【小5算数】倍数と約数を図解で総まとめ—公倍数 公約数・最小公倍数 最大公約数・偶数と奇数｜武蔵野個別指導塾

倍数と約数の違いを数直線や等分の図で確かめ、周期と分け方の文章題を順に解きます。公倍数・公約数の探し方から偶数と奇数、家庭での声かけまで、親子で確認できます。

よくあるのは、通学電車の窓に映る自分の顔から手元のノートへ目を戻し、「6分おきと8分おきに出るものが、次にそろうのは何分後」と読んだところで、6と8をかけるのか、何かでわるのか迷う場面です。かけ算もわり算もできるのに、どちらを使う問題なのか決められません。そこで必要になるのが、倍数と約数の意味です。

倍数は、同じ大きさずつ増やしてできる数です。約数は、ある数をあまりなくわることのできる数です。この向きを区別すると、「同じ時刻にそろう」「あまりなく同じ数ずつ分ける」という文章を、数の並びやわり算に置き換えられます。最小公倍数や最大公約数も、長い名前を先に暗記する必要はありません。何を探しているかを図で確かめ、小さい数で手順をつかんでから、文章題へ進めていきましょう。

この単元で身につけること

• 倍数を順に書けるようにします。もとの数を1倍、2倍、3倍として、同じ数ずつ増える並びを作ります。
• 約数をもれなく探せるようにします。わり切れるかを確かめ、かけ算の組にして整理すると、抜けを見つけやすくなります。
• 公倍数と最小公倍数を区別します。両方に共通する倍数を探し、そのうち最も小さいものを選びます。
• 公約数と最大公約数を区別します。両方をわり切れる数を探し、そのうち最も大きいものを選びます。
• 偶数と奇数を、2でわったときのあまりで説明します。0の扱いと、一の位から見分けられる理由も確かめます。
• 周期や分け方の問題で、答えが何を表すか説明します。数だけでなく、「何分後」「何人」「1人分」を最後まで区別します。

これまで学んだかけ算の九九と、あまりのあるわり算が、この単元の土台です。多くの教科書では小5でまとめて学びますが、計算が速いことだけが目標ではありません。「この数はなぜ入るのか」「ほかにないのか」を、式を使って確かめられることが大切です。

基本の考え方

倍数は同じ数ずつ進んだ先の数です

4を1倍、2倍、3倍すると、4 × 1 = 4、4 × 2 = 8、4 × 3 = 12です。このようにしてできる4、8、12、16、20、…を4の倍数といいます。4ずつ増やせば次の数ができるので、倍数はどこまでも続きます。「4の倍数をすべて書きましょう」では終わりがありません。「小さいほうから5個」「30以下」のような条件が必要です。

小学校で倍数を並べる問題では、ふつうは正の整数の範囲で、1倍から書き始めます。0も4 × 0で表せますが、ここで公倍数や最小公倍数を探すときには0を入れません。問題に数の範囲が示されているときは、その範囲を先に確かめます。後で扱う「0は偶数か」とは、分けて考えてください。

図1のように、同じ目盛りの数直線に4ずつ進んだ点と6ずつ進んだ点を置くと、12と24の場所に両方の点が並びます。これらは4の倍数であり、6の倍数でもあります。2つ以上の整数に共通する倍数を公倍数といい、そのうち最も小さいものを最小公倍数といいます。4と6の最小公倍数は12です。

図1では0を出発点として描いていますが、倍数を示す丸は0より右に置いています。4の段では4、8、12、16、20、24、6の段では6、12、18、24です。上下を同じ横の位置で比べることが、共通する数を見つける手がかりになります。

公倍数を続けて探すと、12、24、36、48、…となります。4と6が初めてそろう12までの進み方を、もう一度繰り返せば24でもそろうからです。2つの数の公倍数は、その最小公倍数の倍数になります。ただし、最小公倍数をまだ確かめていないうちに、共通する数を1つ見つけて終わりにしないようにしましょう。

約数はあまりなくわる数です

12個の丸を、同じ数ずつの組に分けると考えます。1個ずつなら12組、2個ずつなら6組、3個ずつなら4組です。逆に、4個ずつなら3組、6個ずつなら2組、12個ずつなら1組になります。12をわり切れる1、2、3、4、6、12が、12の約数です。

ここでいう「わり切れる」は、整数でわったときに商が整数になり、あまりが0になることです。12 ÷ 5 = 2 あまり2なので、5は12の約数ではありません。12 ÷ 5 = 2.4と小数まで計算できることとは区別します。約数を探すときには、ものを等しく分けたあとに端数が残らないかを見ています。

