【小6算数】円の面積を図解で総まとめ—公式の導き方・おうぎ形・複合図形｜武蔵野個別指導塾

直径から半径を求める問題から、円を並べ替える公式の理由、4分の1の円、葉っぱ形の面積まで図で確かめます。家庭での声かけと、途中の式を追える例題・練習問題をそろえました。

よくあるのは、夕食を待つ台所で円い皿を見ながら宿題を進めていたお子さまが、「直径が10 cmの円の面積」という問題に、10 × 10 × 3.14と書いて手を止める場面です。公式の言葉は覚えていても、図に書かれた10 cmをそのまま使ってよいのか、判断がつかないのです。ここで計算だけを急がせると、円周の公式とも混ざりやすくなります。

円の面積で初めに確かめたいのは、求めるものが周りの長さなのか、中の広さなのかという違いです。次に、公式で使う半径が図のどこにあるかを見ます。この2つがつながると、直径が与えられた円も、半分に切った円も、見通しをもって解けます。

さらに、四角形の中に曲線がある問題も、知っている形に分けたり、全体から余分な部分を引いたりすれば求められます。式を覚えるところから一歩進み、「このかけ算は図の何を表すか」を説明できるようにしていきましょう。

この単元で身につけること

• 半径と直径を見分けます。半径は中心から円周までの長さで、直径は中心を通って円周の端から端まで結んだ長さです。直径がわかっているときは、まず2でわります。
• 円周と面積を使い分けます。円周は周りの長さ、面積は囲まれた部分の広さです。答えの単位も、cmとcm²のように区別します。
• 円の面積の公式の理由を説明します。円を細かく等分して並べ替えた形から、半径を2回かけるわけを確かめます。
• 円の一部分の面積を求めます。半円や4分の1の円では、もとの円の面積を求めてから、必要な部分の割合に合わせてわります。
• 曲線を含む複合図形を読み解きます。葉っぱ形なども、円の一部分と三角形や正方形の関係を使って求めます。

これまでに学んだ円周、長方形や三角形の面積、小数のかけ算がつながる単元です。多くの教科書では小6で円の面積を学びますが、計算が止まるときは小数のかけ算へ、図の読み取りが止まるときは円の中心と半径へ戻ると、確かめる場所がはっきりします。

基本の考え方

半径を見つけてから、広さを考えます

円の中心から円周上の点まで引いた線分の長さは、どの向きでも同じです。この長さが半径です。中心を通り、円周上の2点を結ぶ線分の長さが直径で、半径の2倍になります。横向きに描かれた線だけが直径なのではありません。斜めの線でも、中心を通って円周の端から端まで届いていれば直径です。

また、円の端から端へ結んだ線でも、中心を通っていないものを直径とはいいません。長さの数字がどの線についているのかを見ずに公式へ入れると、計算が正しくても答えは違ってしまいます。円の図に中心が示されていたら、まずその点を指で押さえ、数字のついた線が中心で止まっているか、中心を通り越しているかを確かめます。

面積は、中をどれだけの広さで覆うかを表す量です。1 cm²は、1辺が1 cmの正方形の面積です。円の縁にひもを沿わせた長さが円周、円の内側に紙を敷き詰めるときの広さが面積だと考えると、求めるものを区別しやすくなります。円周に使うのは「直径 × 円周率」、面積に使うのは「半径 × 半径 × 円周率」です。

円周率は円周の長さが直径の何倍かを表します。ここからの例題と練習問題では、円周率を3.14として計算します。3.14は円周率そのものをすべて表した数ではありませんが、問題で3.14とするよう指定されているときは、その約束に従って答えを出します。

円を並べ替えると、公式の理由が見えてきます

円を中心から同じ大きさに細かく分け、先のとがった部分が上、下、上、下となるように並べます。図1の左は分ける前の円、右は分けた部分を交互に並べた形です。同じ部分を移しただけなので、面積は変わりません。左右の図は同じ縮尺で描いています。

図1のように並べても、分ける数が少ないうちは上と下に丸みが残り、横の端も斜めです。この段階の形を、ぴったりした長方形と考えるわけではありません。分ける数をもっと増やすと、1つずつの丸みが小さくなり、全体が長方形に近づいていきます。

近づいていく長方形の縦は半径に近い長さです。横は、円の周りの半分を並べた長さに近づきます。上側に円周の半分、下側に残りの半分がくるためです。円周全部を横の長さにしてしまうと、同じ円周を二重に数えることになります。

円周は「直径 × 円周率」ですから、その半分は「直径 × 円周率 ÷ 2」です。直径の半分が半径なので、「半径 × 円周率」とも表せます。長方形の面積の求め方に当てはめると、「半径 × 半径 × 円周率」になります。このように、半径を2回かけることには、縦の長さと横の長さをかけるという理由があります。

