【小5算数】小数のわり算を図解で総まとめ—筆算・わる数を整数に・あまりの小数点・商の概数｜武蔵野個別指導塾

0.4ずつのまとまりを表す図と1 mあたりを求める例題から、小数のわり算の筆算をたどります。あまりの小数点や、商を四捨五入する位も、検算と練習問題で確かめられます。

よくあるのは、朝のホームルーム前の教室で、宿題の 3.6 ÷ 0.4 を見直し、「わり算だから、答えは 3.6 より小さいはず」と考えて、書きかけた 9 を消してしまう場面です。整数のわり算では自然だった見通しが、小数では合わないことがあります。計算の決まりだけ覚えていても、答えの大きさに納得できないと、途中で手が止まります。

小数のわり算でまず確かめたいのは、何を1つ分として数えているかです。3.6 m のひもから 0.4 m ずつ取るなら、1 m ずつ取る場合より多く取れます。答えが大きくなることにも、長さを思い浮かべれば理由があります。

ここでは、まとまりを数える考え方から、筆算、あまり、商を概数で求めるところまで順に進めます。お子さまと読むときは、答えが合うかに加え、「この数は何の量か」を一緒に言葉にしてみてください。小数点の位置を、数の意味に戻って確かめられるようになります。

この単元で身につけること

• 小数でわる意味を説明します。0.4 でわることは、0.4 を1つ分として、いくつ分あるかを調べることだと捉えます。
• わる数を整数に直します。わられる数とわる数を同じ数だけ10倍、100倍しても商は変わらないことを使います。
• 商の小数点を決めて筆算します。移したあとのわられる数の小数点の真上に、商の小数点を打ちます。
• あまりをもとの量で表します。筆算に残った数字をそのまま答えにせず、もとのわられる数の位に戻して読みます。
• 商を指定された位までの概数にします。残したい位の1つ下の位まで求め、四捨五入する数字を確かめます。
• 文章題で1あたりの量を求めます。全体の量を、長さや重さなどのいくつ分に当たるかでわり、答えの単位も確かめます。

これまでの整数のわり算、小数を整数でわる計算、小数の位取りが土台になります。新しい筆算を丸ごと覚えるというより、整数のわり算ができる形に直してから、知っている手順を使う学習です。多くの教科書では小5で、小数でわる計算を扱います。

基本の考え方

0.4でわることは、0.4のまとまりを数えることです

わり算の答えを「商」といいます。3.6 ÷ 0.4 では、3.6 がわられる数、0.4 がわる数です。ひもの長さで考えると、3.6 m の中に 0.4 m がいくつ分あるかを調べます。0.4 m、0.8 m、1.2 m と順に並べていくと、9つ分で 3.6 m になります。

図1のように、全体を同じ長さのまとまりに区切ると、わる数の意味が見えます。上の帯も下の帯も、表しているひもは同じです。上は m、下は cm で長さを表しています。1 m = 100 cm なので、3.6 m は 360 cm、0.4 m は 40 cm です。

図1では、単位を変えて数の表し方が変わっても、まとまりの数は9つのままです。だから、3.6 ÷ 0.4 と 360 ÷ 40 の商は等しくなります。両方の数を100倍するのは、ひも自体を伸ばすためではありません。同じひもを、より小さな単位で数え直すためだと考えられます。

ここから、「わられる数とわる数に同じ数をかけても、商は変わらない」という決まりにつながります。ただし、0 をかけてよいわけではありません。小数のわり算では、10 や 100 などを両方にかけ、わる数を整数にします。わる数が 0 のわり算はできないことも、整数のときと同じです。

0.24 ÷ 0.06 なら、両方を100倍して 24 ÷ 6 = 4 とします。0.06 は10倍しただけでは 0.6 で、まだ整数になりません。小数点以下の数字を眺めるだけでなく、わる数が整数になったかを確認することが手順の終点です。

