【小6算数】反比例を図解で総まとめ—x×y＝決まった数・表 式 グラフ・比例との違い｜武蔵野個別指導塾

面積が同じ長方形や水を入れる問題を使い、反比例の表・式・グラフを結びます。比例との見分け方、減るだけでは反比例といえない理由まで、親子で順に確かめられます。

よくあるのは、朝の通学路の坂で「同じ道なら、歩く速さが2倍になると、かかる時間も2倍かな」と聞かれ、お子さまが答えに迷う場面です。「速く歩けば早く着く」とは思えても、時間がどれだけ短くなるかを数で説明するのは、少し難しく感じられます。比例で覚えた「2倍なら2倍」を、そのまま使いたくなることもあります。

ここで考えるのは、同じ道のりを、途中で止まらず一定の速さで進む場合です。実際の通学では安全を優先し、速さを変える実験はしません。問題の条件をそろえて考えると、速さが2倍なら時間は1/2倍になります。このような変わり方を調べるのが反比例です。

反比例は、増える量と減る量を探すだけの学習ではありません。何を変え、何を同じにしているのかを読み取り、表の数、式、グラフをつなぐ学習です。決まっている量を見つけられると、まだ表にない数も、理由を添えて求められます。

この単元で身につけること

• 反比例の変わり方を説明します。一方が2倍、3倍になると、他方は1/2倍、1/3倍になります。何をもとの値として比べたかも言葉にします。
• 対応する2つの数の積を調べます。同じ組にある数をかけて、どの組でも同じ数になるかを確かめます。この積が、反比例を見つける手がかりです。
• 表から式を作ります。2つの量を x と y で表し、x × y = 決まった数、y = 決まった数 ÷ x と書きます。文字が何の量かを先に決めます。
• グラフの点を正しく読みます。横軸と縦軸の量、単位、目盛りを確かめ、横の値と縦の値を1組として読み取ります。
• 比例との違いを確かめます。比例では y ÷ x、反比例では x × y が一定になります。問題文の条件と表の計算の両方で判断します。

これまでに学んだわり算、長方形の面積、速さの関係が土台になります。計算だけを急がず、式の数が面積や道のりなどの何を表しているかまで確かめることが、この単元の目標です。

基本の考え方

面積を変えずに形を変える

面積が24 cm²の長方形を考えます。縦を2 cmにすると横は12 cm、縦を4 cmにすると横は6 cmです。縦が2倍になったとき、横は1/2倍になっています。どちらも縦と横をかけると24になるので、面積は変わりません。

図1のように、同じ縮尺で長方形を並べると、縦が長くなる一方で横が短くなる様子を比べられます。左は縦2 cm、横12 cm、右は縦4 cm、横6 cmです。細長さは違っていても、面積はどちらも24 cm²です。「大きく見える方」を選ぶのではなく、縦と横の積を根拠にして比べます。

この関係を表にすると、次のようになります。上の段と下の段を同じ列で読むことが約束です。たとえば縦が3 cmのときは横が8 cmであり、隣の列にある6 cmと組み合わせるわけではありません。

縦を1 cmから2 cm、3 cmにすると、横は24 cmから12 cm、8 cmになります。縦が2倍、3倍になった分、横が1/2倍、1/3倍になっています。このように、一方の量が2倍、3倍、…になると、それに対応するもう一方の量が1/2倍、1/3倍、…になる関係を反比例といいます。

比べる出発点は1でなくてもかまいません。縦が3 cmから6 cmへ2倍になると、横は8 cmから4 cmへ1/2倍になります。逆向きに読んでもよく、縦が6 cmから3 cmへ1/2倍になると、横は4 cmから8 cmへ2倍になります。表を左右どちらから読んでも同じ決まりが成り立ちます。

「決まった数」は何を表すか

表の各列でかけ算をすると、1 × 24 = 24、2 × 12 = 24、3 × 8 = 24となります。残りの列でも積は24です。この長方形では、縦と横の積が面積を表すため、面積を同じに保つと積も同じになります。

縦の長さを x cm、横の長さを y cmとすると、式は x × y = 24です。横を求める形に書き直すと y = 24 ÷ x になります。新しい難しい計算を加えたのではありません。「横の長さ = 面積 ÷ 縦の長さ」という、面積の学習で使った求め方を文字で表しています。

この式では、xに入れる数を決めれば、それに対応するyを求められます。たとえば縦が5 cmでもよく、24 ÷ 5 = 4.8なので、横は4.8 cmです。表に整数だけが並んでいても、長さが整数に限られる条件がなければ、小数の値も考えられます。

