【小5算数】分数の性質を図解で総まとめ—等しい分数・約分 通分・分数と小数 整数の関係｜武蔵野個別指導塾

同じ長さのテープを使った図で、等しい分数・約分・通分の意味を確かめます。大小比べや小数への直し方も、例題と家庭で取り組める練習問題で順に確かめられます。

よくあるのは、習い事の帰りの自転車置き場で、お子さまがノートを開き、「1/2 と 2/4 は、2/4 のほうが大きいのでは」と手を止める場面です。分子も分母も大きい数字になっているのに、答えは同じ大きさです。整数の大小比べで身につけた見方をそのまま使うと、ここで迷ってしまいます。

分数では、数字だけでなく「全体をいくつに等しく分けたか」と「そのいくつ分か」を組にして読みます。同じ長さのテープの半分に色を塗り、区切り線だけを増やしてみると、色のついた長さが変わらないことを確かめられます。この見方が約分にも通分にもつながります。

分数の性質を学ぶと、見た目の違う分数が等しいかを調べたり、分母の違う分数を比べたりできるようになります。さらに、分数を小数に直すことや、わり算の答えを分数で正確に表すこともできます。計算の手順と、図に表したときの意味を行き来しながら進めましょう。

この単元で身につけること

• 分母と分子を、ひとまとまりで読むことです。3/4 なら、1 を4等分した1つ分が 1/4 で、その3つ分が 3/4 です。何を1と見ているかも確かめます。
• 大きさの等しい分数を作ることです。分母と分子に同じ数をかけても、同じ数でわっても、分数の大きさは変わりません。ただし、0ではかけたりわったりしません。
• 約分で分数の表し方を簡単にすることです。分母と分子を共通の約数でわり、最後には1以外の公約数がない形まで直します。
• 通分で比べる単位をそろえることです。分母の公倍数を使って分母をそろえれば、分子を見て大小を判断できます。
• 分数・小数・整数を結びつけることです。分子を分母でわれば分数を小数で表せます。小数は位の意味から分数に直せますが、分数には小数で表すとどこまでも続くものもあります。

これまでに学んだ等分や同じ分母の分数の大小比べに、倍数・約数の考え方を重ねる単元です。手順を忘れたときも、1つ分の大きさに戻れば、自分で確かめ直せます。

基本の考え方

分母は区切り方、分子はそのいくつ分か

3/4 の下の数4を分母、上の数3を分子といいます。分母は、もとにする1を何等分したかを表します。分子は、その1つ分をいくつ集めたかを表します。分数の線は上下の数を分ける目印なので、読むときには分母から「4分の3」と読みます。

たとえば、1 m のテープを4等分すると、1つ分の長さは 1/4 m です。それを3つ集めると 3/4 m になります。「4つに分けた」という説明だけでは、分け方が同じとは限りません。分数で表すためには、4つが同じ長さであることが必要です。

また、分数で量を比べるときには、もとにする全体にも注意します。短いテープの半分と、長いテープの半分は、どちらも全体の 1/2 ですが、実際の長さは同じとは限りません。分数そのものの大きさを図で比べるときには、1を表すテープの長さをそろえます。図1でも、3本のテープはどれも左端と右端を同じ位置に置いています。

図1のように、上のテープでは2等分したうちの1つ、中のテープでは4等分したうちの2つ、下のテープでは8等分したうちの4つに色がついています。色のついた部分の右端は、どれも同じ位置です。したがって、1/2 = 2/4 = 4/8 です。区切りの数は増えていますが、色のついた量は増えていません。

1/2 から 2/4 に直すとき、もとの1つの区切りをさらに2等分しています。全体の区切りが2倍になると、色のついた区切りも2倍になります。そのため、分母の2だけでなく、分子の1にも2をかけます。2 × 2 = 4、1 × 2 = 2 なので 2/4 です。この「両方に同じ数」という対応が、等しい分数を作る決まりです。

約分と通分は何を変えているのか

約分とは、分母と分子を1以外の公約数でわり、分数を簡単な形にすることです。たとえば 6/8 は、分母と分子を2でわると 3/4 になります。8 ÷ 2 = 4、6 ÷ 2 = 3 です。8つの細かな区切りを2つずつまとめて4つの大きな区切りにすると、色のついた6つ分は3つ分として数え直せます。

約分では、分子の数字が小さくなっても分数の大きさは小さくなりません。「6個が3個になった」と個数だけを見るのではなく、1つ分が2倍の大きさになったことも合わせて見ます。お子さまへの声かけは、「色を消したのかな。それとも区切りをまとめたのかな」とすると、計算と図を結びつけやすくなります。