小数点は、両方で同じ桁数だけ動かします

10倍すると小数点は右へ1桁、100倍すると右へ2桁動きます。たとえば 4.2 ÷ 1.2 は、両方を10倍した 42 ÷ 12 で求められます。1.2 だけを 12 に直して、4.2 をそのままにしてはいけません。それでは、全体の量と1つ分の量の関係が変わってしまいます。

わられる数の小数の桁数が少ない場合は、0 を補えます。3 ÷ 0.12 は 3.00 ÷ 0.12 と見て、両方を100倍すると 300 ÷ 12 = 25 です。3、3.0、3.00 は同じ大きさなので、右側に補う 0 によってもとの数が増えることはありません。

筆算では、もとの小数点を消して見えなくするより、斜め線で消した印を付け、新しい位置をはっきり書くとたどりやすくなります。わる数を整数に直したら、商の小数点は、移したあとのわられる数の小数点の真上です。かけ算のように「小数の桁数を合わせて数える」決め方ではありません。

保護者からの声かけは、「わる数を整数にしたね。わられる数も同じだけ動かしたかな」が使えます。「点が違う」と答えの場所だけ示すより、両方を同じ倍率で直したかをお子さま自身が調べられます。書いた印を指でたどって説明できれば、移動の操作と理由がつながっています。

答えの大きさと、求める答えの形を先に見ます

正の数をわられる数とすると、1 より大きい数でわった商は、わられる数より小さくなります。1 でわれば同じで、0 より大きく 1 より小さい数でわれば、商はわられる数より大きくなります。0.4 のような小さいまとまりで数えると、まとまりの数が増えるためです。

ただし、「商がわられる数より大きい」ことと、「商が必ず整数になる」ことは別です。0.6 ÷ 0.4 = 1.5 のように、小数の商になる場合もあります。大きさの見通しは、小数点の大きな間違いを見つける助けですが、それだけで答えの細かな数字まで決まるわけではありません。

また、同じ式でも問題が求める答えの形に注意します。わり切れるまで計算するのか、商を整数まで求めてあまりを書くのか、指定された位までの概数にするのかで、筆算を終える場所が変わります。「商を整数まで求め、あまりを出す」という指示は、商を四捨五入する意味ではありません。文章題なら、ひもを何本取れるか、1 m あたりの重さはいくらかなど、答えが表すものからも判断します。

例題で解き方を確かめる

例題1　3.6 ÷ 0.4を計算しましょう

まずは、図1のまとまりと式を結び付ける問題です。わる数が1より小さいので、商は 3.6 より大きくなると見通してから始めます。

1. わる数の 0.4 を10倍して 4 にします。整数でわる筆算に直すためです。
2. わられる数の 3.6 も10倍して 36 にします。両方を同じ倍率で変えることで、商を変えずに計算できます。
3. 36 ÷ 4 = 9 と計算します。4 × 9 = 36 なので、あまりはありません。
4. もとの数で 0.4 × 9 = 3.6 と確かめます。もとの式に戻すと、小数点の位置まで確かめられます。

答え：9

36 ÷ 4 の答えを出したあとに、「10倍したから、答えを10でわって 0.9 に戻す」と考える必要はありません。変わらなかったのは商です。図1でも、単位を変えたあとにまとまりの数を減らしてはいません。何を10倍し、何が変わらないかを区別しましょう。

例題2　1.2 mで4.2 gの針金があります。1 mの重さは何gですか

太さが一様な針金として考えます。長さが1.2倍なら重さも1.2倍になるので、1.2 m 分の重さを 1.2 でわると、1 m 分の重さが求められます。「小数だからわり算にする」のではなく、1つ分に当たる量を求めることが式を選ぶ理由です。

図2のように長さと重さをそろえた数直線で表すと、1.2 m に 4.2 g が対応し、1 m の位置に求める重さが対応します。0 から 1 m までの部分は、0 から 1.2 m までの全体より短いため、答えも 4.2 g より軽くなるはずです。