ただし、この長方形の縦や横を0 cmにはできません。面積24 cm²の長方形ができなくなるうえ、24 ÷ 0という計算もできないからです。ここでは、長さなどが0より大きい場合の反比例を扱います。比例の表で見た0の列を、反比例の表へそのまま付け加えないようにします。

比例と反比例を見分ける

比較のため、横の長さを3 cmに固定した長方形を考えます。縦の長さが1 cm、2 cm、3 cmと変わると、面積は3 cm²、6 cm²、9 cm²です。このときは縦が2倍なら面積も2倍になるので、面積は縦の長さに比例します。面積を縦の長さでわった商は、いつも3です。

一方、面積を24 cm²に固定した長方形では、縦の長さと横の長さが反比例します。同じ「長方形」という題材でも、何を一定にし、どの2つの量を比べるかで関係が変わります。図の見た目や「長方形の問題」という名前だけで決めないことが大事です。

保護者の方からは、「2つの数をかけた答えは、このお話では何を表しているかな」と声をかけてみてください。「24だから反比例」で止めず、「面積がずっと24だから」と説明できれば、数の決まりと場面が結びついています。

例題で解き方を確かめる

例題1　表から反比例の式を作る

次の表は、面積が一定の長方形の縦の長さx cmと横の長さy cmを表しています。空欄を埋め、xとyの関係を式に表しましょう。

1. 同じ列の数をかけます。2 × 18 = 36、3 × 12 = 36、6 × 6 = 36です。縦と横の積は面積なので、一定の面積が36 cm²だとわかります。
2. 空欄の列でも積が36になるようにします。縦が4 cmのとき、横は36 ÷ 4 = 9で求められます。面積を縦でわると横になるからです。
3. 文字を使って関係を書きます。x × y = 36、または y = 36 ÷ x です。36が変わらない面積を表していることも確かめます。

答え：空欄は9、式は x × y = 36（または y = 36 ÷ x）です。

検算は、求めた数を元の列へ戻して4 × 9 = 36とします。9だけを見て「小さくなっているからよさそう」と判断するより、ほかの列と同じ面積になるかを確かめる方が確実です。また、xが2から4へ2倍になったとき、yが18から9へ1/2倍になっていることも確かめられます。

例題2　反比例のグラフを読む

面積が24 cm²の長方形について、縦の長さx cmと横の長さy cmの関係をグラフにします。xが3のときのyと、yが3のときのxを求めましょう。

1. 横軸をx、縦軸をyと決めます。どちらも長さの単位はcmです。軸の意味を先に決めることで、縦の長さとグラフの縦軸を取り違えるのを防ぎます。
2. y = 24 ÷ x で表の数を求め、点を打ちます。xが2、3、4、6、8、12のとき、yは12、8、6、4、3、2です。横へx、上へyだけ進んだ位置が、その1組を表します。
3. xが3の点を読むとyは8です。yが3の点を横方向にたどるとxは8です。後者は24 ÷ 3 = 8でも確かめられます。

答え：xが3のときyは8、yが3のときxは8です。

図2のように、反比例のグラフは右へ進むほど下がる曲線になります。この図では、横軸も縦軸も数字の付いた目盛りの間が2 cmを表しています。xが3の位置は、横軸の2と4の真ん中です。数字が書いていないところにも点を打てます。

長さを続けて変えられるので、表にある点の間にもたくさんの点があります。それらをなめらかにつなぐと曲線になります。定規で点どうしを直線で結んだ折れ線とは異なります。図の左上では、表示できる範囲に合わせて線を途中から描いていますが、そこが関係の始まりという意味ではありません。

また、曲線が横軸へ近づいても、横の長さが0 cmになるわけではありません。どの点でも積は24です。原点まで線を伸ばすと、面積が24であるという条件に合わなくなります。

例題3　水を入れる時間を求める

空の水そうに60 Lの水を入れます。毎分同じ量の水を入れ、途中で止めたり水を抜いたりしないものとします。毎分4 Lずつ入れるときと、毎分6 Lずつ入れるときでは、それぞれ何分かかりますか。また、入れる量は何倍、時間は何倍になりますか。

