【小5算数】体積を図解で総まとめ—直方体 立方体・cm3 と m3・複合図形・容積｜武蔵野個別指導塾

1 cm³の積み重ねから体積の公式を考え、段差のある立体や厚みのある容器を例題で確かめます。cm³・m³・L・mLの換算も、辺の長さと内のりに戻って整理できます。

よくあるのは、夕方の台所のテーブルで、お子さまが空の保存容器と計量カップを見比べ、「箱の大きさはcmなのに、水を入れるとどうしてmLになるの」と手を止める場面です。ものさしで測る長さと、カップで測る水の量が、別々の話に見えているのかもしれません。ここでは、長さを使って空間の大きさを数えることが、両方をつなぐ手がかりになります。

体積の問題は、数字を3つ見つけてかければよいとは限りません。単位がそろっているか、かける長さがどの部分を表すか、容器の外側と内側のどちらを測っているかを読む必要があります。ただ、確かめる順番がわかれば、複雑に見える箱も、知っている直方体に戻して考えられます。

まず小さな立方体の並び方から公式の意味を確かめましょう。そのあとで単位をそろえる計算、段差のある立体の分け方、実際に水が入る部分の求め方へ進みます。答えだけでなく、「このかけ算は何を数えているか」を説明できることを目指します。

この単元で身につけること

• 体積の意味を説明します。体積は、ものが空間の中で占める大きさです。同じ大きさの立方体を基準にすると、形が違っても量を比べられます。
• 直方体と立方体の体積を求めます。直方体は縦×横×高さ、立方体は一辺×一辺×一辺です。公式のもとになる、1段の個数と段数を結びつけます。
• cm³、m³、L、mLを行き来します。長さの単位を変えたときと、体積の単位を変えたときとでは、数の変わり方が違うことを確かめます。
• 段差のある立体を直方体に分けます。分けて足す方法と、大きな直方体から欠けた部分を引く方法を、図の同じ場所に対応させます。
• 内のりを使って容積を求めます。容器の厚みを除いた内側の長さを読み、水が入る空間の体積を計算します。

前に学んだ長方形の面積では、1 cm²の正方形を敷き詰めて広さを考えました。体積では、その広がりに高さが加わります。面積の計算を使いながら、平面から立体へ数える範囲を広げる単元です。

基本の考え方

小さな立方体を、すき間なく並べます

直方体は、箱のような形をした立体です。立方体は、すべての面が同じ大きさの正方形になっている立体で、すべての辺の長さが等しくなります。立方体は直方体の仲間なので、体積の考え方を別々に覚える必要はありません。

一辺が1 cmの立方体の体積を、1 cm³といいます。「1立方センチメートル」と読みます。cm³の小さな3は、3倍するという意味ではありません。長さを表すcmや、面積を表すcm²と区別し、空間の大きさを表している印です。一辺が1 mの立方体の体積は1 m³で、「1立方メートル」と読みます。

体積を比べるときには、この基準をそろえます。小さな積み木が20個入る箱と、大きな積み木が10個入る箱を、個数だけで比べることはできません。同じ1 cm³の立方体を、すき間も重なりもないように入れたときの個数なら、箱の体積を比べられます。

図1のように、横に4個、奥へ3列、上へ2段並べた形を考えます。見取図なので奥行きの辺は斜めに描いてありますが、実際には横・奥行き・高さの3方向が互いに直角です。見えている小さな面の数ではなく、内部を含めた立方体の数を数えます。

下の1段には、4 × 3 = 12個の立方体があります。同じ段が2段あるので、全部では12 × 2 = 24個です。1個が1 cm³なので、体積は24 cm³になります。後ろ側や内側が見えなくても、1段の並び方が同じなら、段ごとに数をまとめられます。

この数え方を長さで表したものが、直方体の体積 = 縦 × 横 × 高さです。横×奥行き×高さと読んでも、同じ3方向の長さを使っていれば構いません。縦と横を入れ替えても答えは変わりませんが、同じ方向の辺を2回選んでしまうと、空間全体を数えたことにはなりません。