1. 4.2 ÷ 1.2 と式を立てます。全体の重さを、1 m のいくつ分かを表す 1.2 でわります。
2. 両方を10倍して 42 ÷ 12 に直します。わる数が整数になり、整数の筆算と同じ手順を使えます。
3. 一の位に 3 を立て、12 × 3 = 36、42 − 36 = 6 と計算します。12 × 4 = 48 では 42 をこえるため、3 が立ちます。
4. 42 を 42.0 と見て、商に小数点を打ち、0 を下ろします。残った 6 を 0.1 の単位で数えると60個分になり、60 ÷ 12 = 5 なので、十分の一の位に 5 を立てます。
5. 商を 3.5 と読み、3.5 × 1.2 = 4.2 と確かめます。1 m 分を1.2倍して、もとの1.2 m分の重さに戻るかを見ます。

答え：1 m の重さは 3.5 g

直したあとの筆算は、次のようになります。商の 3 は 42 の 2 の上、商の小数点は 42.0 の小数点の上にそろえます。下ろした 0 は、新しい量を足した印ではなく、小数の位まで計算を続けるための印です。

      3.5
   ┌─────
12 │ 42.0
     36
     ──
      6 0
      6 0
      ───
        0

図2の 1 m に対応する 3.5 g は、この計算で求めた値です。1.2 m から 1 m にするのに長さは 0.2 m 減りますが、重さから同じ数字の 0.2 g を引くわけではありません。長さと重さには同じ倍率を使います。単位が異なる量を、同じ数字だけ引いてそろえないようにしましょう。

例題3　5.3 mのリボンから0.8 mずつ取ります。何本取れて、何mあまりますか

取るリボンは、どれも 0.8 m です。0.8 m に足りない残りを1本に数えないため、商は整数まで求め、残った長さをあまりとして表します。

1. 5.3 ÷ 0.8 と式を立て、両方を10倍して 53 ÷ 8 にします。0.1 m を1つの単位として数える形です。
2. 53 ÷ 8 は、商が 6、あまりが 5 です。8 × 6 = 48 は 53 をこえず、8 × 7 = 56 では足りないため、取れるのは6本です。
3. あまりの 5 を、もとの長さに戻して 0.5 m とします。計算中の 5 は 0.1 m が5つ分であり、5 m ではありません。
4. 0.8 × 6 + 0.5 = 5.3 と確かめます。取った分と残った分を合わせて、もとのリボンの長さになるかを調べます。

答え：6本取れて、0.5 m あまります。

ここで筆算を小数の位へ続けると、商は 6.625 まで求められます。しかし、6.625本という答えでは、決められた長さのリボンを何本取れるかに答えていません。残りの 0.5 m は、0.8 m の 0.625 倍です。「残りの長さ」と「1本分を基準にした数」を混ぜないことが、文章題の答えを整える助けになります。

例題4　2 ÷ 0.7の商を、四捨五入して小数第一位までの概数で求めましょう

小数第一位は十分の一の位、小数第二位は百分の一の位です。今回は小数第一位を残すので、判断に使う小数第二位まで計算します。わり切れるまで計算する指示ではありません。

1. 2 ÷ 0.7 を、両方10倍して 20 ÷ 7 に直します。2 を 2.0 と見れば、小数点を右に1桁動かせます。
2. 20 ÷ 7 は商が 2、あまりが 6 です。20.00 として0を下ろし、60 ÷ 7 は商が 8、あまりが 4 なので、小数第一位は 8 になります。
3. さらに0を下ろして 40 ÷ 7 を計算します。商が 5、あまりが 5 なので、小数第二位まで求めた商は 2.85…です。
4. 小数第二位の 5 を見て四捨五入します。5 は切り上げる数字なので、小数第一位の 8 を 9 にして 2.9 とします。

答え：約2.9

2.9 はもとの商とぴったり等しい数ではありません。そのため、ここで「2 ÷ 0.7 = 2.9」と等号で結ばず、「約2.9」と書きます。確かめると 0.7 × 2.9 = 2.03 となり、もとの 2 に近い値になります。概数の検算では、積が完全に一致しないこと自体は間違いの証拠になりません。

