【小5算数】合同な図形を図解で総まとめ—対応する辺と角・合同な三角形のかき方｜武蔵野個別指導塾

向きの違う三角形の対応を図で確かめ、合同な三角形をかく3つの方法と四角形を対角線で分ける手順を学べます。例題4問と練習4問で、重なる頂点を見つけるところから取り組めます。

よくあるのは、図書館の机で算数のノートを開き、下向きにかかれた三角形を見て「上向きの三角形とは形が違う」と手が止まる場面です。辺の長さは同じようなのに、どの頂点をどこへ重ねればよいかが見つかりません。図の向きが変わると、知っている形も別の形に見えることがあります。

そんなときは、紙を切って重ねるつもりで考えます。図形を動かしたり、回したり、裏返したりしても、辺の長さと角の大きさは変わりません。位置や向きから少し離れ、「どことどこが重なるか」を探すのが出発点です。

合同な図形を学ぶと、見えにくい辺の長さや角の大きさを、重なる相手から読み取れます。さらに、必要な長さや角度を選んで、同じ形と大きさの図形を自分でかけます。定規だけでなく、コンパスや分度器を何のために使うかも、一つずつ確かめていきましょう。

この単元で身につけること

• 合同の意味を説明します。ぴったり重なるという言葉を、形も大きさも同じであることと結びつけます。
• 対応する頂点・辺・角を見つけます。図の上や下ではなく、重ねたときの位置を手がかりにします。
• 対応する辺の長さや角の大きさを読み取ります。わかっている数を、重なる相手へ移して考えます。
• 合同な三角形を3つの方法でかきます。使う長さと角度によって、道具と手順を選びます。
• 四角形を対角線で三角形に分けます。三角形をかく方法を組み合わせて、四角形を写します。

これまでに学んだ三角形や四角形の辺・頂点・角、長さや角度の測り方が土台になります。多くの教科書では5年生で学びますが、道具の目盛りの読み方があやしいときは、そこへ戻ってかまいません。答えの数だけでなく、「この辺とこの辺が重なるから」と理由を言えることを目標にします。

基本の考え方

合同は形も大きさも同じこと

2つの図形をぴったり重ね合わせることができるとき、2つの図形は合同であるといいます。輪郭の一部分だけが合うのではなく、図形全体が重なることが必要です。同じ型で切り抜いた紙の三角形を、机の別の場所に置いても、合同であることは変わりません。

動かす、回す、裏返す、のどの操作を使ってもかまいません。ただし、紙を引きのばしたり、折って小さくしたりすることは含めません。形がよく似ていても、一方が大きければぴったり重ならないので、合同ではありません。色や紙の厚さは、平面の図形が合同かどうかには関係しません。

図1のように、向きの違う2つの三角形も合同になります。左の三角形を半回転させてから動かすと、右の三角形に重なります。紙の上で向きを変えにくいときは、直角やいちばん長い辺など、見つけやすい部分を先に探すとよいでしょう。

対応は重なる場所どうしの組

重ね合わせたときに重なる頂点を「対応する頂点」といいます。同じように、重なる辺を「対応する辺」、重なる角を「対応する角」といいます。図1では、頂点AとD、BとE、CとFが対応します。BとEはどちらも直角の頂点です。

頂点の対応が決まれば、辺の対応も決まります。辺ABの両端であるAとBは、DとEに重なるので、辺ABに対応するのは辺DEです。同様に、辺BCとEF、辺CAとFDが対応します。文字が続いているかどうかではなく、両端の頂点を一つずつ置きかえて読むのが確実です。

合同な図形では、対応する辺の長さは等しく、対応する角の大きさも等しくなります。辺ABが3cmなら辺DEも3cmです。角Bが90°なら角Eも90°です。三角形ABCと三角形DEFという名前を対応する順に並べて書くと、AとD、BとE、CとFの組を見失いにくくなります。

三角形をかくための3つの方法

合同な三角形をかくときは、すべての辺と角を測る必要はありません。使えるのは「3つの辺の長さ」「2つの辺の長さとその間の角の大きさ」「1つの辺の長さとその両端の角の大きさ」という3つの組です。ここで、間の角と両端の角という言葉を省かないことが大切です。

3つの辺を使う場合は、まず1つの辺をかきます。残りの頂点は、両端から決まった距離にある点なので、コンパスでかいた2つの円の一部が交わるところに決まります。底にする辺の反対側にも交点ができますが、裏返して重なる三角形なので、どちらを選んでも合同です。