立方体では3方向の長さが同じなので、立方体の体積 = 一辺 × 一辺 × 一辺となります。一辺が3 cmなら、3 × 3 × 3 = 27 cm³です。「辺が3本だから3をかける」と考えるのではなく、1段に9個あり、それが3段ある、と戻して説明します。

長さの換算を3方向に使います

体積の公式を使う前に、3つの長さの単位をそろえます。cmでそろえた長さをかければ答えはcm³、mでそろえた長さをかければ答えはm³になります。たとえば、横20 cm、奥行き10 cm、高さ0.3 mの直方体なら、0.3 m = 30 cmに直し、20 × 10 × 30 = 6000 cm³とします。

1 m = 100 cmだからといって、1 m³ = 100 cm³にはなりません。一辺1 mの立方体は、cmで測ると横100 cm、奥行き100 cm、高さ100 cmです。したがって、その体積は100 × 100 × 100 = 1000000 cm³です。長さを直すときの100を、3方向に使うのが大事なところです。

大きな単位から小さな単位へ直すと、同じ量を表す数は大きくなります。1 m³を小さな1 cm³で測り直すと、1000000個分になるからです。逆に1000000 cm³をm³で表すと1 m³になります。数が大きくなったから、実物まで大きくなったわけではありません。

水などの量に使う単位とは、1 L = 1000 mL、1 cm³ = 1 mLでつながります。このため、1 L = 1000 cm³です。一辺10 cmの立方体の中身は10 × 10 × 10 = 1000 cm³なので、ちょうど1 Lに当たります。この大きさを思い浮かべると、Lへの換算を確かめやすくなります。

さらに、1 m³ = 1000000 cm³で、1000 cm³ごとに1 Lですから、1 m³ = 1000 Lです。いくつもの関係をばらばらに暗記する前に、cm³とmLの数は同じ、Lにすると1000でわる、というつながりをたどりましょう。単位を直す途中でも、式の右側に単位を書いておくと、いま何を表しているか見失いにくくなります。

容積は、実際に入る内側の空間です

容器の中に入る量を考えるときは、内側の空間の体積を求めます。この量を容積といいます。容器の内側を測った長さが内のりです。問題文に「内のり」とあれば、すでに内側の長さが与えられているので、さらに厚みを引く必要はありません。

外側の長さしか書いていない容器では、壁や底の厚みを考えます。左右に壁がある横の長さは、左右の厚みをそれぞれ引きます。上が開いている箱の内側の高さは、外側の高さから底の厚みを引きます。水が入る空間に上のふたがないので、高さから同じ厚みを2回引くとは限りません。

また、容積と、途中まで入れた水の体積も区別します。容積は満杯まで入る量です。水が途中までなら、内側の縦×内側の横×水の深さで水の体積を求めます。問題が何をたずねているかによって、使う高さが変わります。家庭では「箱そのものの外側、水が入れる場所、いま水がある場所のどれを測るのかな」と言葉にしてみると、必要な長さを選びやすくなります。

例題で解き方を確かめる

例題1　直方体の体積を求めます

横4 cm、奥行き3 cm、高さ2 cmの直方体の体積を求めましょう。図1と同じ寸法なので、小さな立方体を数える方法と公式を使う方法を比べられます。

1. 3方向の長さがすべてcmで書かれていることを確かめます。同じ大きさの単位で測ってからかけることで、1 cm³の何個分かを表せます。
2. 1段分として4 × 3 = 12を計算します。横4個の列が奥へ3列あるので、1段には12個入ります。
3. 12 × 2 = 24を計算します。同じ並びが高さの方向に2段あるため、1段分を2倍します。

式は4 × 3 × 2 = 24です。答えにcm²と書くと、面の広さを答えたことになってしまいます。いま求めたのは箱全体の体積なので、cm³と書きます。計算の最後だけでなく、1段と全体を言葉で区別すると、単位を選ぶ理由もはっきりします。

