【小6算数】拡大図と縮図を図解で総まとめ—かき方・縮尺・実際の長さを求める｜武蔵野個別指導塾

対応する辺と角の見つけ方、1点を中心にした作図、縮尺から距離や木の高さを求める手順を図と例題でたどり、家庭で確かめる際の声かけまで押さえられます。

よくあるのは、塾の自習室の白板の前で、横が 4 cm、縦が 2 cm の長方形を大きくしようとして、横も縦も 2 cm ずつ長くし、これで拡大図になったと考える場面です。確かに図は大きくなっています。しかし、横は 6 cm、縦は 4 cm なので、もとの横長の感じが少し変わっています。「大きくする」と「形を変えずに大きくする」は、算数では区別します。

拡大図と縮図で確かめたいのは、どれだけ長さが増えたかではなく、対応する長さがどれも何倍になったかです。写真を縦だけ引きのばすと姿が変わるように、図形も一部の長さだけを変えると、もとの形から離れてしまいます。

この単元では、辺と角を対応させ、同じ倍率で長さを変えて図をかきます。さらに、小さな図から実際の道のりを求めたり、直接測れない高さを縮図で調べたりします。計算を始める前に「何をもとに、何を求めるか」を言葉にすると、かけ算とわり算の選び方も整理できます。

この単元で身につけること

• 拡大図と縮図の意味をつかみます。形を変えずに大きくした図が拡大図、小さくした図が縮図です。見た目の大小だけで判断しないことが出発点です。
• 対応する頂点・辺・角を見つけます。同じ位置の役割を持つものを組にしてから、長さや角の大きさを比べます。
• 対応する辺の長さの比と角の大きさを調べます。辺の長さはどれも同じ倍率になり、対応する角の大きさは変わりません。
• 1点を中心にして拡大図や縮図をかきます。中心から各頂点に向かう方向を保ち、中心からの距離を同じ倍率にすることが手順の軸です。
• 縮尺を使って図上の長さと実際の長さを行き来します。長さの単位をそろえて考え、答えを必要な単位に直します。
• 縮図を実測に利用します。測れる距離と角度から小さな図をかき、図上で測った長さを実際の長さに戻します。

前に学んだ合同な図形の「対応」を土台にして、比や分数のかけ算・わり算を図形に結びつける単元です。多くの教科書では小6で学びますが、対応が見つけにくい場合は、同じ大きさの図を重ねるところから確かめると進めやすくなります。

基本の考え方

形を変えないためにそろえるもの

拡大図・縮図では、対応する辺の長さの比がすべて等しくなります。たとえば、もとの三角形の辺が 3 cm、4 cm、5 cm で、その順に対応する辺が 4.5 cm、6 cm、7.5 cm なら、どの辺も 1.5 倍です。1.5 倍は 1 より大きいので、後の三角形は前の三角形の拡大図です。

逆に、大きい三角形をもとにして小さい三角形を見ると、3 ÷ 4.5 = 2/3、4 ÷ 6 = 2/3、5 ÷ 7.5 = 2/3 です。小さい三角形は大きい三角形の 2/3 の縮図になります。同じ2つの図でも、どちらをもとにするかによって、拡大図と呼ぶか縮図と呼ぶかが変わります。

図1のように、三角形 ABC と三角形 DEF を並べると、A と D、B と E、C と F が対応しています。辺 AB は辺 DE に、辺 BC は辺 EF に、辺 CA は辺 FD に対応します。辺を選ぶときは、両端の頂点がどこへ移るかをたどります。「短そうだからこの辺」と見た目だけで決めるよりも、取り違えを防げます。

対応する角の大きさは等しいままです。図1では、角 A と角 D はどちらも直角です。ほかの対応する角も同じ大きさです。三角形を 1.5 倍にしても、角度まで 1.5 倍にするわけではありません。辺はのびても、2本の辺の開き方が変わらない、と考えてみてください。

長方形では4つの角がすべて直角ですが、角が等しいだけで、どんな長方形どうしでも拡大図・縮図になるわけではありません。横と縦の倍率もそろえる必要があります。図形を調べるときは、対応する辺と角を一緒に確認します。

