めばACBになります。

図1の右端には、最後の人を示す印が6個あります。どの右端の印にも、そこに至る道が1本ずつ対応するので、並べ方は6通りです。途中にあるAやBの印まで全部数えると、まだ完成していない選び方まで混ざってしまいます。「最後まで進んだ道が1通り」という約束が必要です。

書き出すと、ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBAです。最初の人がAのものが2通り、Bのものが2通り、Cのものが2通りなので、2 + 2 + 2 = 6と確かめられます。また、最初の人は3通り、そのどれについても2人目は2通り、3人目は1通りなので、3 × 2 × 1 = 6でも求められます。

かけ算は、この枝分かれの決まりを短く表したものです。どの最初の選び方でも、次に選べる数が同じと確かめられたときに使います。途中の条件によって枝の数が変わるなら、場合ごとに数えてからたし合わせる方法が役立ちます。

組み合わせは、書く順序に約束を作ります

A、B、Cの3人から2人を選ぶとき、Aから調べるとAB、ACが見つかります。次にBから調べてBAと書くと、ABと同じ組をもう一度書いたことになります。この重なりを防ぐには、A、B、Cの順を決めて、「後ろにある印とだけ組にする」と約束します。

すると、AはB、Cと組になり、BはCと組になります。Cより後ろには印がないので、Cから新しく作る組はありません。AB、AC、BCの3通りです。Cから始まる組を書いていなくても、Cを含むACとBCはすでに書いてあります。「Cの行が空いているから落ちがある」とは限りません。

全体を見渡したいときは、同じ印を行と列に並べた表が便利です。自分自身との組を除き、入れ替えただけの組を片方だけ数えると、数える場所がまとまります。図と式のどちらを使う場合でも、まず「この1つは何を表しているか」を言えるようにしておきましょう。

例題で解き方を確かめる

例題1　4人から順に2人を並べます

A、B、C、Dの4人から2人を選び、前と後ろに1人ずつ並べます。前後を区別すると、並べ方は何通りありますか。同じ人が両方の位置に立つことはありません。

1. 前に立つ人を決めます。A、B、C、Dの4通りです。最初の位置を固定して調べると、違う並びが混ざりにくくなります。
2. 前がAなら、後ろはB、C、Dの3通りです。Aはすでに前に立っているので、後ろには選べません。前がB、C、Dの場合も、残る人はそれぞれ3人です。
3. 4つの場合のそれぞれに3通りあるので、4 × 3 = 12と計算します。前の人ごとのまとまりは重ならないため、同じ大きさのまとまりをかけ算で数えられます。

答え：12通りです。

書き出して確認すると、Aが前ならAB、AC、AD、Bが前ならBA、BC、BD、Cが前ならCA、CB、CD、Dが前ならDA、DB、DCです。ABとBAは、立つ場所が異なるので両方とも必要です。答えを半分にする必要はありません。

この問題では、4人全員を並べているのではありません。2人の位置が決まった時点で1つの並びが完成します。樹形図をかく場合も2人目で止め、残った2人の順番までは調べないようにします。

例題2　4人から同じ仕事の係を2人選びます

A、B、C、Dの4人から、道具を運ぶ係を2人選びます。2人の役割は同じで、選ぶ順序も区別しません。選び方は何通りありますか。

1. 行と列の両方にA、B、C、Dを書いた表を作ります。行の人と列の人を組にすると、どの組を調べたかを1つのますで表せます。
2. AA、BB、CC、DDに当たるますを外します。同じ人を2人分として選ぶことはできないためです。図2では、これらを「―」で示しています。
3. ABとBAのような重なりは片方だけを数えます。図2の右上側の○だけを使うと、Aの行は3個、Bの行は2個、Cの行は1個なので、3 + 2 + 1 = 6となります。

答え：6通りです。

図2の灰色の×は、組そのものが禁止という意味ではありません。反対側の○と同じ組なので、すでに数えたという意味です。例えばBの行とAの列のますはBAですが、Aの行とBの列のABを数えているため、もう一度加えません。

数えた組を読むと、AB、AC、AD、BC、BD、CDです。例題1の12通りでは、どの2人組もABとBAのようにちょうど2回ずつ現れていました。そのため、この問題では12 ÷ 2 = 6という確かめ方もできます。順序を区別して数えた結果を、1組につき数えた回数で割っているのです。

「組み合わせだからいつも2で割る」と覚えないことも大切です。ここで2で割れるのは、異なる2人を選び、順序だけが違う2つの書き方を1組にまとめているからです。表で重なる相手を指させるようになってから、短い式に結びつけます。