通分とは、分母の違う分数を、それぞれ大きさの等しい分数に直して、分母をそろえることです。1/2 と 1/3 なら、1/2 = 3/6、1/3 = 2/6 と直せます。どちらも 1/6 のいくつ分かで表せるので、3つ分と2つ分を比べられます。約分が区切りをまとめる見方なのに対して、通分では共通の細かさになるように区切りを増やす見方が役立ちます。

そろえる分母には、もとの分母どうしの公倍数を使います。2と3なら6、12、18などがあります。最小公倍数の6を使うと、直したあとの数を小さくできます。12を使って 6/12 と 4/12 にしても通分は正しいので、最小公倍数を使わなければ間違いというわけではありません。

約分で使うのは公約数、通分で使うのは公倍数です。言葉を混同する場合は、「わって簡単にするから約数」「そろえる分母を大きくするから倍数」と、操作とつなげて確かめます。先に公約数や公倍数を見つけにくい場合には、分数からいったん離れて、整数の約数や倍数を短く書き出すと整理できます。

分数はわり算の答えも表す

3 m のリボンを4人で同じ長さずつ分けると、1人分は 3 ÷ 4 m です。この答えは 3/4 m と表せます。1 m のリボンを4等分すると1人分は 1/4 m で、3 m からはその3つ分を受け取ると考えられるからです。わられる数が分子、わる数が分母になることを、量と一緒に確かめましょう。

3 ÷ 4 = 0.75 なので、3/4 = 0.75 でもあります。分数から小数へ直すときは、分子 ÷ 分母を計算します。逆に 0.75 は 0.01 が75個分ですから、75/100 と書けます。75/100 を約分すると 3/4 に戻り、同じ数を別の表し方で書いていることが確かめられます。

整数も分数で表せます。たとえば 2 = 2/1 = 4/2 です。1を2等分した 1/2 が4つあれば、全体2つ分になるためです。分子が分母より小さい分数を真分数、分子が分母以上の分数を仮分数、整数と真分数を合わせた形を帯分数といいます。7/4 は仮分数で、帯分数に直すと 1 と 3/4 です。4/4 が1なので、7個の 1/4 を4個と3個に分けて見ています。

どの分数も、途中で終わる小数になるとは限りません。1/3 を計算すると 0.333… と3がどこまでも続きます。1/3 = 0.33 とすると、同じ大きさではなくなります。概数を求める指示がなければ、1/3 のまま書くことで正確な大きさを表せます。分数は、小数に直す前の未完成な答えではありません。

例題で解き方を確かめる

例題1　大きさの等しい分数を作る

2/3 と大きさが等しく、分母が12の分数を求めましょう。分母が指定されている問題では、まず分母が何倍になったかを調べます。分母と分子を別々に考えず、同じ変化をさせることがポイントです。

1. 分母の3から12への変化を調べます。12 ÷ 3 = 4 なので、分母には4をかけています。これは、もとの各区切りをさらに4等分することに当たります。
2. 分子の2にも4をかけます。2 × 4 = 8 です。色のついた区切りも同じように4つずつに分かれるので、分子だけを2のままにはしません。
3. 2/3 = 8/12 と書きます。逆に12と8を4でわると3と2に戻るので、大きさを変えずに表し直せたと確かめられます。

答え：8/12 です。

「12にするには9を足す」と考えると、分子にも9を足して 11/12 としがちです。しかし、区切りが何倍になったかと、いくつ増えたかは違います。迷ったら、3つの区切りのそれぞれが何個に分かれるかを考えましょう。分数の性質に使うのは、同じ数のたし算ではなく、同じ数のかけ算やわり算です。

例題2　約分して簡単な分数にする

18/24 を約分しましょう。1回で終える方法と、何回かに分ける方法があります。どちらの場合も、最後にまだ共通にわれる数がないかを確かめます。

1. 18と24の公約数を調べます。18の約数は1、2、3、6、9、18で、24の約数は1、2、3、4、6、8、12、24です。共通する1、2、3、6のうち、最大の6を使うと1回で約分できます。
2. 分子と分母をどちらも6でわります。18 ÷ 6 = 3、24 ÷ 6 = 4 なので、18/24 = 3/4 です。同じ数でわるため、もとの大きさを保てます。
3. 3と4には1以外の公約数がないことを確かめます。ここまで調べて、約分が終わったと判断します。

答え：3/4 です。

最大公約数がすぐ見つからないときは、まず2でわって 18/24 = 9/12 としてもかまいません。そのあと3でわれば 9/12 = 3/4 です。9/12 も大きさは等しい分数ですが、「約分しましょう」と求められた場合は、さらにわれるところまで進めます。はじめから大きな公約数を見つけることだけに集中せず、両方を同じ数でわる手順を守りましょう。