中心からの方向と距離でかく

1点を中心にして図を大きくしたり小さくしたりするときは、その点から各頂点に向かって直線を引きます。もとの頂点と移した先の頂点は、中心から見て同じ方向に置きます。そして、中心からの距離をすべて同じ倍率にします。

たとえば中心からある頂点までが 3 cm なら、2倍の拡大図では中心から 6 cm の位置に新しい頂点を取ります。「もとの頂点から 6 cm 進む」のではありません。定規の始点はいつも中心です。1/2 の縮図なら、中心から 1.5 cm の位置に取るので、新しい頂点は中心ともとの頂点との間に来ます。

中心は図形の頂点に置くことも、図形の内側や外側に置くこともできます。頂点を中心にすると、その頂点は動きません。中心から中心までの距離は 0 cm だからです。最初は三角形の1つの頂点を中心にすると、動かす点が2つになり、手順を追いやすくなります。

方眼紙を使う場合も考え方は同じです。中心から右に2ます、上に1ますの頂点なら、2倍の位置は右に4ます、上に2ますです。横だけでなく縦の移動も同じ倍率にします。新しい頂点を取ったら、もとの図と同じ順につなぎ、辺を交差させていないかを確かめます。

ご家庭では「中心から、どちら向きに、どれだけ離すのかな」と声をかけてみてください。辺の長さを直接のばそうとして迷っているお子さまも、中心から頂点までの距離に注目すると、点を取る作業に集中できます。

縮尺は図と実際を結ぶ比

縮尺は、実際の長さに対する縮図上の長さの割合です。単位をそろえたうえで、「縮図上の長さ ÷ 実際の長さ」で求めます。1/100 や 1 : 100 のように表し、どちらも実際の長さを 1/100 にして図にしたことを示します。

縮尺が 1/100 なら、図上の 1 cm は実際の 100 cm、つまり 1 m に当たります。図上の 3 cm は実際の 300 cm、つまり 3 m です。縮尺が 1/1000 なら、図上の同じ 1 cm が実際には 1000 cm、つまり 10 m に当たります。分母が大きいほど、同じ実際の長さを小さく表すことになります。

実際の長さから図上の長さを求めるときは、縮尺をかけます。図上の長さから実際の長さを求めるときは、縮尺でわります。1/100 でわることは 100 をかけることと同じです。式だけを覚えるより、「実際より小さな図にする」「小さな図から実際へ戻す」と確認すると、計算後の大小も点検できます。

なお、縮尺は長さについての割合です。縦横をそれぞれ 1/2 にした長方形は、面積まで 1/2 になるわけではありません。面積を聞かれたときは、変えた後の縦と横を使って求め直します。長さと面積のどちらについて考えているかも区別しておきます。

例題で解き方を確かめる

例題1　対応する辺から倍率を求める

三角形 ABC の辺 AB は 4 cm、辺 BC は 5 cm、辺 CA は 3 cm です。その拡大図である三角形 DEF では、辺 AB に対応する辺 DE が 6 cm です。辺 EF と辺 FD の長さを求めましょう。

1. 対応する辺を組にします。AB と DE、BC と EF、CA と FD です。同じ役割の辺を比べないと、拡大した倍率を求められないためです。
2. わかっている組から、6 ÷ 4 = 1.5 と計算します。「拡大した後 ÷ もと」で、もとの長さを何倍にしたかが求められます。
3. 残りの辺にも同じ倍率をかけます。EF は 5 × 1.5 = 7.5、FD は 3 × 1.5 = 4.5 です。拡大図では、一部の辺だけ倍率を変えることはできません。

答え：辺 EF は 7.5 cm、辺 FD は 4.5 cm です。

図1の長さを使って、7.5 ÷ 5 と 4.5 ÷ 3 がどちらも 1.5 になるかを確かめられます。求め終えた後に、別の組でも倍率を調べることが答えの点検になります。6 cm と 4 cm の差が 2 cm だからといって、ほかの辺に 2 cm を足さないようにします。