公式は「円の面積 = 半径 × 半径 × 円周率」です。たとえば半径が3 cmなら、3 × 3 × 3.14 = 28.26で、面積は28.26 cm²です。最初の3 × 3で9を求め、その9に3.14をかけると計算を整理しやすくなります。公式に出てくる2つの半径は、別々の円の長さではなく、同じ円の半径です。

半径が2倍になると、面積は2 × 2で4倍になります。半径が3倍なら3 × 3で9倍です。広さは縦にも横にも広がるため、長さと同じ倍数にはなりません。大きい皿と小さい皿を比べるときも、直径が2倍だから面積も2倍、とすぐに決めないようにします。

おうぎ形は「もとの円のどれだけか」で考えます

円を2本の半径で切り取った形を、おうぎ形といいます。2本の半径が作る中心の角を中心角といい、曲がった縁の部分を弧といいます。まずは円を同じ大きさに分けたときの、半円や4分の1の円から考えると見通しが立ちます。

半円は、円を直径で2つに等しく分けた形です。面積はもとの円の面積 ÷ 2で求めます。中心角が90°のおうぎ形は、円を4つに等しく分けたうちの1つなので、もとの円の面積 ÷ 4です。円全体の中心の周りの角は360°ですから、90°が4つ分あることともつながります。

大切なのは、半分や4分の1になるのは面積であり、半径を半分や4分の1にするのではないことです。切り分けても、中心から丸い縁までの距離は変わりません。慣れてきたら、中心角が60°なら360 ÷ 60 = 6より円の1/6、120°なら360 ÷ 120 = 3より円の1/3と考えられます。一般には「円の面積 × 中心角 ÷ 360」と表せますが、最初は同じ形がいくつ集まると円になるかを図で確かめましょう。

例題で解き方を確かめる

例題1　半径がわかっている円

半径4 cmの円の面積を求めます。円周率は3.14とします。初めの問題では、式のそれぞれの数が何を表すのかを確認しながら進めます。

1. 与えられた4 cmが半径であることを確かめます。公式に必要なのは半径なので、そのまま使えます。
2. 4 × 4 × 3.14という式を立てます。面積を求めるため、半径を2回かけてから円周率をかけます。
3. 4 × 4 = 16、16 × 3.14 = 50.24と計算します。先に整数どうしをかけると、小数のかけ算を1回にまとめられます。
4. 単位をcm²にします。4 cmという長さを求めたのではなく、円の中の広さを求めたからです。

答え：50.24 cm²です。

この円は、1辺が8 cmの正方形にちょうど収まります。その正方形の面積は8 × 8 = 64 cm²なので、円の面積が64 cm²より小さいことも確かめられます。見積もりだけでは正しい答えを決められませんが、小数点の位置がずれて502.4になったような誤りには気づけます。

例題2　直径がわかっている円

直径10 cmの円の面積を求めます。円周率は3.14とします。数字を公式に入れる前に、問題文の「直径」という言葉に注目します。

1. 10 ÷ 2 = 5より、半径を5 cmと求めます。直径は半径の2倍なので、公式に使う長さへ直します。
2. 5 × 5 × 3.14という式を立てます。10は直径のままなので、半径を入れる場所には使いません。
3. 5 × 5 = 25、25 × 3.14 = 78.5と計算します。25 × 3 = 75に近い広さになるため、78.5という答えにも見通しがもてます。

答え：78.5 cm²です。

25 × 3.14を筆算するときは、314 × 25 = 7850として整数の計算をし、もとの小数の桁数に合わせて78.50とします。末尾の0を省くと78.5です。かけ算の筆算で小数点の位置に迷う場合は、図の読み取りと計算を一度分け、半径5 cmを見つけられたことを確かめてから筆算に戻りましょう。

保護者の声かけは、「10 cmの線の真ん中に中心がありますね。中心から端までは何cmですか」とすると、図と計算がつながります。「2でわるのを忘れないで」だけでは、次に半径が与えられたときにも2でわってしまうことがあるためです。

例題3　4分の1の円

半径6 cm、中心角90°のおうぎ形の面積を求めます。円周率は3.14とします。図2の緑色の部分が求める広さで、灰色の線はもとの円の残りの部分を表しています。

1. 図2のように、同じおうぎ形が4つ集まると円になることを確かめます。中心角90°が4つで360°なので、円全体の1/4を求める問題です。
2. 6 × 6 × 3.14 = 113.04より、もとの円の面積を求めます。切り取る前の円でも、半径は6 cmのままです。
3. 113.04 ÷ 4 = 28.26と計算します。欲しいのは同じ広さに分けた4つのうちの1つだからです。