2つの辺とその間の角を使う場合は、1つの辺をかき、その端で指定された角を作ります。角から伸ばした線の上に、もう1つの辺の長さをとります。例えば、長さ4cmと3cmの辺が開く角を60°にすれば、最後の頂点の位置まで決まります。

1つの辺とその両端の角を使う場合は、例えば5cmの辺をかき、両端でそれぞれ50°と60°の角を作ります。両方の線を辺の同じ側へ伸ばし、交わった点を残りの頂点にします。分度器の中心を頂点に、0°の線をもとの辺に合わせてから、目盛りを読みましょう。

例題で解き方を確かめる

例題1　対応する辺と角を読む

図1の三角形ABCと三角形DEFは合同で、AとD、BとE、CとFが対応しています。ABは3cm、BCは4cm、CAは5cm、角Bは90°です。辺DFの長さと角Eの大きさを求めましょう。

1. 辺DFの両端を確かめます。Dに対応するのはA、Fに対応するのはCなので、相手は辺ACです。右や左という位置ではなく、頂点の組から決めます。
2. 辺ACの長さを読みます。CAとACは同じ辺を逆向きに読んだ名前なので、DFも5cmです。
3. 角Eに対応する角Bを見ます。対応する角の大きさは等しいので、角Eも90°です。

答え：辺DFは5cm、角Eは90°です。

計算式を作らなくても、対応を正しく読めば答えが出ます。図の見た目だけで「DFは横にあるからBC」と決めると、別の辺の長さを移してしまいます。

例題2　3つの辺の長さからかく

辺ABが3cm、辺ACが4cm、辺BCが5cmの三角形ABCをかきましょう。図2は、この3つの長さから頂点Aの場所を決める様子です。印刷や画面表示では大きさが変わるので、自分の紙には指定のcmでかきます。

1. 定規で辺BCを5cmにかきます。最初に両端を決めると、次にコンパスの針を置く場所が定まります。
2. Bを中心に、半径3cmの円の一部をかきます。この線の上なら、どの点もBから3cmの距離にあります。
3. Cを中心に、半径4cmの円の一部をかきます。先ほどの線と交わる点をAにすれば、Bから3cm、Cから4cmの両方を満たします。
4. AとB、AとCを定規で結びます。最後に3つの辺を測り、指定の長さになっているか確かめます。

答え：2つの円の一部の交点をAとして結んだ三角形ABCです。

図2の曲線は辺ではなく、頂点の場所を決めるための線です。コンパスの開きを保ったまま針を移すことが、正しくかくための要点になります。

例題3　2つの辺とその間の角からかく

辺ABが4cm、辺ACが3cm、角Aが60°の三角形ABCをかきましょう。角Aは、指定された2つの辺ABとACが出会うところにある角です。

1. 辺ABを4cmにかきます。Aを角の出発点にすると、2つの辺の間の角を作りやすくなります。
2. Aで、辺ABと60°になる線をかきます。分度器の中心をAに合わせ、Bへ向かう側を0°として読むことで、角の向きをそろえます。
3. その線の上に、Aから3cm離れた点Cをとります。定規の0の目盛りをAに置き、線の長さではなくAからの距離を測ります。
4. BとCを結びます。ABとACの長さ、角Aの大きさをもう一度測れば、使った3つの情報を確かめられます。

答え：ABが4cm、ACが3cm、角Aが60°の三角形ABCです。

60°をBに作ると、2つの辺の間の角ではなくなります。かく前に、問題の辺ABとACに共通する文字Aを探すと、角を作る頂点が見つかります。

例題4　四角形の紙を同じ形に写す

工作で、横6cm、縦4cmの長方形ABCDと合同な紙を用意します。三角形をかく方法を使って写すには、どの線で分け、どのように組み立てればよいでしょうか。A、B、C、Dは周りに沿った順の頂点です。

1. 向かい合う頂点AとCを結ぶ対角線ACを引きます。すると、三角形ABCと三角形ACDの2つに分かれ、三角形をかく方法が使えます。
2. もとのACの長さをコンパスで取り、別の紙へ写します。数値を計算しなくても、開きを変えずに長さを移せます。
3. ACの一方の側で、Aから6cm、Cから4cmの点Bを作ります。もう一方の側で、Aから4cm、Cから6cmの点Dを作ります。それぞれ3つの辺の長さを使う方法です。
4. A、B、C、D、Aの順に結びます。2つの三角形が共通の辺ACをはさんでつながるため、もとの長方形と重なります。