約数は、かけ算の組で探すと整理できます。12 = 1 × 12、12 = 2 × 6、12 = 3 × 4です。次に4を試すと、4 × 3となり、3 × 4と同じ組に戻ります。小さいほうの数から順に試し、組が入れ替わるところまで調べれば、もれを防げます。見つけた数は最後に小さい順へ並べ直してください。

1は、どの正の整数の約数にもなります。また、数は自分自身でわると1になるので、自分自身も約数です。0ではわり算ができないため、0を約数に入れることはありません。正の整数の約数は1からその数までの中に限られます。どこまでも続く倍数と違い、約数はすべて書き出せます。

12の約数は1、2、3、4、6、12で、18の約数は1、2、3、6、9、18です。共通する1、2、3、6を12と18の公約数といい、最も大きい6を最大公約数といいます。最大公約数がわかると、公約数はその数の約数として整理できます。この場合、6の約数である1、2、3、6が、すべての公約数です。

偶数と奇数は2でわって確かめます

2でわり切れる整数を偶数、2でわると1あまる整数を奇数といいます。たとえば14 ÷ 2 = 7なので14は偶数、15 ÷ 2 = 7 あまり1なので15は奇数です。ものを2個ずつ組にしたとき、全部が組になるか、1個だけ残るかと考えると、言葉の意味をつかみやすくなります。

一の位が0、2、4、6、8なら偶数、1、3、5、7、9なら奇数です。十の位以上の部分は10、100などのまとまりで、どれも2でわり切れます。そのため、最後に一の位だけを調べれば見分けられます。たとえば138は130と8に分けると、どちらも2でわり切れるので偶数です。

0も、0 ÷ 2 = 0であまりがないため偶数です。「偶数は2、4、6から始まる」とだけ覚えると、0を落としやすくなります。保護者の方は、お子さまに「名前を思い出す前に、2でわったあまりを調べよう」と声をかけてください。偶数・奇数は数を2つの仲間に分ける言葉であり、倍数・約数は数どうしの関係を表す言葉です。

例題で解き方を確かめる

例題1　倍数と約数を同じ数で比べます

12の倍数を小さいほうから4個、12の約数をすべて書きましょう。また、12は偶数と奇数のどちらでしょうか。同じ12を扱っていても、倍数と約数では調べる向きが変わります。問題文の「4個」と「すべて」にも印を付けておきます。

1. 倍数は12を1倍から順に計算します。12 × 1 = 12、12 × 2 = 24、12 × 3 = 36、12 × 4 = 48です。同じ大きさを繰り返した先の数を探すため、かける数を増やします。
2. 約数は12になるかけ算の組を探します。1 × 12、2 × 6、3 × 4が見つかります。積が12なら、組になったどちらの数でも12をわり切れるからです。
3. 組から取り出した数を小さい順に並べます。1、2、3、4、6、12です。さらに12 ÷ 2 = 6を確かめると、あまりがないので12は偶数とわかります。

答え：倍数は12、24、36、48。約数は1、2、3、4、6、12。12は偶数です。

12自身が両方の答えに入ることは、間違いではありません。12は12の1倍であり、12をわり切る数でもあります。「倍数はもとの数より必ず大きい」「約数は必ず小さい」と覚えず、もとの数と等しくなる場合も確かめましょう。

例題2　2つの数に共通するものを選びます

8と12の最小公倍数と最大公約数を求めましょう。初めのうちは別々に求め、倍数の欄と約数の欄を離して書きます。途中で同じ数字が現れても、何の一覧なのかがわかる形にしておくと混乱を防げます。

1. 8の倍数を8、16、24、32、…、12の倍数を12、24、36、…と並べます。どちらも小さい順に書くことで、初めて共通する数を選べます。
2. 最初にそろう24を選びます。24 ÷ 8 = 3、24 ÷ 12 = 2なので、24は両方の倍数です。24より小さい12の倍数は12だけで、12は8の倍数ではないため、24が最小です。
3. 8の約数を1、2、4、8、12の約数を1、2、3、4、6、12と書きます。両方に入る1、2、4のうち最大の4を選びます。共通する約数をすべて比べたので、最大だと判断できます。

答え：最小公倍数は24、最大公約数は4です。

数が少し大きくなったら、大きいほうの数の倍数だけを順に書き、小さいほうの数でわり切れるか試す方法も使えます。8と12なら、12は8でわり切れず、次の24はわり切れます。両方の列を書く方法と意味は同じです。まず列を並べて意味をつかみ、慣れたら書く量を減らすとよいでしょう。

例題3　周期が次にそろう時刻を求めます

ある場所で、赤いランプは6分おき、青いランプは8分おきに一瞬光ります。午前9時に同時に光りました。次に同時に光るのは何分後で、何時何分でしょうか。どちらも一定の間隔で光り続けるものとします。