答え：28.26 cm²です。

まとめた式は6 × 6 × 3.14 ÷ 4です。先に6 × 6 = 36を求め、36 ÷ 4 = 9、9 × 3.14 = 28.26としてもかまいません。どちらも円の面積の1/4を求めています。計算を工夫する前に、「何を4でわっているか」を言葉で説明できることを確かめましょう。

例題4　正方形の中の葉っぱ形

1辺6 cmの正方形ABCDがあります。頂点は左下から順にA、右下にB、右上にC、左上にDとします。Aを中心とする半径6 cmの4分の1の円と、Cを中心とする半径6 cmの4分の1の円を正方形の内側にかきます。2つの弧はBとDで交わります。弧に挟まれた葉っぱ形の面積を求めます。円周率は3.14とします。

図3では、緑色の部分が葉っぱ形です。破線のBDを入れると、同じ面積の2つの部分に分けられます。AからBまでとAからDまでがどちらも6 cmで直角に交わるので、Aを中心とするおうぎ形の中心角は90°です。Cを中心とするものも同様です。

1. 4分の1の円の面積を求めます。例題3と同じ半径なので、6 × 6 × 3.14 ÷ 4 = 28.26 cm²です。
2. 三角形ABDの面積を求めます。底辺ABが6 cm、高さADが6 cmなので、6 × 6 ÷ 2 = 18 cm²です。正方形の対角線BDで分けた半分に当たります。
3. 28.26 − 18 = 10.26と計算します。Aを中心とするおうぎ形から三角形ABDを引くと、BDと弧BDに挟まれた葉っぱ形の片側が残ります。
4. 10.26 × 2 = 20.52と計算します。もう片側も同じ広さなので、2つ分にします。

答え：20.52 cm²です。

図3を使うと、別の求め方も確かめられます。2つの4分の1の円は、合わせると正方形全体を覆い、葉っぱ形の部分だけが二重になります。そこで、28.26 × 2 = 56.52から正方形の面積6 × 6 = 36を引くと、56.52 − 36 = 20.52となります。

この引き算で残るのは「はみ出した部分」ではなく、二重に数えた部分の1つ分です。片方のおうぎ形を薄くなぞり、もう片方を別の向きの線でなぞるつもりで図を見ると、2回数えた範囲を確認できます。計算が短い式を先に覚えるより、三角形を引く方法で残る部分を指せるようにすると、形が少し変わっても考えを進められます。

つまずきやすいところと直し方

直径を半径の場所に入れてしまう

誤った書き方：直径10 cmの円に対し、10 × 10 × 3.14 = 314 cm²とします。これは半径10 cmの円の面積を求めた式で、問題の円より大きい円を考えています。半径が本来の2倍になっているので、面積は本来の4倍です。

どこが違うかを確かめるときは、10という数ではなく、その数がついている線に戻ります。中心から端までを指でたどり、「ここも10 cmですか」と聞くと、直径全体と半径の違いを見直せます。数字だけに丸をつけるより、半径に当たる部分に印をつけるほうが、使う長さが明確になります。

正しい書き方：10 ÷ 2 = 5、5 × 5 × 3.14 = 78.5 cm²です。半径を求める式を省かずに1行残しておくと、あとから読んだときにも5の意味がわかります。慣れるまでは、図のそばにも「半径5 cm」と書いてから面積の式へ進みます。

円周の式で面積を求めてしまう

誤った書き方：半径4 cmの円の面積を、4 × 2 × 3.14 = 25.12 cm²とします。4 × 2で求めたのは直径で、それに3.14をかけると円周の長さになります。計算結果は円周としては正しくても、求めたい量が違います。

どこが違うかは、図の縁を指でなぞる動きと、中を手で覆う動きを比べると確かめやすくなります。周りを1周するのが長さ、中を埋めるのが面積です。単位だけをcm²に書き換えても、長さを求める式が面積の式に変わるわけではありません。

正しい書き方：面積は4 × 4 × 3.14 = 50.24 cm²です。円周を求める問題なら4 × 2 × 3.14 = 25.12 cmです。2つの式が混ざったら、図1の並べ替えを思い出し、面積には縦と横に当たる長さが必要だと確認します。

円の一部分で、半径まで小さくしてしまう

誤った書き方：半径6 cmの半円について、6 ÷ 2 = 3としてから、3 × 3 × 3.14 = 28.26 cm²とします。半円にしたのは円の広さであり、中心から円周までの距離ではありません。この式は半径3 cmの小さい円を求めています。

どこが違うかを確かめるには、円の紙を半分に折るつもりで、折り目の中央から丸い縁までを見ます。円の半分を隠しても、その距離は6 cmのままです。図2の4分の1の円でも、半径の線がもとの円と共通になっていることを指して確認できます。