例題3　5チームが1回ずつ試合をします

A、B、C、D、Eの5チームが、ほかのすべてのチームと1回ずつ試合をします。同じ組み合わせでは2回試合をしません。試合は全部で何試合ありますか。

1. Aの相手をB、C、D、Eと順に書きます。Aを含む試合は4試合あり、これでAの試合をすべて数えられます。
2. Bでは、まだ数えていないC、D、Eとの3試合を書きます。Aとの試合はAのところで数えたため、再び加えません。同様にCではD、Eとの2試合、DではEとの1試合を書きます。
3. 4 + 3 + 2 + 1 = 10と計算します。各試合を、印の順で先に来るチームのところだけに書いたので、重なりなく合計できます。

答え：10試合です。

1チームについては相手が4チームいるので、5 × 4 = 20と計算したくなるかもしれません。しかし、これは各チームの立場から試合を数えた合計です。A対Bの試合が、Aの4試合にもBの4試合にも含まれています。1試合を2回ずつ数えているので、20 ÷ 2 = 10とすれば答えが一致します。

Eから始まる新しい試合がないのは、Eが試合をしないからではありません。AE、BE、CE、DEを、それぞれ前のチームのところですでに数えたからです。何も書かない場所の理由まで説明できると、落ちと重なりの両方を確かめたことになります。

例題4　0を含むカードで2けたの偶数を作ります

0、1、2、3の数字が書かれたカードが、それぞれ1枚ずつあります。この中から2枚を使って、2けたの偶数を作ります。同じカードは2回使えません。何通りの数ができますか。

1. 一の位から考えます。偶数は一の位が0、2、4、6、8のどれかになる数なので、このカードでは0か2です。条件の強い位から決めると、調べる範囲を狭められます。
2. 一の位が0の場合を調べます。十の位は1、2、3のどれでもよく、10、20、30の3通りです。十の位に0は置けませんが、この場合は0をすでに一の位で使っています。
3. 一の位が2の場合を調べます。十の位は0にできず、使った2も選べないので、1か3です。12、32の2通りになります。
4. 3 + 2 = 5と計算します。一の位が0の数と2の数は重ならないため、2つの場合の数をそのままたし合わせられます。

答え：5通りです。

この例題では、一の位の選び方によって、十の位に使えるカードの数が変わります。そのため、2 × 3と一度にかけると、作れない場合を含めてしまいます。まず「10、20、30」と「12、32」の2つのまとまりを作り、それぞれの大きさを確かめます。

02という並びはカードとしては作れますが、表す数は2であり、2けたの数ではありません。また、22は2けたの偶数でも、2のカードが1枚しかないという条件に反します。数としての条件と、カードの使い方の条件を両方満たすことが必要です。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　組み合わせでも入れ替えた組を数えます

誤った書き方は、「4人から2人の係を選ぶので、4 × 3 = 12通り」です。どこが違うかというと、同じ仕事をする2人を選ぶのに、ABとBAを別の結果として残しているところです。正しい書き方は、3 + 2 + 1 = 6、または4 × 3 ÷ 2 = 6です。

図3のように、前後に並ぶ場合と、同じ仕事の係になる場合を並べて比べます。上段の2つは前後が逆なので別の並びです。下段の2つは、同じAとBが同じ係になっているので同じ組です。

図3を見ながら、「違う場所や違う仕事があるのは、どちらですか」と尋ねてみましょう。答えが12か6かを先に選ばせるより、同じと判断する理由を確かめられます。係に違う役割がある問題では、下段のようにひとまとめにできないことにも注意します。

誤り2　思いつく順に書いて1つ落とします

誤った書き方は、「3人全員の並びはABC、BAC、CAB、ACB、CBAの5通り」です。どこが違うかというと、Bから始まる並びがBACだけになり、BCAが落ちています。正しい書き方は、ABC、ACB／BAC、BCA／CAB、CBAと、先頭ごとにまとめた6通りです。

書いたものを最初から数え直すだけでは、落ちは見つけにくいものです。先頭がA、B、Cのまとまりに分けると、それぞれに2通りあるはずだと確かめられます。「Bを先頭にしたら、残る2人はどんな順にできますか」と問い直すと、足りない道を具体的に探せます。

落ちが見つかったら、答えに1を足すだけで終えず、樹形図のどこに枝が足りなかったかを書き足します。次の問題でも使えるのは、修正後の答えより、調べる順序だからです。ただし、条件によって枝の数が違う問題では、すべてのまとまりが同じ数になるとは限りません。