答え：24 cm³です。

例題2　立方体の体積を別の単位で表します

一辺が0.2 mの立方体の体積を、cm³とLでそれぞれ求めましょう。小数のまま計算することもできますが、ここでは先に辺をcmへ直して、整数の計算で求めます。

1. 0.2 m = 20 cmに直します。長さは1 m = 100 cmの関係で換算するので、0.2 × 100 = 20です。
2. 20 × 20 × 20 = 8000を計算します。立方体の3方向は同じ長さなので、20を3回かけます。途中は20 × 20 = 400、400 × 20 = 8000です。
3. 8000 ÷ 1000 = 8を計算します。1000 cm³が1 Lに当たるので、8000 cm³の中に1000 cm³が何個あるかを求めます。

一辺10 cmの立方体が1 Lだったこととも比べられます。一辺20 cmの立方体には、その立方体が横に2個、奥へ2個、高さに2個入り、2 × 2 × 2 = 8個分になります。辺が2倍なら体積も2倍、としてしまわないように、3方向の変化を見るのが確かめ方です。

答え：8000 cm³、8 Lです。

例題3　段差のある立体を分けて求めます

横全体が8 cm、奥行きが4 cmの立体があります。左側の横3 cmの部分は高さ6 cm、残りの右側は高さ3 cmです。段差は奥まで同じ形で続いています。この立体の体積を求めましょう。

図2のように、段差の境目から下へ切り分けると、左の高い直方体と右の低い直方体になります。線は分け方を示すためのもので、すき間を作るわけではありません。奥行きがどちらも4 cmであることも、図と問題文を対応させて確認します。

1. 右側の横の長さを8 − 3 = 5 cmと求めます。8 cmは全体の長さなので、左側の3 cmを除いた残りが右側です。
2. 左側は3 × 4 × 6 = 72 cm³と求めます。左側は底から最も高いところまで続く、1つの直方体です。
3. 右側は5 × 4 × 3 = 60 cm³と求めます。右側には低い部分だけがあるため、高さ6 cmは使いません。
4. 72 + 60 = 132 cm³と求めます。2つの部分に重なりも抜けもないので、それぞれの体積を足すと全体になります。

別の方法でも確認します。横8 cm、奥行き4 cm、高さ6 cmの大きな直方体を考えると、体積は8 × 4 × 6 = 192 cm³です。右上に足りない部分は横5 cm、奥行き4 cm、高さ6 − 3 = 3 cmなので、5 × 4 × 3 = 60 cm³です。192 − 60 = 132 cm³となり、同じ結果が得られます。

横に切って、下の横8 cm、奥行き4 cm、高さ3 cmの直方体と、その上の横3 cm、奥行き4 cm、高さ3 cmの直方体に分けても構いません。この場合は96 + 36 = 132 cm³です。どの分け方が正しいかは、線の向きではなく、もとの立体全体を重なりなく覆えているかで判断します。

答え：132 cm³です。

例題4　厚みのある容器の容積を求めます

上が開いた直方体の形の容器があります。外側の横は14 cm、奥行きは12 cm、高さは10 cmです。左右・前後の壁と底の厚みはすべて1 cmで、内側も直方体です。満杯まで入る水の量を、cm³とLで求めましょう。

1. 内側の横を14 − 1 − 1 = 12 cm、奥行きを12 − 1 − 1 = 10 cmと求めます。どちらの方向にも両端に壁があるので、厚みを2回引きます。
2. 内側の高さを10 − 1 = 9 cmと求めます。上は開いているので、外側の高さから除くのは底の厚みだけです。
3. 12 × 10 × 9 = 1080 cm³と求めます。水が入るのは、いま求めた内のりでできる直方体の空間です。
4. 1080 ÷ 1000 = 1.08 Lと直します。cm³で求めた容積を、1000 cm³で1 Lの関係を使って表し直します。

外側の3つの長さをそのままかけた14 × 12 × 10 = 1680 cm³は、壁や底も含めた外形の大きさです。水が入る量としては大きすぎます。一方、内のりから求めた1080 cm³はそれより小さくなっています。容積の問題では、この大小関係も見直しの手がかりになります。