1. 午前9時から何分たったかで整理します。赤は6、12、18、24、…分後、青は8、16、24、…分後です。時刻のまま書くより、同じ出発点からの時間に直すと比べやすくなります。
2. 両方に共通する最初の24を選びます。「次に」そろう時間なので、6と8の最小公倍数を求めています。出発時点の0分後は、すでに光った時点なので答えにしません。
3. 午前9時に24分を足して、午前9時24分とします。24 ÷ 6 = 4、24 ÷ 8 = 3なので、赤の4回分の間隔と青の3回分の間隔が同じ長さになることも確かめます。

答え：24分後、午前9時24分です。

図2のように、24分の横の長さを赤は4つ、青は3つに分けると、間隔は異なっても終点がそろいます。図の左端は午前9時です。途中の赤の区切りと青の区切りは重ならず、右端で初めて重なっています。

ここで6 × 8 = 48とすると、同時に光る時間の1つは見つかりますが、「次に」の答えにはなりません。図2の右端ですでにそろうので、48分後を待つ必要はないからです。また、午前9時の点も数えて光った回数を尋ねるなら、間隔の個数とは答えが変わります。この問題で求めた4と3は、出発後の間隔の個数です。

例題4　できるだけ多くの人に等しく分けます

鉛筆が18本、消しゴムが24個あります。どの人にも鉛筆を同じ本数ずつ、消しゴムを同じ個数ずつ配り、どちらもあまらないようにします。できるだけ多くの人に配ると、何人に配れますか。また、1人分はそれぞれいくつですか。全員に両方を配るものとします。

1. 人数で18と24の両方をわり切れる必要があると考えます。鉛筆だけがあまらなくても条件を満たさないため、公約数を探します。
2. 18の約数を1、2、3、6、9、18、24の約数を1、2、3、4、6、8、12、24と書きます。共通する1、2、3、6の中で、最も大きい6を人数にします。「できるだけ多くの人」という条件が、最大公約数を選ぶ理由です。
3. 1人分を18 ÷ 6 = 3、24 ÷ 6 = 4で求めます。さらに3 × 6 = 18、4 × 6 = 24と戻して確かめると、どちらも元の個数と一致し、あまりがないとわかります。

答え：6人に配れます。1人分は鉛筆3本、消しゴム4個です。

同じにするのは、人どうしで比べた鉛筆の本数と消しゴムの個数です。鉛筆の本数と消しゴムの個数を同じ数にする条件ではありません。また、最大公約数の6は人数です。何をわる数にしたのかを、式のそばに言葉で書くと、答えの取り違えを防げます。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　「の約数」と「の倍数」を反対にします

誤った書き方は「6の約数は6、12、18、…」です。どこが違うかというと、6をわり切る数を探すはずなのに、6に整数をかけた数を並べています。12 ÷ 6はわり切れますが、ここで確かめるべき式は6 ÷ 12です。約数を調べるときは、「の」の前にある数をわられる数にします。

正しい書き方は「6の約数は1、2、3、6。6の倍数は6、12、18、…」です。お子さまには「6個を同じ数ずつ分けるのか、6個の袋を増やすのか」と尋ねてみてください。「わる」「かける」という操作だけでなく、何をしている場面かを言い直すと向きが定まります。

誤り2　2つの数をかければ最小公倍数だとします

誤った書き方は「4と6の最小公倍数は4 × 6 = 24」です。24は確かに公倍数ですが、図1には、それより手前でそろう12があります。どこが違うかというと、「共通する」という条件だけを確かめ、「最も小さい」という条件を確かめていません。

正しい書き方は「4の倍数は4、8、12、…、6の倍数は6、12、…なので、最小公倍数は12」です。2つの数の積が最小公倍数になる場合もありますが、いつもとは限りません。たとえば3と5なら15で初めてそろいます。答えを見つけたあとに「これより小さいところではそろわないか」と戻ることが、最小を確かめる手順です。

誤り3　分けられる数なら、最大公約数だとします

18 cmと24 cmのテープを、それぞれ端から同じ長さずつ、あまりなく切るとします。切るときに失う長さは考えず、1本の長さを整数の cmで考えます。誤った書き方は「どちらも3 cmずつ切れるので、最も長い1本は3 cm」です。どこが違うかというと、3が公約数だとは確かめていますが、それより長く切れないかをまだ調べていません。

図3のように、6 cmずつでも、18 cmは3本、24 cmは4本に切れます。2本のテープは同じ縮尺で描いてあるので、赤い区切りの間の長さは上下で同じです。共通する約数1、2、3、6を比べると、最も大きいのは6です。