例題3　通分して分数の大小を比べる

2/3 と 3/4 では、どちらが大きいでしょうか。分子だけなら3のほうが大きく、分母だけなら4のほうが大きいですが、それだけで判断はできません。図2のように、同じ長さのテープを同じ細かさに区切り直して比べます。

1. 3と4の公倍数を調べます。3の倍数は3、6、9、12、4の倍数は4、8、12と続くので、最小公倍数は12です。1/12 を共通の1つ分として使います。
2. 2/3 の分母と分子に4をかけます。3 × 4 = 12、2 × 4 = 8 なので 2/3 = 8/12 です。分母の3を12にするために使った4を、分子にも使っています。
3. 3/4 の分母と分子に3をかけます。4 × 3 = 12、3 × 3 = 9 なので 3/4 = 9/12 です。こちらは分母の4を12にするので、かける数は3です。
4. 同じ 1/12 の8つ分と9つ分を比べます。8/12 < 9/12 なので、もとの分数も 2/3 < 3/4 です。分母がそろったあとは、分子が大きいほうが大きい分数になります。

答え：3/4 のほうが大きいです。

図2では、細い線が12等分の区切り、太い線がもとの3等分や4等分の区切りです。上の色は8区切り、下の色は9区切りあります。下のほうが 1/12 分だけ長いことが見えます。通分は数字を機械的に増やすためではなく、同じ大きさの1つ分で数え直すために行います。

なお、通分するときにかける数は、2つの分数で同じとは限りません。この問題では一方が4倍、もう一方が3倍です。「同じ数をかける」とは、1つの分数の分母と分子の間での決まりです。ここを区別して説明できると、分母が異なる問題にも対応できます。

例題4　わり算・分数・小数をつなぐ

3 L のジュースを5人で等しく分けます。1人分を分数と小数で表しましょう。また、0.6 を分数に戻して確かめましょう。求めるのは人数ではなく、1人分のジュースの量なので、最後には L を付けます。

1. 全体の量を人数でわります。式は 3 ÷ 5 です。3 L を5等分するので、わられる数3を分子、わる数5を分母にして 3/5 L と表せます。
2. 小数でも求めます。3 ÷ 5 = 0.6 なので、1人分は 0.6 L です。3より5が大きくても、1 L より小さい量として答えを表せます。
3. 0.6 を分数に戻します。0.6 は 0.1 の6個分ですから 6/10 です。分子と分母を2でわると、6 ÷ 2 = 3、10 ÷ 2 = 5 なので 3/5 になります。
4. 小数で全体の量を確かめます。0.6 × 5 = 3 で、もとの 3 L に戻ります。等しく分けた量としてつじつまが合っています。

答え：1人分は 3/5 L、つまり 0.6 L です。0.6 を分数に直しても 3/5 です。

小数から分数へ直すときには、小数点を消すことだけを覚えないようにします。0.6 なら十分の一の位までなので分母は10、0.06 なら百分の一の位までなので分母は100です。したがって 0.06 = 6/100 = 3/50 となります。数字の6が同じでも、位によって表す大きさが違うことに注意しましょう。

つまずきやすいところと直し方

分母だけを変えてしまう

誤った書き方：1/2 = 1/4 です。分母を2倍にしたのに分子を変えていないため、同じ大きさではありません。図3のように、同じ全体を4等分すると1つ分は2等分したときより小さくなります。1/4 を1つだけ取っても、もとの半分には届きません。

正しい書き方：1/2 = 2/4 です。分母を2倍にすると1つ分の大きさは半分になるので、同じ量を表すには取る個数を2倍にします。図3では、上と下の色の長さが同じで、中の色だけが短くなっています。「下を変えたら上も変える」とだけ言うより、「1つ分が小さくなった分、いくつ必要かな」と尋ねると理由を確かめられます。

約分で別々の数を使ってわる

誤った書き方：12/18 = 3/3 です。12を4でわり、18を6でわると、見かけ上は小さい数字になりますが、分母と分子の関係が変わります。もとの 12/18 は分子が分母より小さいので1より小さい数です。3/3 は1ですから、この時点でも大きさが変わったと気づけます。

正しい書き方：12/18 = 2/3 です。12と18の両方を6でわると、12 ÷ 6 = 2、18 ÷ 6 = 3 となります。途中の計算を省きがちなお子さまには、分子の横と分母の横にそれぞれ「÷ 6」と書いてもらうと、同じ数を使ったか確認しやすくなります。答えの数字が簡単かどうかだけでなく、元の分数と等しいかが判断の中心です。

分母の数字が大きいほうを大きいと考える

誤った書き方：1/5 > 1/3 です。5が3より大きいことを、そのまま分数の大小にしてしまっています。同じ全体を分けるなら、5等分した1つ分は3等分した1つ分より小さくなります。分母は量そのものではなく、全体の分け方を表しているためです。