例題2　頂点を中心に2倍の拡大図をかく

角 A が直角で、AB = 4 cm、AC = 3 cm、BC = 5 cm の三角形 ABC があります。点 A を中心に、2倍の拡大図をかきましょう。移した先の頂点を B′、C′ とします。B′ は「移した先の B」を区別する記号です。

1. 点 A から点 B に向かう直線と、点 A から点 C に向かう直線を、それぞれ先へ延ばします。向きを保つために、もとの辺から曲がらないよう定規を当てます。
2. AB の2倍を計算します。4 × 2 = 8 なので、A から 8 cm の位置に B′ を取ります。B から測るのではなく、中心 A から測ることが大事です。
3. AC の2倍を計算します。3 × 2 = 6 なので、A から 6 cm の位置に C′ を取ります。中心からの距離を同じ2倍にそろえます。
4. B′ と C′ を結びます。AB′、B′C′、C′A が拡大図の3辺です。最後に B′C′ が 5 × 2 = 10 cm になることを確かめます。

答え：AB′ = 8 cm、AC′ = 6 cm、B′C′ = 10 cm の三角形 AB′C′ です。

図2のように、A は共通の頂点になり、B′ と C′ はそれぞれ A から見て B、C と同じ方向に並びます。内側の赤い三角形がもとの図、外側の紺の三角形が2倍の拡大図です。拡大図ともとの図が重なっていても、作図として問題ありません。

同じ三角形の 1/2 の縮図をかく場合は、AB 上の A から 2 cm の点と、AC 上の A から 1.5 cm の点を結びます。斜めの辺は 2.5 cm です。拡大と縮小で変わるのは倍率と点の位置であり、中心から測るという手順は共通です。

例題3　縮尺から実際の距離と図上の距離を求める

縮尺 1/2000 の地図で、2地点を結ぶまっすぐな線分の長さが 3.6 cm でした。実際の距離は何 m ですか。また、この地図上に実際の 90 m の距離を表すと、何 cm になりますか。

1. 図上の 1 cm が実際の何 cm に当たるかを読み取ります。1/2000 の縮図なので、図上の 1 cm は実際の 2000 cm に当たります。
2. 3.6 cm を実際の長さに戻します。3.6 × 2000 = 7200 なので、実際は 7200 cm です。小さくしていたものを戻すため、長さは大きくなります。
3. 求める単位をそろえます。1 m = 100 cm なので、7200 ÷ 100 = 72 です。cm のまま答えず、問いに合わせて m に直します。
4. 反対向きの計算では、90 m = 9000 cm としてから、9000 × 1/2000 = 4.5 と計算します。実際から地図へ小さくするため、縮尺をかけます。

答え：実際の距離は 72 m、実際の 90 m を表す図上の長さは 4.5 cm です。

実際の距離と図上の距離を上下2行に書いておくと、計算の向きが見えます。「図 3.6 cm → 実際 7200 cm」「実際 9000 cm → 図 4.5 cm」のように、単位も一緒に書きます。問題の距離がまっすぐな線分なのか、曲がった道に沿う道のりなのかも読み取ります。道のりを求める場合は、図上でもその道に沿った長さを使います。

例題4　縮図を利用して木の高さを求める

平らな地面に垂直に立つ木があります。木の根元から水平に 12 m 離れた位置で、地面から 1.5 m の高さにある目で木の先を見ます。水平な向きから見上げる角は 45° でした。縮尺 1/200 の縮図を使って、木の高さを求めましょう。

1. 目の高さで木まで水平に引いた線を考えます。地面が平らで木が垂直なので、その線の長さも 12 m です。高さは、目の位置より上の部分と下の部分に分けます。
2. 水平な 12 m を縮図にします。12 m = 1200 cm なので、1200 ÷ 200 = 6 cm です。紙に水平な線分を 6 cm かき、一方の端を目の位置、もう一方を木の位置にします。
3. 木の位置から上へ垂直な線を引きます。目の位置からは、水平な線に対して上向きに 45° の線を引きます。2本の線の交点が縮図上の木の先です。
4. 木の位置から交点までを測ると約 6 cm になります。6 × 200 = 1200 なので、目より上の高さは約 1200 cm、つまり約 12 m です。最後に目の高さ 1.5 m を足して、12 + 1.5 = 13.5 と求めます。