「上から2桁の概数」と言われた場合は、左から見て最初に0でない数字を1桁目として数えます。たとえば 0.285…を上から2桁の概数にすると 0.29 ですが、小数第一位までの概数なら 0.3 です。問題の指示を「どの位まで残すか」に言い換え、残す数字のすぐ右に印を付けると判断しやすくなります。

つまずきやすいところと直し方

わる数だけを整数にしてしまいます

誤った書き方：4.2 ÷ 1.2 を 4.2 ÷ 12 に直し、答えを 0.35 とします。どこが違うかというと、わる数だけ10倍になり、わられる数が変わっていない点です。商が変わらない決まりは、両方を同じ倍率で変えたときに使えます。

正しい書き方：4.2 ÷ 1.2 = 42 ÷ 12 = 3.5 です。直すときには、もとの2つの数の下に、それぞれ「10倍」と書いてみます。筆算の答えだけを書き直すより、どの段階で数の関係が変わったかがはっきりします。

同じく、0.72 ÷ 0.3 を 72 ÷ 3 にするのも誤りです。小数点を消すことだけを目標にすると、わられる数は100倍、わる数は10倍になってしまいます。両方を10倍した 7.2 ÷ 3 = 2.4 が正しい形です。わられる数に小数点が残っていても、計算を始めて構いません。

あまりにも移したあとの小数点を使ってしまいます

誤った書き方：5.3 ÷ 0.8 の商を整数まで求め、「6 あまり 5」とします。どこが違うかというと、53 ÷ 8 のあまりを、もとの式のあまりとして読んでいる点です。商は変わりませんが、数を10倍して計算したとき、残りを表す数も10倍になっています。

正しい書き方：5.3 ÷ 0.8 は「6 あまり 0.5」です。図3のように、0.8 m が6本で 4.8 m、その先の残りが 0.5 m と捉えます。あまりの部分は 0.8 m の1本分より短く描かれています。

図3の残りに、もう1本分の 0.8 m は入りません。「あまりはわる数より小さい」という確かめ方が、長さとしても読み取れます。仮にあまりを 5 m とすると、もとの 5.3 m から 4.8 m を取った残りとしても、わる数との比較としても合いません。

筆算では、あまりの小数点は、もとのわられる数の小数点の真下に打ちます。商は移したあとの小数点、あまりはもとの小数点を見るため、ここは別々に確認します。お子さまには「残った数字は、もとの何の位だったかな」と尋ね、0.1 がいくつ、0.01 がいくつという読み方に戻ると説明しやすくなります。

わる数を100倍した場合なら、あまりは100でわってもとの大きさに戻します。また、10倍して直した計算に小数が残る場合もあります。たとえば 1.25 ÷ 0.3 を整数の商まで求めると、12.5 ÷ 3 で商 4、残り 0.5 となり、もとのあまりは 0.05 です。移動後の計算にも小数が残る場合は、0.3 × 4 + 0.05 = 1.25 と、もとの式で確かめることが特に役立ちます。

四捨五入する位を取り違えます

誤った書き方：2 ÷ 0.7 の商を小数第一位までの概数にするとき、2.8 まで計算して、8 を四捨五入して 3 とします。どこが違うかというと、残すはずの小数第一位を四捨五入の判断に使っている点です。この操作では、一の位までの概数になってしまいます。

正しい書き方：2.85…まで計算し、小数第二位の 5 を見て、約2.9 とします。「小数第一位まで」は、小数第一位を消す指示ではなく、そこまで残す指示です。ノートでは、残す位を丸で囲み、そのすぐ右の数字に下線を引くと、2つの役割を区別できます。

また、商が 0.25 となる計算で、小数点の左の 0 を書かずに .25 としないようにしましょう。0.3 ÷ 1.2 なら、3 ÷ 12 となり、一の位に商が立たないので 0 を書いてから小数へ進みます。この 0 は、商が1より小さいことを示す大事な数字です。

練習問題

答えを見る前に、わる数を整数に直した式を書きましょう。答えが小数になる問題では商の小数点を先に決め、あまりを求める問題では、もとの小数点の位置も残しておきます。概数の問題では、残す位を決めてから計算を始めます。