1. 一定の量を見つけます。どちらの場合も入れる水の全体の量は60 Lです。「1分あたりの水の量 × 時間 = 全体の水の量」という関係を使います。
2. 毎分4 Lの場合は60 ÷ 4 = 15、毎分6 Lの場合は60 ÷ 6 = 10です。全体の量を1分あたりの量でわると、必要な時間になります。
3. 変わり方を比べます。1分あたりの量は6 ÷ 4 = 1.5で1.5倍です。時間は10 ÷ 15 = 2/3で2/3倍です。1.5 × 2/3 = 1なので、積が変わらないこととも合います。

答え：毎分4 Lなら15分、毎分6 Lなら10分で、量は1.5倍、時間は2/3倍です。

反比例の説明で出てくる2倍、3倍は、整数倍しか使えないという意味ではありません。今回のように1.5倍でも同じ考え方ができます。分数の計算が難しければ、まず4 × 15 = 60、6 × 10 = 60を確かめ、全体の水の量が同じであることを押さえます。

例題4　減り方だけで判断しない

次の2つの表について、yがxに比例するか、反比例するか、どちらでもないかを調べましょう。Aは「いつもyはxの4倍」という関係です。Bは「合計10 mのひもを2本に分け、長さをx m、y mとする」という関係です。

1. Aで商を調べます。4 ÷ 1 = 4、8 ÷ 2 = 4、16 ÷ 4 = 4です。問題文の「4倍」と一致するので、Aは比例です。
2. Bで積を調べます。1 × 9 = 9、2 × 8 = 16、4 × 6 = 24です。積が同じにならないので、Bは反比例ではありません。
3. Bで比例の可能性も調べます。9 ÷ 1 = 9、8 ÷ 2 = 4、6 ÷ 4 = 1.5と商も違います。したがって比例でもありません。一定なのは積ではなく、2本の長さの和です。

答え：Aは比例、Bは比例でも反比例でもありません。

Bでは確かにxが増えるとyが減ります。それでも、xが1から2へ2倍になったとき、yは9から8へ変わっており、1/2倍の4.5にはなっていません。「減る」という観察を出発点にして、倍の関係か積の計算まで進めることが、正しく見分ける手順です。

つまずきやすいところと直し方

1　反比例なのに同じ向きに倍にする

誤った書き方は、「面積24 cm²の長方形で、縦が2 cmから4 cmへ2倍になるから、横は12 × 2 = 24 cm」です。どこが違うかというと、縦と横を両方2倍にしたため、面積が4 × 24 = 96 cm²へ変わってしまっています。正しい書き方は「横は12 ÷ 2 = 6 cm」です。4 × 6 = 24で、面積が元のままになります。

図1へ戻り、縦を長くしたときに横まで長くしてよいのかを確かめます。「反対にする」とだけ覚えると、何を反対にするのかが曖昧です。「面積24を保つために、横を半分にする」と、変わらない量を言葉にすると手順の理由が残ります。

2　グラフの点の間を直線にしてしまう

誤った書き方は、「面積24 cm²で、xが2のときyが12、xが4のときyが6だから、真ん中のxが3ではyは9」です。どこが違うかというと、xが同じだけ増えたときにyも同じだけ減ると考えている点です。反比例には、そのような決まりはありません。

正しい書き方は「y = 24 ÷ 3 = 8」です。図3のように、両端の点を直線で結んだ真ん中の点と、実際の反比例の点は一致しません。誤った値9を使うと3 × 9 = 27になり、面積24という条件から外れます。

図3の赤い線は、間違いを比べるために描いた直線です。紺の曲線上では、xが2から3へ増えるとyは12から8へ4減り、xが3から4へ増えるとyは8から6へ2減ります。同じ1の増加でも、yの減る量は違います。図を読むときも、最後は式に戻って積を確かめます。

3　表の数を別の列と組み合わせる

誤った書き方は、例題1の表で「決まった数は2 × 12 = 24」です。どこが違うかというと、xが2のときのyは18であり、12はxが3のときの値だという点です。正しい書き方は「2 × 18 = 36」です。次に3 × 12 = 36でも同じになるかを確かめます。

お子さまが迷う場合は、計算方法をもう一度説明する前に、表の1列を指で囲みます。「縦2 cmと横18 cmが、今の1枚の長方形だね」と確認すると、2つの数を組にする意味が見えやすくなります。グラフでも同じで、ある点の横の値と、別の点の縦の値を混ぜないようにします。

練習問題

答えを出す前に、変わらない量へ線を引きましょう。表の問題は、同じ列の数をかけた式を少なくとも2つ書きます。文章題は求める数の単位まで書き、出した答えが元の条件を満たすかを確かめます。