答え：1080 cm³、1.08 Lです。

つまずきやすいところと直し方

1　長さの100倍を、そのまま体積に使います

誤った書き方は「1 m³ = 100 cm³」です。1 m = 100 cmという長さの関係だけを使い、奥行きと高さの換算が抜けています。体積は1本の辺ではなく、3方向に広がる空間の大きさです。

正しい書き方は「1 m³ = 100 × 100 × 100 = 1000000 cm³」です。途中のかけ算を残しておけば、0を何個付けるかだけで判断せずに済みます。お子さまには「横には100個、奥には何列、高さには何段あるかな」とたずねてみてください。100という数を3回使う理由が、並び方に戻って見えてきます。

m³からLへ直すときは、さらに1000でわって1000 Lにします。cm³への換算とLへの換算を同じ一歩で済ませようとして混乱する場合は、まずcm³まで書き、その次の行でLへ直すと、どの関係を使ったか追いやすくなります。

2　分けた部分が重なっているのに足します

例題3での誤った書き方は「8 × 4 × 3 + 3 × 4 × 6 = 168 cm³」です。下全体と左全体を足しているため、左下の部分を2回数えています。足した2つがそれぞれ直方体であっても、それだけでは正しい分割にはなりません。

正しい書き方の1つは「8 × 4 × 3 + 3 × 4 × 3 = 132 cm³」です。下全体をすでに数えたので、足す左上の高さは6 − 3 = 3 cmです。図2に横の切れ目を想像し、下の部分を指で隠してから、残った上の部分の高さを読み取ると整理できます。

反対に、左右に分けるなら、左の高さは6 cmのままで、右の横は5 cmにします。分け方を途中で取り替えて数字だけを混ぜると、重なりや抜けが生じます。式を書く前に「こちらのかけ算はこの部分」と、2つの範囲をそれぞれ指すことが直し方になります。

3　容器の高さからも厚みを2回引きます

例題4での誤った書き方は「内側の高さは10 − 1 − 1 = 8 cm」です。横や奥行きの計算を、そのまま高さにも当てはめています。しかし、この容器は上が開いているので、上側に取り除く壁はありません。

図3のように容器を正面から切った断面で見ると、左右の壁と底がどこにあるか確かめられます。図では厚みも同じ縮尺で描いています。内側の高さは、容器の外側の底からではなく、内側の底から上端までを測ります。

正しい書き方は「内側の横は14 − 1 − 1 = 12 cm、内側の高さは10 − 1 = 9 cm」です。図3の底の厚みは1 cmですから、内側の高さと合わせて1 + 9 = 10 cmとなり、外側の高さに戻ります。引いたあとに足して戻す確認は、どこからどこまでを測ったかの見直しにもなります。

水を内側の底から7 cmの深さまで入れた場合は、12 × 10 × 7 = 840 cm³です。満杯の容積1080 cm³を求めるときの9 cmとは使う高さが違います。「高さ」という言葉だけに反応せず、満杯の量なのか、いま入っている量なのかを、問題の最後の一文で確かめましょう。

練習問題

式を書く前に、求める部分と使う単位を短くメモしてみましょう。途中で迷ったときは、まず3方向の長さをそろえ、次に図のどこを計算するかを決めます。答えを見る前に、求めた単位が問題でたずねられた単位と一致するかも確認します。

練習1

横7 cm、奥行き4 cm、高さ5 cmの直方体の体積を求めましょう。また、1 cm³の立方体をすき間なく詰めると、何個分になるか答えましょう。体積の数と立方体の個数の関係も、言葉で説明してみます。

練習2

一辺30 cmの立方体の体積を、cm³、m³、Lの3つの単位で表しましょう。最初にcm³で体積を求め、単位を1つずつ直します。辺をmに直す場合と、体積をm³に直す場合で、使う関係がどう違うかも確かめます。