正しい書き方：6 × 6 × 3.14 ÷ 2 = 56.52 cm²です。先に円全体の面積113.04 cm²を出し、それを半分にします。半円の面積なら2でわりますが、半円の周りの長さを求める場合は、曲がった部分のほかに直径の部分も数えます。問題の最後が「面積」か「周りの長さ」かを読むことも、式を決める手順に含めましょう。

練習問題

ここからは、使う長さや求める部分を自分で選んでみます。円周率はすべて3.14とします。答えだけでなく、半径を求めた式や、円のどれだけに当たるかの説明も残すと、解き直しがしやすくなります。

練習1

半径7 cmの円の面積を求めます。公式に使う7を2回書く理由を、図1の縦と横に結びつけて説明してから計算しましょう。

練習2

直径12 cmの円の面積を求めます。最初に小さな円をかき、直径の線と半径に当たる部分を書き込みましょう。図の大きさを正確にそろえる必要はありませんが、中心を通る線であることは確かめます。

練習3

半径5 cmの半円の面積を求めます。もとの円の面積を出してから半分にしてください。答えの単位が、与えられた半径の単位とどう違うかも確認します。

練習4

図3と同じ作り方で、1辺10 cmの正方形の向かい合う頂点を中心に、半径10 cmの4分の1の円を2つかきます。弧に挟まれた葉っぱ形の面積を求めます。三角形を引く方法でも、2つのおうぎ形から正方形を引く方法でもかまいません。

答えと解説

練習1の答えは153.86 cm²です。7 × 7 = 49、49 × 3.14 = 153.86と求めます。半径を2回使うのは、並べ替えて近づけた長方形の縦が半径、横が半径 × 円周率に当たるためです。単に「公式だから」で終わらず、広さを求める2つの長さに戻れれば十分です。

練習2の答えは113.04 cm²です。半径は12 ÷ 2 = 6 cmなので、6 × 6 × 3.14 = 113.04です。12 × 12 × 3.14とした場合は、直径を半径として使っています。計算を全部やり直す前に、最初の長さの読み取りを直しましょう。

練習3の答えは39.25 cm²です。もとの円は5 × 5 × 3.14 = 78.5 cm²で、その半分は78.5 ÷ 2 = 39.25 cm²です。半円になっても半径は5 cmです。小数のわり算で迷ったら、39.25 × 2 = 78.5になることから戻って確かめられます。

練習4の答えは57 cm²です。4分の1の円は10 × 10 × 3.14 ÷ 4 = 78.5 cm²、正方形の半分の三角形は10 × 10 ÷ 2 = 50 cm²です。葉っぱ形の片側が78.5 − 50 = 28.5 cm²なので、28.5 × 2 = 57 cm²です。別の方法では、78.5 × 2 − 10 × 10 = 157 − 100 = 57と求めます。どちらの式でも、引く形と残る形を図で指せるかを確認しましょう。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

円の面積は、円柱の底面積を求めるときに使います。底の円の面積がわかれば、その面積に高さをかけて円柱の体積を考えられます。また、曲線を含む図を分けたり、余分な部分を引いたりする考え方は、形が変わっても使えます。新しい形ごとに公式を増やすのではなく、知っている形へ戻す道筋を探します。

家庭で5分ほど確かめるなら、1つ目は、紙に円と中心をかき、半径と直径を1本ずつ入れる方法です。「半径が4 cmなら直径は何cmですか」「直径が14 cmなら半径は何cmですか」と尋ねます。答えは順に8 cm、7 cmです。長さの関係が説明できたら、そのまま一方の円の面積の式だけを書いてもらい、計算の前段階を確認します。

2つ目は、円をかいた紙に十字の線を引き、4つのうち1つを塗る方法です。「この部分と同じ広さがいくつで円全体になりますか」と聞き、次に2つ分を塗って半円と比べます。4分の1の円が2つで半円になることを、計算に頼らず話せれば、面積を4や2でわる意味がつながっています。

個別指導では、半径を選べない場合は中心と直径の意味まで戻り、式が立つのに答えが合わない場合は小数のかけ算の筆算を確かめます。葉っぱ形で止まる場合は、おうぎ形と三角形を別々に指し、引き算で何が残るのかを一緒に確認します。

まとめ

円の問題では、計算を始める前の小さな書き込みが役に立ちます。中心に印をつけ、使う半径を書き、求める部分を薄く塗るだけでも、式に入れる数と最後に残す広さが見えやすくなります。途中で迷ったら、答えの数値を追う前に、図へ戻ってその式の表す部分を指してみましょう。

葉っぱ形のような曲線が重なる図でも、三角形を1つ見つけると解く道筋が開けます。円の面積の理解は、3.14をかけられることから、その式で求めた広さを指せることへ進みます。