【小5算数】体積を図解で総まとめ—直方体・立方体の体積から容積まで｜武蔵野個別指導塾

積み木の図から体積の公式を確かめ、段のある立体や水そうの容積を例題で考えます。cm³・m³・L・mLの関係と、外側と内側の寸法の使い分けまで、親子で順に組み立てて確かめられます。

よくあるのは、夕方の台所のテーブルで空き箱を前に、「たてと横をかけたら、箱の大きさが出るのでは」と手が止まる場面です。底の広さが同じ箱でも、背の高い箱には積み木がたくさん入ります。底の広さだけでは表せない、立体のかさを表すのが体積です。

「たて×横×高さ」を覚えていても、段のある形になると、どの長さを使うか迷うことがあります。また、水そうに入る水の量を求める問題では、外側の長さをそのまま使えない場合もあります。計算の前に、求める場所を図で確かめることが必要です。

まずは1cmの立方体を並べ、1段の個数と段数を考えましょう。そこから公式、単位の直し方、形の分け方へ進むと、式の意味を自分で説明できます。多くの教科書では5年生で学ぶ内容です。箱を持ったときの感じを、長さと数を使って正確に表していきましょう。

この単元で身につけること

• 体積を同じ大きさの立方体で比べます。見た目の背の高さだけで決めず、基準にした立方体がいくつ分あるかで考えます。
• 直方体と立方体の体積を求めます。公式の3つの数が、1段の並び方と段数に対応することを確かめます。
• cm³・m³・L・mLを使い分けます。長さの単位をそろえて計算し、必要に応じて体積や水の量の単位を直します。
• 組み合わせた形を直方体に分けます。重なりや抜けがないように分けて足す方法と、大きな直方体から引く方法を使います。
• 容器の容積を求めます。物そのものの外側の大きさと、中に入れられる量を区別し、内側の長さに注目します。

前に学んだ長方形の面積は、1段に並ぶ立方体の個数を考えるときに役立ちます。平らな広がりに高さを加えるところが、新しい一歩です。

基本の考え方

1cm³を積み重ねて考えます

体積は、立体が空間の中で占めるかさです。面積は面の広さを表しますが、体積は奥行きや高さのあるものを扱います。同じ大きさの積み木をすき間なく入れられる箱なら、入る個数が多いほど、内側の空間の体積が大きいといえます。

1辺が1cmの立方体の体積を1cm³といい、「1立方センチメートル」と読みます。cm³の小さな3は、3をかけるという指示ではありません。長さを表すcmや面積を表すcm²とは違う、体積の単位の一部です。

図1のように、横に4個、奥に3列並べると、1段に4×3=12個の立方体が並びます。同じ段を2段重ねれば、12×2=24個です。見えている積み木だけでなく、奥や下に隠れている積み木も数に入れます。

図1の表面に見える小さな正方形を数える方法では、体積は求められません。1個の積み木の面をいくつも数えてしまうからです。「1段が何個で、それが何段か」と分ければ、隠れた積み木も含めて数えられます。

公式は並べ方を短く表したものです

直方体の体積は「たて×横×高さ」で求めます。たてと横は底にする長方形の2つの辺の長さ、高さは底から上の面までの長さです。底の面積を先に求め、その広がりが高さの分だけ重なっていると考えます。

長さの単位をcmにそろえて計算すると、体積の単位はcm³になります。mにそろえて計算すればm³です。たてだけm、横と高さはcmという状態では、同じ大きさの立方体を数える式になりません。かける前に単位を確認しましょう。

立方体はすべての辺の長さが等しいので、体積は「1辺×1辺×1辺」です。1辺が3cmなら、3×3×3=27で27cm³です。3×3だけでは底の面積、3×3×3まで計算すると体積になります。

箱を横に倒しても、箱自体の体積は変わりません。底にする面を変えると、たて・横・高さの呼び方は入れ替わりますが、かける3つの長さは同じです。ただし、同じ面の辺だけを3本選ばないように、互いに直角な3方向を指で確かめます。

大きい単位と水の量を結びつけます

1辺が1mの立方体の体積は1m³です。1m=100cmなので、cmで計算すると100×100×100=1000000となります。したがって、1m³=1000000cm³です。長さが100倍になることと、体積の数が100倍になることは同じではありません。