正しい書き方は「18と24の最大公約数は6なので、最も長い1本は6 cm」です。図3の3本と4本は、切ったあとの本数であって長さではありません。例題4と同じ18と24でも、最大公約数が表すものは変わります。問題を読み終えたら、答えの欄に先に「cm」や「人」を添えると、探す量を保ちやすくなります。

練習問題

途中の数の並びも残して取り組みましょう。最小公倍数と最大公約数のどちらを求めるか迷ったら、先に名前を決めなくてもかまいません。問題の条件を満たす候補を小さい順に書き、最後に何を選ぶかを考えます。

練習1

9の倍数を小さいほうから5個、9の約数をすべて書きましょう。また、0、9、18、27を偶数と奇数に分けましょう。約数では1と9自身を、偶数・奇数では0を忘れずに確かめます。

練習2

6と15の最小公倍数と最大公約数を求めましょう。さらに、公倍数を小さいほうから3個、公約数をすべて書きましょう。「最小」「最大」のつかない問いでは、答えが1つとは限りません。

練習3

赤いランプは4分おき、青いランプは10分おきに一瞬光ります。午前10時に同時に光りました。一定の間隔で光り続けるとき、次に同時に光るのは何分後で、何時何分でしょうか。午前10時を出発点として考えます。

練習4

赤いカードが20枚、青いカードが30枚あります。どの袋にも赤を同じ枚数ずつ、青を同じ枚数ずつ入れ、カードをあまらせないようにします。両方の色をすべての袋に入れるとき、袋を最も多くすると何袋できますか。また、1袋の中の赤と青はそれぞれ何枚ですか。

答えと解説

練習1の答え：倍数は9、18、27、36、45。約数は1、3、9。偶数は0、18、奇数は9、27です。約数は1 × 9と3 × 3から探せます。3は2回現れますが、一覧には1回だけ書きます。0 ÷ 2 = 0、18 ÷ 2 = 9にはあまりがなく、9 ÷ 2 = 4 あまり1、27 ÷ 2 = 13 あまり1です。

練習2の答え：最小公倍数は30、最大公約数は3。公倍数は30、60、90、公約数は1、3です。15の倍数15、30、…のうち、初めて6でわり切れるのは30です。6の約数1、2、3、6と、15の約数1、3、5、15を比べると、共通するのは1と3です。

練習3の答え：20分後、午前10時20分です。4の倍数4、8、12、16、20、…と、10の倍数10、20、…が初めてそろうのは20です。20 ÷ 4 = 5、20 ÷ 10 = 2より、赤の5回分の間隔と青の2回分の間隔がそろっています。

練習4の答え：10袋で、1袋分は赤2枚、青3枚です。20の約数は1、2、4、5、10、20、30の約数は1、2、3、5、6、10、15、30です。最大公約数の10を袋の数にすると、20 ÷ 10 = 2、30 ÷ 10 = 3となります。2 × 10 = 20、3 × 10 = 30で元の枚数にも戻せます。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

公倍数は、分数の分母をそろえる通分につながります。たとえば1/4と1/6なら、4と6の公倍数である12を使って、3/12と2/12に直せます。公約数は、分子と分母を同じ数でわる約分につながります。6/8の分子と分母を公約数の2でわると3/4です。数の大きさは変えず、表し方を変えるためにも、この単元を使います。

家庭で5分ほど確かめるなら、まず「8の倍数を3個、約数を全部」と口に出してもらいます。書いた数から1つ選び、「どうして入るの」と聞いて、かけ算かあまりのないわり算で説明できるかを見ます。正答の数だけでなく、説明に使った式が手がかりになります。

もう1つは、12個と18個の小さなものを色別に用意し、同じ人数にあまりなく配れるか試す方法です。2人、3人、6人へと分け、1人分と人数をそれぞれ言ってもらいます。個別指導では、候補が出ないときは九九へ、約数の意味が曖昧なときは実物を等しく分けるところへ戻って確かめます。名前だけが入れ替わる場合は、できている計算を使い、言葉と操作の対応を確認します。

まとめ

電車の窓からノートへ目を戻したとき、すぐに計算を始めなくても大丈夫です。「同じ間隔で進んでそろう場所を探す」「どちらもあまりなく分けられる大きさを探す」と、求めるものを短く言い直せれば、書き始める数が決まります。

答えが出たあとにも、両方の条件を満たすか、もっと小さい公倍数やもっと大きい公約数はないかを確かめられます。最小公倍数の「最小」と最大公約数の「最大」は、答えの数字だけでなく、ほかの候補を調べた跡に表れます。