正しい書き方：1/5 < 1/3 です。通分しても、1/5 = 3/15、1/3 = 5/15 なので、3/15 < 5/15 と確かめられます。分子が同じ正の整数なら、分母が大きいほうが小さい分数です。ただし、分子も違うときに「分母が大きいほうが小さい」と決めてはいけません。例題3のように、まず同じ分母に直して比べましょう。

この3つの誤りは、計算し直すだけでは理由が残りにくいところです。図に戻る、1より大きいか小さいかを調べる、同じ分母にそろえるという別の確かめ方を1つ添えます。正解を告げる前に、どの数字を見て判断したかを聞くと、直す場所を絞れます。

練習問題

途中の式も書いて取り組みましょう。答えだけが合った場合にも、「何倍したか」「何でわったか」「何を1つ分にしたか」のどれかを説明できるか確かめます。約分の問題では、分母と分子に1以外の公約数が残っていないところまで進めてください。

練習1

3/5 と大きさが等しく、分母が20の分数を求めましょう。分母が何倍になったかを、途中に書いてください。

練習2

21/35 を約分しましょう。分母と分子を何でわったかも書きましょう。

練習3

5/6 と 7/9 を通分し、どちらが大きいか答えましょう。そろえる分母には、6と9の最小公倍数を使ってください。

練習4

7 m のひもを4人で等しく分けます。1人分の長さを仮分数、帯分数、小数でそれぞれ表しましょう。また、小数から分数に戻して、同じ答えになるか確かめましょう。

答えと解説

練習1の答え：12/20 です。20 ÷ 5 = 4 なので、分母と分子に4をかけます。5 × 4 = 20、3 × 4 = 12 です。分母に足した15を分子にも足す方法では、等しい分数にはならないことに注意します。

練習2の答え：3/5 です。21と35の最大公約数は7なので、21 ÷ 7 = 3、35 ÷ 7 = 5 と計算します。3と5には1以外の公約数がなく、ここで約分を終えられます。もとの分数も答えの分数も1より小さいことを、補助的な確認に使えます。

練習3の答え：5/6 のほうが大きいです。6と9の最小公倍数は18です。6 × 3 = 18、5 × 3 = 15 なので 5/6 = 15/18、9 × 2 = 18、7 × 2 = 14 なので 7/9 = 14/18 です。15/18 > 14/18 ですから、5/6 > 7/9 となります。もとの分子は5のほうが小さいですが、分母をそろえたあとの分子で比べます。

練習4の答え：7/4 m、1 と 3/4 m、1.75 m です。7 ÷ 4 を分数で表すと 7/4 です。7 ÷ 4 = 1 あまり3なので、1人に 1 m ずつ分けたあと、残る 3 m を4人で分けると考えられます。小数で計算すると 7 ÷ 4 = 1.75 です。戻すと 1.75 = 175/100 で、175 ÷ 25 = 7、100 ÷ 25 = 4 より 7/4 になります。1.75 × 4 = 7 も確かめられます。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

分数の性質は、分母の違う分数のたし算・ひき算につながります。1つ分の大きさをそろえてから個数を数えるために、通分を使います。また、計算結果を簡単に表すときには約分を使います。小数と分数が混ざった問題でも、同じ表し方に直せば、これまでの計算の手順を使えます。

家庭では、次の2つをそれぞれ5分ほどで確かめられます。1つ目は、同じ長さの紙の帯を2本用意する方法です。1本を2等分して1つ分、もう1本を4等分して2つ分に色を塗ります。端をそろえ、同じ長さになる理由を言葉で説明してもらいます。折り目がずれたら、数の意味が違うのか、折り方がずれたのかを分けて考えましょう。

2つ目は、「0.4 を分数にすると」「では、その分数を小数に戻すと」と往復する方法です。0.4 = 4/10 = 2/5、2 ÷ 5 = 0.4 とつながれば、位の意味と分数の性質の両方を確かめられます。小数に直す計算が難しければ、10等分の帯を描き、色を塗った4つ分を2つずつまとめるところまでで区切ってもかまいません。

個別指導で確認する際には、通分の答えだけでなく、1つ分を表す分数が読めるかまで戻ります。そこが確かなら、公倍数の見つけ方や、分母と分子に同じ数をかける対応のうち、止まっている部分を絞って練習します。

まとめ

等しい分数を扱うとき、ノートの数字は変わっても、図の色のついた長さは変わりません。答えに迷ったときは、「何を1としたか」「区切りをどう変えたか」「色のついた量は保たれたか」を、手元の図に照らしてみてください。計算の途中にある意味を、自分の言葉で確かめる手がかりになります。

分数が書き換えられる理由は、変わらない量を別の区切りで数え直せることにあります。