練習1

0.72 ÷ 0.3 を計算しましょう。わられる数に小数点が残っても計算できることを確かめ、求めた商に 0.3 をかけて検算しましょう。

練習2

長さ 1.2 m、重さ 0.3 kg の太さが一様な棒があります。1 m の重さは何kgですか。式を立てる前に、答えが 0.3 kg より重くなるか、軽くなるかを考えましょう。

練習3

7.4 m のテープから、0.6 m ずつ取ります。何本取れて、何mあまりますか。取った分と残りを合わせて、もとの長さになる式も書きましょう。

練習4

8 ÷ 1.5 の商を、四捨五入して小数第二位までの概数で求めましょう。四捨五入の判断に使った位と数字も説明しましょう。

答えと解説

練習1の答え：2.4。両方を10倍して 7.2 ÷ 3 とします。7 ÷ 3 で一の位に 2 が立ち、残りの1と小数部分の0.2を合わせた 1.2 を3でわると 0.4 なので、商は 2.4 です。2.4 × 0.3 = 0.72 と検算できます。72 ÷ 3 にしてしまうと、両方を同じ倍率で変えたことになりません。

練習2の答え：0.25 kg。式は 0.3 ÷ 1.2 です。両方を10倍して 3 ÷ 12 にすると、商の一の位は 0 です。3.00 として計算を続け、30 ÷ 12 で小数第一位に 2、残り6から0を下ろした 60 ÷ 12 で小数第二位に 5 が立ちます。0.25 × 1.2 = 0.3 となり、1.2 m 分の重さに戻ります。

練習3の答え：12本取れて、0.2 m あまります。74 ÷ 6 は商 12、あまり 2 なので、もとのあまりは 0.2 です。0.6 × 12 + 0.2 = 7.4 と確かめられます。また、0.2 m は 0.6 m より短いので、残りから同じ長さのテープをもう1本取ることはできません。

練習4の答え：約5.33。両方を10倍して 80 ÷ 15 にすると、商は 5.333…となります。小数第二位を残すために小数第三位まで求め、その位の 3 を見て切り捨てます。小数第二位まで計算しただけでは判断する数字が足りません。5.33 × 1.5 = 7.995 なので、積ももとの 8 に近くなっています。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

小数のわり算は、1 m あたりの重さ、1 L あたりで進む道のり、割合などを求めるときに使います。計算の速さだけでなく、何を1と見るかを読み取る力が必要になります。今回の針金や棒の問題で、全体の量と1あたりの量を区別することが、次の単元の式づくりにつながります。

家庭では、5分でできる確認を2つ試せます。1つ目は、3.6 ÷ 0.4 と 36 ÷ 4 を並べ、「なぜ答えが同じか」を図1を指しながら説明してもらうことです。「点を動かす決まりだから」で終わったら、「どちらも、ひもは何本分かな」と問いを具体的にします。新しい問題を増やさなくても、計算の理由を確かめられます。

2つ目は、練習3の答えを使い、「0.6 × 12 + 0.2」の各数が何を表すかを言ってもらうことです。1本の長さ、取れた本数、残った長さが言えたら、最後に式を計算して全体へ戻します。あまりだけを暗記していないかを、短い時間で確かめられます。

個別指導で確かめるときも、小数点の移動で止まるなら10倍と位取りへ、商の数字が立たないなら整数のわり算の見積もりへ戻ります。文章題だけで迷う場合は、計算をやり直す前に、長さと重さの対応を数直線に置いて、何を求めているかを確認します。

まとめ

ノートに書かれた小数点は、小さな印ですが、量の読み方を決めています。筆算が最後までできても、リボンの残りを 5 m と読めば、切り取った場面とつながりません。反対に、残りが1本分より短いと説明できれば、書いた答えを自分で調べる足場ができます。

最初に消しかけた 9 も、0.4 のまとまりを数えた結果だとわかれば、自信を持って書き直せます。小数のわり算の答えは、小数点を置いて完成ではなく、その数が表す量まで説明して完成です。