答え：対角線ACで2つに分け、ACの反対側どうしに三角形をかいてつなぎます。

つまずきやすいところと直し方

上にある頂点どうしを対応させる

間違った書き方は「図1ではAとEがどちらも上なので対応する」です。どこが違うかというと、回した図では、上にあった頂点が下へ移ることがある点です。正しい書き方は「直角のBとEを合わせ、辺の長さも確かめるとAとD、CとFが対応する」です。

図形の位置だけでは対応は決まりません。頂点の組を先に書いてから辺や角を読むと、頭の中だけで回し続ける負担を減らせます。

角ならどの角を使ってもよいと考える

間違った書き方は「辺ABとACの長さ、角Bがわかれば、2つの辺とその間の角がわかった」です。角BはABとBCの間にあり、ABとACの間ではありません。正しい書き方は「辺ABとACを使うなら、その間の角は角A」です。

同様に、1つの辺と2つの角を使う方法では、その辺の両端にある角を選びます。「長さが2つ、角が1つ」と数えるだけでなく、どの場所の情報なのかを図に印して確かめましょう。

四角形の辺だけで形が決まると思う

間違った書き方は「4つの辺の長さが同じなら、四角形は必ず合同」です。どこが違うかは、同じ長さの4本の棒を輪につなぎ、角を動かす様子を思い浮かべると見えてきます。辺の長さを変えなくても、四角形は傾いた形に変わります。

正しい書き方は「辺の長さに加えて、対角線など、形を決める情報を使う」です。図3のように対角線ACを引くと、共通の辺をもつ2つの三角形として扱えます。

図3では長方形なので、できた2つの三角形どうしも合同です。ただし、どんな四角形でも分けた2つが合同になるわけではありません。四角形を写す目的では、分けた三角形をそれぞれ元の三角形と合同にかくことが必要です。2つを対角線の同じ側にかいて重ねないよう、BとDを置く側にも注意します。

練習問題

練習1

三角形ABCと三角形PQRは合同で、AとQ、BとR、CとPが対応します。辺BCが7cm、角Aが50°のとき、辺PRと角Qを求めましょう。

練習2

辺BCが6cm、辺ABが5cm、辺ACが4cmの三角形をかきます。BCをかいたあと、BとCを中心とする円の一部の半径はそれぞれ何cmですか。

練習3

辺PQが5cm、角Pが50°、角Qが60°の三角形PQRをかきます。どの方法を使い、残りの頂点Rをどのように決めますか。

練習4

四角形ABCDに対角線BDを引きます。できる2つの三角形の名前と、写すときにAとCをBDの同じ側に置くか反対側に置くかを答えましょう。ただし、四角形にへこんだ部分はないものとします。

答えと解説

練習1：辺PRは7cm、角Qは50°です。PはC、RはBに対応するので、辺PRの相手は辺CBです。

練習2：Bを中心に半径5cm、Cを中心に半径4cmです。探す点Aまでの距離を、それぞれ半径にします。

練習3：1つの辺とその両端の角を使います。PQの同じ側へ、Pで50°、Qで60°の線を伸ばし、その交点をRにします。

練習4：三角形ABDと三角形BCDです。AとCはBDの反対側に置きます。対角線を共通の辺としてつなぎます。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

対応する部分を見つける考えは、線対称・点対称や拡大図・縮図でも使います。拡大図では大きさが変わるので、合同との違いも確かめます。中学の図形でも、頂点の対応をそろえる読み方が土台になります。

家庭では5分ほどで、2つの確かめ方ができます。1つ目は、折った紙から同時に2枚の三角形を切り、一方を回したり裏返したりして重ねることです。2つ目は、包装紙の長方形に対角線を引き、分かれた三角形の共通の辺を指すことです。お子さまが迷ったら、答えを先に言わず「この点はどこに重なるかな」と尋ねてみましょう。

個別指導では、対応で止まったのか、道具の使い方で止まったのかを分けて確かめます。必要なら、頂点と辺の名前や、定規の0の目盛りに戻って練習します。

まとめ

向きの違う図形に出会ったら、まず1組の頂点を探してみましょう。そこから隣の頂点へたどれば、辺と角の対応もつながっていきます。かく問題では、与えられた長さや角度を図に記し、最後の頂点をどの情報で決めるか考えます。

うまく重ならない図も、測り直す場所が見つかれば次の一歩に変わります。「似て見える」を「この頂点とこの辺が重なる」に変えることが、合同を理解する確かな一歩です。