誤り3　カードの枚数や位の条件を無視します

誤った書き方は、例題4で「一の位は0か2、十の位は残り3枚なので、2 × 3 = 6通り」とすることです。どこが違うかというと、一の位が2のとき、残りの0を十の位に置けない点を見落としています。正しい書き方は、一の位が0なら3通り、2なら2通りと分けた、3 + 2 = 5です。

一方で、「十の位に0は置けないから、どこにも0を使えない」とすると、10、20、30まで落としてしまいます。制限があるのは十の位であり、一の位の0は使えます。条件を直すときは、禁止されている場所だけを図や表で示しましょう。

家庭では、問題文の条件を短く横に書く方法も使えます。「同じカードは1回」「十の位は0以外」「一の位は偶数」の3つを並べ、書いた数を1つずつ照らし合わせます。条件を満たさないものを消すときに、その理由を短く添えると、単なる数え直しより誤りの場所が明確になります。

練習問題

答えを出す前に、順序や役割を区別するかを一言で書いてみましょう。樹形図、表、順序を決めた書き出しのどれを選んでもかまいませんが、何を1通りに数えたかが読み取れる形にします。

練習1

A、B、C、Dの4枚のカードを、すべて1回ずつ使って横1列に並べます。左からの順序を区別すると、並べ方は何通りありますか。

練習2

A、B、C、D、E、Fの6人から、同じ仕事をする係を2人選びます。役割と選ぶ順序は区別しません。選び方は何通りありますか。

練習3

A、B、C、Dの4人から、進行係1人と記録係1人を選びます。1人が2つの係を兼ねることはありません。選び方は何通りありますか。

練習4

0、1、2、3のカードが1枚ずつあります。異なる2枚で2けたの数を作るとき、30より小さい数は何通りできますか。先頭に0を置いたものは2けたの数に含めません。

答えと解説

練習1の答え：24通りです。1枚目は4通り、2枚目は残る3通り、3枚目は残る2通り、4枚目は1通りなので、4 × 3 × 2 × 1 = 24です。先頭をAにした並びは、残るB、C、Dの並べ方6通りに対応します。先頭が違う4つのまとまりとして、4 × 6 = 24とも確かめられます。

練習2の答え：15通りです。Aと組になる人は5人、Bではまだ数えていない4人、次は3人、2人、1人と調べて、5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15です。6 × 5 = 30では同じ組を2回ずつ数えるため、30 ÷ 2 = 15でも確かめられます。

練習3の答え：12通りです。進行係は4通り、そのどれについても記録係は残る3通りなので、4 × 3 = 12です。Aが進行係でBが記録係の場合と、Bが進行係でAが記録係の場合は担当が違います。「2人を選ぶ」という形でも、2で割らない問題です。

練習4の答え：6通りです。十の位が1なら10、12、13の3通り、2なら20、21、23の3通りで、3 + 3 = 6です。十の位が3なら最も小さくても30になり、「30より小さい」という条件に合いません。十の位が0の場合も使えないので、これで全部です。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

場合を整理する力は、図形を条件ごとに分けて調べるときや、表から条件に合う資料を選ぶときにも使えます。後に起こりやすさを数で考える場面でも、全体に何通りあり、そのうち条件に合うものが何通りかを正確に数えることが土台になります。

家庭で5分ほど試すなら、1つ目はA、B、Cと書いた紙を並べる活動です。お子さまが紙を動かし、保護者が出てきた並びを記録します。先頭を固定してから次の先頭へ進むと、6通りで調べ終えた理由を確かめられます。

2つ目は、4つの印から2つを選ぶ活動です。表で6組を見つけた後、「今度は選んだ2つを前と後ろに並べます」と条件を変えてみます。1組から2つの並びができる様子を実物で見れば、6通りと12通りの違いを説明できます。

個別指導で確かめるときは、式が立たない段階なら3つの物の書き出しまで戻り、同じものと違うものの判断を見ます。判断はできても落ちがある場合は、最初の選び方を固定する手順に戻って、全部調べた理由を言葉にできるかを確かめます。

まとめ

答えが合っていても、思いついたものを並べただけでは、次の問題で調べ終えたかどうかに迷うことがあります。樹形図の1本の道や表の1つのますを指して、「これはこの並びです」「こちらの組はもう数えました」と説明できれば、答えには確かめる手段が伴います。

ノートに残したいのは、最後の数だけでなく、どこまで調べ、何を同じと扱ったかの跡です。「全部あります」と言える根拠は、残った枝がなく、同じ組を二度数えていない図の中にあります。