水などの量で使うLも、体積を表せる単位です。1Lは1辺が10cmの立方体の容積に当たり、10×10×10=1000より、1L=1000cm³です。さらに1L=1000mLなので、1mL=1cm³となります。例えば250mLの水の体積は250cm³です。

1m³=1000Lも合わせて確かめます。1m³は1000000cm³で、1000cm³ごとに1Lですから、1000000÷1000=1000となります。「cm³をLにするときは1000でわる」と、求める単位まで含めて覚えると迷いにくくなります。

容積とは、容器の中いっぱいに入れられる量です。直方体の容器なら、内側のたて・横・高さを使って求めます。現在入っている水の体積は、内側の底の面積に水の深さをかけます。容器の高さと水の深さは、いつも同じとは限りません。

例題で解き方を確かめる

例題1　1段から直方体の体積を求めます

たて3cm、横4cm、高さ2cmの直方体の体積を求めましょう。図1の積み木を、すき間なく合わせた形と同じです。

1. 3つの長さがすべてcmであると確かめます。基準にする積み木を、どの方向にも1cmずつ並べられるようにするためです。
2. 底に並ぶ個数を3×4=12で求めます。これは1段分であり、まだ直方体全体の個数ではありません。
3. 12×2=24と計算します。1段12個を2段重ねるので、全部で24個になります。

答え：24cm³です。

式をまとめれば3×4×2=24です。答えにcm²と書きたくなったら、いま数えたものが正方形か立方体かを振り返ります。この問題では立方体を数えたのでcm³です。

例題2　立方体の体積を求めます

1辺が5cmの立方体の体積を求めましょう。図がなくても、底が1辺5cmの正方形になっていることを思い浮かべます。

1. たて・横・高さがすべて5cmだと確かめます。立方体では、3方向の辺の長さが等しいからです。
2. 5×5=25と計算します。1cm³の積み木が底の1段に25個並ぶことを表しています。
3. 25×5=125と計算します。高さが5cmなので、同じ並びが5段あります。

答え：125cm³です。

5×3=15では、同じ長さを3回足しただけです。体積は3本の辺の長さの合計ではありません。5×5×5のように、3方向に増える個数をかけ合わせます。

例題3　段のある立体を分けます

図2の立体は、奥行きがどこでも3cmです。正面から見た横の全体が6cm、低い部分の高さが2cm、左の高い部分の横が2cm、全体の高さが4cmです。体積を求めましょう。

1. 図2の色の境目で上下に分けます。下は横6cm、奥行き3cm、高さ2cmの直方体なので、6×3×2=36です。まず下全体を数えると、重なりを避けられます。
2. 上の部分の高さを4-2=2cmと求めます。4cmは下から頂上までの高さなので、下の2cmを引く必要があります。
3. 上の部分を2×3×2=12で求め、36+12=48と足します。上下にすき間も重なりもないので、2つの体積の和が全体の体積です。

答え：48cm³です。

大きな直方体から、右上のない部分を引く方法もあります。大きな直方体は6×3×4=72cm³、ない部分の横は6-2=4cm、高さは4-2=2cmなので、4×3×2=24cm³です。72-24=48cm³となり、同じ答えになります。

分け方を決めたら、それぞれの直方体に使う3つの長さを書き込みましょう。元の図にある数を順にかけるのではなく、「どの部分を求める数か」を決めてから式にします。

例題4　水そうの容積を求めます

ふたのない直方体の水そうがあります。外側の横は22cm、奥行きは17cm、高さは13cmです。側面と底の厚さはどこも1cmで、上のふちまで水を入れるものとします。容積は何Lでしょう。

1. 内側の横を22-1-1=20cm、奥行きを17-1-1=15cmと求めます。どちらの方向にも、向かい合う2枚の壁があるためです。
2. 内側の高さを13-1=12cmと求めます。上にふたがないので、高さから引くのは底の厚さ1cmだけです。
3. 20×15×12=3600で内側の空間の体積を求めます。壁や底そのものは水の入る場所ではないため、内側の寸法を使います。
4. 3600÷1000=3.6と計算します。求める単位はLで、1000cm³が1Lだからです。

答え：3.6Lです。

内側の高さをそのまま使うのは、上のふちまで入れる場合です。同じ水そうに深さ8cmまで水を入れるなら、水の体積は20×15×8=2400cm³で、2.4Lになります。容積3.6Lより小さいことも確認できます。