答え：木の高さは約 13.5 m です。

この条件では、縮図にできる三角形は直角と 45° の角を持つ直角二等辺三角形です。水平な辺と垂直な辺が等しいので、測った約 6 cm が妥当かどうかを形の性質からも点検できます。実際の観測や作図では角度や長さの読み取りにずれが出るため、測定をもとにした答えには「約」を付けます。

見上げた位置が地面ではないことを忘れると、12 m だけで答えてしまいます。縮図で求めたのは目から上の高さです。実際に試す際は、安全な場所から動かずに観察し、木に登ったり近づけない場所へ入ったりして測る必要はありません。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　どの辺にも同じ長さを足す

誤った書き方は、「横 4 cm、縦 2 cm の長方形の各辺に 2 cm を足すと、横 6 cm、縦 4 cm の拡大図になる」です。どちらの辺も長くなっていますが、横の倍率は 6 ÷ 4 = 1.5、縦の倍率は 4 ÷ 2 = 2 です。倍率がそろっていないため、形が変わっています。

正しい書き方は、「2倍の拡大図なら、横は 4 × 2 = 8 cm、縦は 2 × 2 = 4 cm」です。増やす長さをそろえるのではなく、かける数をそろえます。横と縦の比を調べても、もとは 4 : 2 = 2 : 1、正しい図は 8 : 4 = 2 : 1 で等しくなります。

図3のように3つを並べると、中央の長方形はもとの図より縦長に近づいています。「大きくなったから正しい」と考えるお子さまには、横が何倍か、縦が何倍かをそれぞれ計算してもらいます。見た目の感想を、2つの倍率を比べる確かめ方につなげます。

誤り2　辺と一緒に角度も倍にする

誤った書き方は、「2倍の拡大図なので、60° の角は 120° にする」です。どこが違うかというと、長さを変える倍率を、角の大きさにも使っている点です。60° の開きを 120° にすると、辺どうしの開き方が変わり、もとの形を保てません。

正しい書き方は、「辺の長さは2倍、対応する角は 60° のまま」です。分度器で作図するなら、もとの角と同じ目盛りを読みます。定規で扱う長さと、分度器で扱う角の大きさを分けて言葉にすると整理できます。

1点を中心にした作図では、中心からの直線の向きを変えずに点を取ることが、この角度を保つ操作につながります。点を紙の空いている場所へ適当に移してから結ぶと、長さの一部が合っていても図が崩れます。補助線を消す前に、中心ともとの頂点と新しい頂点が同じ直線上にあるかを確認します。

誤り3　単位をそろえずに縮尺を求める

誤った書き方は、「図上 4 cm、実際 20 m だから、縮尺は 4 ÷ 20 = 1/5」です。数だけを比べてしまい、cm と m の違いが残っています。4 cm を 20 m の 1/5 と見ることはできません。

正しい書き方は、「20 m = 2000 cm、4 ÷ 2000 = 1/500」です。反対に確かめると、4 × 500 = 2000 cm = 20 m となり、実際の長さに戻ります。分母を出した後に戻す計算まで行うと、単位の見落としを見つけやすくなります。

地図や図面を印刷し直す場合にも注意が必要です。用紙に合わせて図を拡大・縮小すると、印刷された縮尺の数字だけが元のまま残ることがあります。定規で測って利用する図は、どの大きさで印刷する前提かを確かめます。画面上の図も表示の大きさが変わるので、このページの図は定規で測る代わりに、書かれている長さを使ってください。

練習問題

式を立てる前に、もとにする図、対応する辺、求める長さの単位を確認します。作図の問題は補助線を残し、計算の問題は答えが図上の長さなのか実際の長さなのかまで書いてみてください。

練習1

3辺が 6 cm、8 cm、10 cm の三角形の、3/4 の縮図をかきます。対応する3辺の長さを順に求めましょう。また、もとの三角形のある角が 90° なら、縮図の対応する角は何度ですか。