練習1

面積が一定の長方形の縦をx cm、横をy cmとします。次の表の空欄を埋め、yを求める式を書きましょう。また、xが4から8へ変わるとき、yは何倍になりますか。

練習2

面積が30 cm²の長方形があります。縦が2.5 cmのとき、横は何cmですか。また、縦を5 cmにすると、横は何cmになりますか。2つの場合を比べ、縦と横がそれぞれ何倍になったかも答えましょう。

練習3

600 mの道を、途中で止まらず一定の速さで進みます。分速50 mのときと分速75 mのときの時間を求めましょう。速さをx m毎分、時間をy分として、関係を積の式にも表しましょう。

練習4

xが1、2、3と変わるとき、Cのyは18、9、6です。Dのyは11、10、9です。Cは「18 Lの水を同じ量ずつx個の容器に分けた1個分の量」、Dは「12 Lの水からx L使った残りの量」を表しています。反比例するのはどちらですか。積を比べて理由を書きましょう。

答えと解説

練習1の答えは、空欄が順に12、4、式が y = 48 ÷ x、yの変化が1/2倍です。2 × 24 = 48、8 × 6 = 48なので、一定の面積は48 cm²です。48 ÷ 4 = 12、48 ÷ 12 = 4と求めます。xが4から8へ2倍になると、yは12から6へ1/2倍になります。

練習2の答えは、縦2.5 cmでは横12 cm、縦5 cmでは横6 cmです。計算は30 ÷ 2.5 = 12、30 ÷ 5 = 6です。縦は5 ÷ 2.5 = 2で2倍、横は6 ÷ 12 = 1/2で1/2倍になります。小数が含まれていても、2.5 × 12 = 30、5 × 6 = 30と積で確かめられます。

練習3の答えは、分速50 mなら12分、分速75 mなら8分、式は x × y = 600です。道のりが一定なので、600 ÷ 50 = 12、600 ÷ 75 = 8と求めます。50 × 12 = 600、75 × 8 = 600で、どちらも同じ道のりになります。一定なのが時間ではなく道のりであることを、問題文に戻って確かめてください。

練習4の答えはCです。Cの積は1 × 18 = 18、2 × 9 = 18、3 × 6 = 18で一定です。水の全体の量18 Lが変わらず、1個分の量は18 ÷ xで求められます。Dの積は1 × 11 = 11、2 × 10 = 20、3 × 9 = 27で一定ではありません。Dもyが減っていますが、減り方だけでは反比例といえません。

なお、練習4のCでは、容器の個数に2.5個などの値は使いません。反比例の関係を式で表せても、使えるxの値は場面によって決まります。長方形の長さなら小数も考えられますが、容器の個数は整数です。この違いを読めると、計算で出た数をそのまま答えにしてよいかも判断できます。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

反比例で学ぶ「変わる量の中から変わらないものを探す」という見方は、これから表やグラフを使って数量の関係を調べるときにも役立ちます。速さと時間、1個分の量と個数など、題材が変わっても積が全体の何を表すかを説明できれば、式を作る手がかりになります。

家庭での5分の確認には、次の2つが使えます。1つ目は、面積24 cm²の長方形の縦と横を、紙に3組書くことです。最初は2と12、3と8のような整数でかまいません。残りの1組をお子さまに考えてもらい、「全部かけると24になる」と説明できるかを確かめます。余裕があれば、縦を5 cmにした場合も考えます。

2つ目は、同じ紙に「積が24の2つの数」と「和が24の2つの数」を1組ずつ増やして書くことです。どちらも一方が増えると他方が減る場合がありますが、何が一定なのかは違います。時間を区切って、反比例に当たる方を理由つきで選べれば十分です。速さを題材にする場合も、外で試すのではなく紙の上で計算します。

個別指導で確かめる際は、まず表の同じ列を1組として読めるかを見ます。そこが曖昧なら具体的な長方形へ戻り、積の意味がつかめていて計算だけが止まるなら、小数や分数のわり算を確かめます。

まとめ

「反比例だからわり算をする」と覚えただけでは、表が変わるたびに使う数を探すことになります。面積なら縦と横、水なら毎分の量と時間というように、かけ合わせた結果が何を表すかを説明すると、式の中の数に意味が戻ります。

答えが出たら、求めた数を元の組へ戻してかけてみてください。グラフの点も同じ方法で確かめられます。反比例を決める根拠は、右下がりに見えることではなく、対応する2つの量の積が変わらないことです。