練習3

横全体が9 cm、奥行きが5 cmの立体があります。左側の横4 cmの部分は高さ7 cm、右側は高さ3 cmです。段差は奥まで同じ形です。この立体の体積を求めましょう。例題3の図をそのまま使わず、自分で段差を描き、与えられた長さを書き込んでみます。

練習4

上が開いた直方体の形の容器で、外側の横は18 cm、奥行きは12 cm、高さは11 cmです。壁と底の厚みはすべて1 cmで、内側も直方体です。この容器の容積をLで求めましょう。さらに、内側の底から水の深さが6 cmのとき、水の量は何mLか求めましょう。

答えと解説

練習1の答えは140 cm³、140個分です。7 × 4 = 28で1段に28個、それが5段なので28 × 5 = 140となります。1個が1 cm³の立方体を使っているため、体積をcm³で表した数と個数が一致します。表面の小さな正方形を数えた数ではありません。

練習2の答えは27000 cm³、0.027 m³、27 Lです。30 × 30 = 900、900 × 30 = 27000なので、まず27000 cm³となります。m³へは27000 ÷ 1000000 = 0.027、Lへは27000 ÷ 1000 = 27と直します。27 Lは1 m³に当たる1000 Lより小さい量なので、m³で表した数が1より小さくなることとも合っています。

練習3の答えは215 cm³です。右側の横は9 − 4 = 5 cmです。左右に分けると、左が4 × 5 × 7 = 140 cm³、右が5 × 5 × 3 = 75 cm³なので、140 + 75 = 215 cm³です。大きな直方体から引くなら、9 × 5 × 7 = 315 cm³から、右上の5 × 5 × 4 = 100 cm³を引きます。欠けた高さは7 − 3 = 4 cmです。

練習4の答えは、容積が1.6 L、水の量が960 mLです。内のりは横18 − 2 = 16 cm、奥行き12 − 2 = 10 cm、高さ11 − 1 = 10 cmです。容積は16 × 10 × 10 = 1600 cm³で、1600 ÷ 1000 = 1.6 Lとなります。水の体積は16 × 10 × 6 = 960 cm³です。1 cm³ = 1 mLなので960 mLです。水の深さ6 cmはすでに内側の底から測っているので、そこから底の厚みをもう一度引く必要はありません。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

直方体の体積を「1段分の広さ×高さ」と見る考え方は、その先に学ぶ角柱や円柱の体積へつながります。底の形が変わっても、同じ形の層が積み重なるという見方は使えます。また、同じ容器で水の深さだけを変えたときに水の量がどう変わるかを考えることは、2つの量の関係を調べる学習にもつながります。

家庭での確かめ方の1つは、5分ほどでできる空き箱の測定です。直方体に近い箱の内側の横・奥行き・高さを測り、どの長さをかけるか説明してから、おおよその容積を計算します。折り返しや丸みのある箱では完全な直方体にならないこともあります。そのときは、実物を直方体とみなした見積もりであることを確かめれば十分です。紙の箱に実際に水を入れる必要はありません。

もう1つは、紙に10 cm、10 cm、10 cmと書き、一辺10 cmの立方体を思い浮かべる5分のやり取りです。「これは何cm³で何Lかな」「同じものを2つ並べたら何Lかな」と順にたずねます。そのあとで「一辺を全部2倍にした立方体は何Lかな」と問い、2個並べる場合と、3方向を2倍にする場合の違いを確認します。

個別指導で理解を確かめる場合も、単位の暗記だけには戻りません。1段に何個並ぶか、同じ段がいくつあるか、図のどこをかけ算にしたかまで戻り、止まっている箇所を分けて確かめます。

まとめ

体積の問題で式が途中まで合っていても、すぐに計算をやり直すとは限りません。選んだ3つの長さを図へ戻すと、全体の横と一部分の横を取り違えたのか、内側の高さを読み違えたのかが見えてきます。理由を話せたところは残し、ずれた1本の長さを直すことで、解き方を立て直せます。

箱の中のどの空間を数えたのか、指で示せる式には根拠があります。体積の式の3つの数には、図の中で指せる場所が必ずあります。