練習2

点 O を中心にした3倍の拡大図をかきます。ある頂点 P は、O から右に2ます、上に1ますの位置にあります。新しい頂点 P′ は、O から右と上にそれぞれ何ますの位置ですか。また、OP が 2.5 cm なら、OP′ は何 cm ですか。

練習3

縮尺 1/5000 の地図上で、あるまっすぐな道の長さが 4.2 cm です。実際の道の長さは何 m ですか。また、実際の 350 m はこの地図上で何 cm になりますか。

練習4

実際の長さが 18 m の花だんの辺を、図上では 6 cm で表しました。この図の縮尺を分数で求めましょう。また、同じ図で 2.5 cm と表される別の辺の実際の長さは何 m ですか。

答えと解説

練習1の答えは、順に 4.5 cm、6 cm、7.5 cm、角は 90° です。6 × 3/4 = 4.5、8 × 3/4 = 6、10 × 3/4 = 7.5 と、どの辺にも 3/4 をかけます。対応する角の大きさは縮めません。3/4 は 1 より小さいので、3辺がそれぞれもとより短くなったことも確認できます。

練習2の答えは、右に6ます、上に3ます、OP′ は 7.5 cm です。右への移動は 2 × 3 = 6、上への移動は 1 × 3 = 3 とします。中心からの距離も 2.5 × 3 = 7.5 です。P から右に6ます、上に3ます進むのではなく、O を出発点にして数えます。

練習3の答えは、実際の道が 210 m、地図上では 7 cm です。4.2 × 5000 = 21000 cm、21000 ÷ 100 = 210 m と直します。反対向きは 350 m = 35000 cm として、35000 ÷ 5000 = 7 cm です。実際の 350 m のほうが 210 m より長いので、地図上でも 7 cm のほうが 4.2 cm より長くなっています。

練習4の答えは、縮尺が 1/300、別の辺が 7.5 m です。18 m = 1800 cm なので、6 ÷ 1800 = 1/300 です。その縮尺を使い、2.5 × 300 = 750 cm、750 ÷ 100 = 7.5 m と求めます。最初に求めた縮尺は、その図のほかの対応する長さにも共通して使えます。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

拡大図と縮図で「どの長さも同じ倍率」と考えることは、比例の学習につながります。縮尺が決まっていれば、図上の長さが2倍、3倍になると、実際の長さも2倍、3倍になります。また、面積を考えるときには、横と縦の両方が変わることに目を向けます。横 4 cm、縦 2 cm の面積は 8 cm²、2倍の拡大図の面積は 8 × 4 = 32 cm² で、4倍になります。長さの倍率をそのまま面積に当てはめない経験が、次の図形の学習を支えます。

家庭での確かめ方の1つ目は、方眼紙に小さな三角形をかき、1つの頂点を中心に2倍の図をかくことです。5分ほどで、中心からの横と縦のます目を声に出して数えます。お子さまに「どの点がどこへ移ったか」を指でたどってもらえば、形が少しずれたときも、どの点を取り直せばよいかを見つけられます。

2つ目は、紙に「図上 1 cm が実際の 2 m」と書いて、図上 3 cm と 5 cm に当たる実際の長さを求めることです。答えは 6 m と 10 m です。続けて実際の 8 m は図上で何 cm かと聞くと、4 cm と戻せます。5分ほどの中で計算の向きを往復し、最後に 2 m = 200 cm だから縮尺は 1/200 と確かめます。

個別指導では、対応する辺が選べない場合は合同な図形の対応へ、縮尺で止まる場合は cm と m の換算や「何倍」のわり算へ戻って確かめます。図をかく操作と計算を一度分けて見ると、定規の使い方で困っているのか、倍率の意味で迷っているのかを整理できます。

まとめ

図を大きくかけたことや、計算の答えが出たことだけでは、途中の取り違えは見えにくいものです。対応する辺を1組指し、「この辺がこの辺に移り、同じ倍率になる」と説明できると、ほかの辺や縮尺の計算も自分で確かめられます。

紙の上の数 cm が、実際の数 m や数十 m を表せるのは、すべての対応する長さを同じ決まりで結んでいるからです。縮図を読み解く鍵は、図の小ささではなく、対応する長さどうしの約束にあります。