つまずきやすいところと直し方

長さと体積の単位を同じように直してしまいます

間違った書き方は「1m³=100cm³」です。1m=100cmの100をそのまま使っていますが、体積ではたて・横・高さの3方向が関係します。正しくは「1m³=100×100×100=1000000cm³」です。

単位の関係を忘れたときは、1辺1mの立方体を小さな立方体で満たす場面に戻ります。底の1段だけで100×100=10000個、それが100段です。数の大きさに理由を付けると、面積の単位の直し方とも区別できます。

分けた立体を重ねて数えてしまいます

例題3で「6×3×2+2×3×4=60」とするのは間違いです。下全体と左全体を足しているので、左下の部分を2回数えています。重なった部分の体積は2×3×2=12cm³です。

正しくは「6×3×2+2×3×2=48」です。下を全部数えるなら、次は下を除いた上だけを数えます。別の方法として、左全体と右の低い部分に分ければ「2×3×4+4×3×2=48」でも求められます。図に境目を1本入れ、各部分を別の色で囲むと、重なりを見つけやすくなります。

容積を外側の寸法で求めてしまいます

例題4で「22×17×13=4862cm³」を容積とするのは間違いです。この式は外側の寸法で囲まれる直方体の体積で、水の入らない壁や底の部分も含みます。図3のように断面で見ると、使うべき空間がはっきりします。

正しくは「20×15×12=3600cm³=3.6L」です。図3は水そうを正面に平行に切った断面で、横と高さを示しています。奥行きも、前後2枚の壁の厚さを引きます。

また、「高さは13-1-1=11cm」とするのも違います。ふたがないため、上から厚さを引く必要はありません。「全部の長さから2cm引く」と覚えるのではなく、その方向の両端に壁があるかを調べます。

練習問題

式を書く前に、長さの単位と、求める場所を確かめましょう。練習3と練習4は、簡単な見取図をノートにかくと、使う長さを選びやすくなります。

練習1

たて5cm、横8cm、高さ3cmの直方体の体積を求めましょう。

練習2

1辺が20cmの立方体の体積は何cm³ですか。また、それは何Lに当たりますか。

練習3

横8cm、奥行き4cm、高さ5cmの直方体の右上から、横3cm、奥行き4cm、高さ2cmの直方体を取り除きました。残った立体の体積を求めましょう。

練習4

内側の横が25cm、奥行きが16cm、高さが20cmの水そうに、水が深さ15cmまで入っています。容積と、現在の水の体積をそれぞれLで求めましょう。

答えと解説

練習1：120cm³です。5×8×3=120です。底の1段に40個、それが3段あると考えます。

練習2：8000cm³で、8Lに当たります。20×20×20=8000、8000÷1000=8です。体積を出してからLに直します。

練習3：136cm³です。8×4×5=160、3×4×2=24より、160-24=136です。実際にない部分だけを引きます。

練習4：容積は8L、水の体積は6Lです。25×16×20=8000cm³、25×16×15=6000cm³です。どちらも1000でわってLに直します。内側の高さと水の深さを使い分けます。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

「底の面積に高さをかける」という考え方は、これから角柱や円柱の体積を学ぶときにも使います。底の形が変わっても、同じ広さの部分を積み重ねる見方が支えになります。

家庭では5分ほどで、次の2つを試せます。1つ目は空き箱の内側の3方向を測り、およそ何cm³入るかを計算することです。厚紙の箱なら外側との差にも目を向け、お子さまに使った長さを指してもらいます。

2つ目は計量カップの500mLの目盛りを見て、「これは何cm³か」「2杯分は何Lか」を確かめることです。答えは500cm³と1Lで、水を実際に移さなくても考えられます。個別指導では、公式で止まる場合は1段の積み木の並びへ、容積で止まる場合は内側と外側を指すところへ戻って確かめます。

まとめ

体積の問題を解いたあと、式の3つの数が図のどこにあるかを説明してみましょう。段のある形なら、足した部分や引いた部分を指せるか、水そうなら水の入る空間だけを選べたかも確かめます。

答えが合っていても、使った高さを説明できなければ、図を見直す手がかりが残っています。反対に、図の部分と式が結びつけば、形や数が変わっても考え直せます。体積の式は、見えない奥の1個まで数え切るための道具です。